Logaritmos

Respuesta correcta: C) 5

• A) 16Incorrecto. 16 es $32 \div 2$, el número de partidas de la primera ronda, no el exponente al que se eleva 2 para obtener 32.
• B) 6Incorrecto. $2^6 = 64$, no 32; se contó una ronda de más.
• C) 5Correcto. $2^5 = 32$, por lo tanto $\log_{2} 32 = 5$: hay que dividir 32 entre 2 cinco veces para llegar a 1.
• D) $\frac{1}{5}$Incorrecto. $\log_{2} 32$ es el exponente $y$ tal que $2^y = 32$; $2^{1/5} \approx 1.15$, muy lejos de 32.

Respuesta correcta: D) $3^{4} = 81$

• A) $4^{3} = 81$Incorrecto. Se intercambiaron base y exponente; además $4^3 = 64 \ne 81$.
• B) $81^{4} = 3$Incorrecto. La base del logaritmo (3) es la base de la potencia, no el resultado; $81^4$ es un número enorme.
• C) $3^{81} = 4$Incorrecto. El argumento 81 es el resultado de la potencia, no el exponente.
• D) $3^{4} = 81$Correcto. $\log_{b} N = y$ equivale a $b^y = N$; con $b = 3$, $y = 4$ y $N = 81$ queda $3^4 = 81$.

Respuesta correcta: A) $\log(ab) = \log a + \log b$

• A) $\log(ab) = \log a + \log b$Correcto. Es la propiedad del producto: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores.
• B) $\log(a + b) = \log a + \log b$Incorrecto. No hay regla para el logaritmo de una suma; con $a = b = 1$ queda $\log 2 \ne 0$.
• C) $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{\log a}{\log b}$Incorrecto. El logaritmo de un cociente es una resta: $\log a - \log b$, no un cociente de logaritmos.
• D) $\log(a^{n}) = (\log a)^{n}$Incorrecto. El exponente sale multiplicando: $\log(a^n) = n \log a$; elevar el logaritmo a la $n$ es otra cosa.

Respuesta correcta: B) 1

• A) 5Incorrecto. Se tomó $\log_{10} 0.01 = 2$; como 0.01 es menor que 1, su logaritmo decimal es negativo: $-2$.
• B) 1Correcto. $\log_{2} 8 = 3$ porque $2^3 = 8$, y $\log_{10} 0.01 = -2$ porque $10^{-2} = 0.01$; $3 + (-2) = 1$.
• C) 3Incorrecto. Se tomó $\log_{10} 0.01 = 0$; solo $\log 1 = 0$, y $10^{-2} = 0.01$.
• D) $-6$Incorrecto. Se multiplicaron los logaritmos, $3 \times (-2)$, cuando el enunciado pide sumarlos.

Respuesta correcta: B) 6

• A) $-6$Incorrecto. Se olvidó el signo menos de la fórmula: $\log(10^{-6}) = -6$, pero el pH es su opuesto.
• B) 6Correcto. $\text{pH} = -\log(10^{-6}) = -(-6) = 6$.
• C) $10^{6}$Incorrecto. El pH es un exponente (un logaritmo), no la concentración invertida $\frac{1}{10^{-6}}$.
• D) 8Incorrecto. Se calculó $14 - 6$, que corresponde al pOH, no al pH.

Respuesta correcta: C) 5.64

• A) 25Incorrecto. Se dividió el argumento entre la base, $50 \div 2$; el logaritmo es un exponente, no un cociente de esos números.
• B) 0.18Incorrecto. Se invirtió la fórmula: $\frac{\ln 2}{\ln 50} \approx 0.18$ es $\log_{50} 2$.
• C) 5.64Correcto. $\log_{2} 50 = \frac{\ln 50}{\ln 2} = \frac{3.912}{0.693} \approx 5.64$; y en efecto $2^{5.64} \approx 50$.
• D) 1.70Incorrecto. $1.70 \approx \log_{10} 50$; se calculó el logaritmo decimal sin dividir entre $\log 2$.

Respuesta correcta: A) $x = 4$

• A) $x = 4$Correcto. $x(x - 2) = 8$ da $x = 4$ o $x = -2$; solo $x = 4$ cumple $x > 0$ y $x - 2 > 0$.
• B) $x = 4$ o $x = -2$Incorrecto. $x = -2$ hace negativo el argumento de $\log_{2} x$; hay que descartarla al revisar el dominio.
• C) $x = -2$Incorrecto. Con $x = -2$ aparecen $\log_{2}(-2)$ y $\log_{2}(-4)$, que no existen en los reales.
• D) $x = 5$Incorrecto. Se sumaron los argumentos, $x + (x - 2) = 2^3$, pero la suma de logaritmos es el logaritmo del producto.

Respuesta correcta: D) 90 dB

• A) 7000 dBIncorrecto. Se multiplicó el nivel por 100; la escala es logarítmica, así que un factor en la intensidad se convierte en una suma de decibeles.
• B) 170 dBIncorrecto. Se sumó 100 directamente; lo que se suma es $10 \log 100 = 20$, no el factor 100.
• C) 72 dBIncorrecto. Se sumó $\log 100 = 2$ pero se olvidó el factor 10 de la fórmula.
• D) 90 dBCorrecto. Multiplicar $I$ por 100 suma $10 \log 100 = 10 \cdot 2 = 20$ dB: $70 + 20 = 90$ dB.

Respuesta correcta: A) $2\log x + \frac{1}{2}\log y - 3\log z$

• A) $2\log x + \frac{1}{2}\log y - 3\log z$Correcto. Producto en suma, cociente en resta y exponentes como coeficientes, con $\sqrt{y} = y^{1/2}$.
• B) $2\log x + \frac{1}{2}\log y + 3\log z$Incorrecto. $z^3$ está en el denominador, así que su logaritmo se resta, no se suma.
• C) $2\log x + 2\log y - 3\log z$Incorrecto. Se tomó $\sqrt{y}$ como $y^2$; la raíz cuadrada es el exponente $\frac{1}{2}$.
• D) $\frac{2\log x \cdot \frac{1}{2}\log y}{3\log z}$Incorrecto. Se conservaron el producto y el cociente; las propiedades los convierten en suma y resta de logaritmos.

Respuesta correcta: B) 4.32 horas

• A) 10 horasIncorrecto. Se dividió $20 \div 2$, como si el crecimiento fuera lineal; al duplicar, en 4 horas ya se multiplica por 16.
• B) 4.32 horasCorrecto. $t = \log_{2} 20 = \frac{\log 20}{\log 2} = \frac{1.301}{0.301} \approx 4.32$ h.
• C) 3.00 horasIncorrecto. $3.00 \approx \ln 20$; se olvidó dividir entre $\ln 2$ para cambiar a base 2.
• D) 1.30 horasIncorrecto. $1.30 \approx \log 20$; falta dividir entre $\log 2 \approx 0.301$.

Respuesta correcta: D) 100 veces

• A) 2 vecesIncorrecto. 2 es la diferencia de magnitudes, que es el logaritmo del cociente; el cociente es $10^2$.
• B) 20 vecesIncorrecto. Se multiplicó $2 \times 10$; la relación es exponencial, $10^2$, no un producto.
• C) 1.44 vecesIncorrecto. Se dividieron las magnitudes, $6.5 \div 4.5$; en una escala logarítmica se comparan restando y luego elevando 10 a esa diferencia.
• D) 100 vecesCorrecto. $M_1 - M_2 = \log\frac{A_1}{A_2} = 2$, luego $\frac{A_1}{A_2} = 10^2 = 100$.

Respuesta correcta: D) Calculó $3 \cdot 2$ en lugar de $3^{2}$; debe ser $x - 4 = 9$, así que $x = 13$

• A) No hay error; la solución es $x = 10$Incorrecto. Con $x = 10$ queda $\log_{3} 6$, que no es 2, porque $3^2 = 9 \ne 6$.
• B) Debía escribir $x - 4 = 2^{3} = 8$, así que $x = 12$Incorrecto. Se invirtieron base y exponente; la base del logaritmo es 3 y el valor 2 es el exponente.
• C) La ecuación no tiene solución porque $x - 4$ puede ser negativoIncorrecto. El dominio pide $x > 4$, y $x = 13$ lo cumple; la ecuación sí tiene solución.
• D) Calculó $3 \cdot 2$ en lugar de $3^{2}$; debe ser $x - 4 = 9$, así que $x = 13$Correcto. Por definición $\log_{3}(x - 4) = 2$ significa $3^2 = x - 4$, es decir, $9 = x - 4$.

Respuesta correcta: C) $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$

• A) $(3, \infty)$Incorrecto. Se olvidaron los negativos: con $x = -4$, $x^2 - 9 = 7 > 0$, así que $-4$ también está en el dominio.
• B) $(-3, 3)$Incorrecto. En ese intervalo $x^2 - 9 < 0$ (por ejemplo, $x = 0$ da $-9$) y el logaritmo no está definido.
• C) $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$Correcto. Se necesita $x^2 - 9 > 0$, es decir $x^2 > 9$, lo que ocurre si $x < -3$ o $x > 3$.
• D) $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$Incorrecto. En $x = \pm 3$ el argumento vale 0 y $\log_{2} 0$ no existe; los extremos deben quedar abiertos.

Respuesta correcta: C) Cada vez que las descargas se multiplican por 10, el puntaje aumenta 1 unidad, así que el puntaje crece cada vez más despacio

• A) El puntaje se duplica cada vez que las descargas se duplicanIncorrecto. $\log(2D) = \log 2 + \log D$: el puntaje aumenta $\log 2 \approx 0.301$, no se duplica.
• B) El puntaje crece cada vez más rápido a medida que aumentan las descargasIncorrecto. La función logaritmo es cóncava: para lograr el mismo aumento de puntaje se necesitan cada vez más descargas.
• C) Cada vez que las descargas se multiplican por 10, el puntaje aumenta 1 unidad, así que el puntaje crece cada vez más despacioCorrecto. $\log(10D) = 1 + \log D$; pasar de 100 a 1000 descargas suma 1, igual que pasar de 10 a 100, aunque son 900 descargas frente a 90.
• D) El puntaje aumenta 10 unidades cada vez que las descargas aumentan en 10Incorrecto. Ese sería un modelo lineal; con $\log$, pasar de 10 a 20 descargas solo suma $\log 2 \approx 0.30$.

Respuesta correcta: D) $\frac{3}{2}$

• A) 2Incorrecto. 2 es $8 \div 4$; el logaritmo pide el exponente, y $4^2 = 16 \ne 8$.
• B) $\frac{2}{3}$Incorrecto. Se invirtió la razón: $\frac{2}{3}$ es $\log_{8} 4$, porque $8^{2/3} = 4$.
• C) 4Incorrecto. Se restó $8 - 4$; $4^4 = 256$, que no es 8.
• D) $\frac{3}{2}$Correcto. $4 = 2^2$ y $8 = 2^3$; si $4^y = 8$, entonces $2^{2y} = 2^3$, así que $y = \frac{3}{2}$.

Respuesta correcta: C) 1.079

• A) 0.778Incorrecto. $0.301 + 0.477 = 0.778$ es $\log 6$; falta otro factor 2, porque $12 = 2 \cdot 6$.
• B) 0.144Incorrecto. Se multiplicaron $0.301 \times 0.477$; el logaritmo de un producto es la suma de logaritmos.
• C) 1.079Correcto. $12 = 2^2 \cdot 3$, entonces $\log 12 = 2\log 2 + \log 3 = 0.602 + 0.477 = 1.079$.
• D) 1.204Incorrecto. $4 \times 0.301 = 1.204$ es $\log 16$; se usó $2^4$ en lugar de $2^2 \cdot 3$.

Respuesta correcta: A) Dividir entre 3 para obtener $5^{x} = 25$ y concluir que $x = \log_{5} 25 = 2$

• A) Dividir entre 3 para obtener $5^{x} = 25$ y concluir que $x = \log_{5} 25 = 2$Correcto. Primero se aísla la potencia: $5^x = \frac{75}{3} = 25 = 5^2$, de donde $x = 2$; verificación $3 \cdot 25 = 75$.
• B) Multiplicar las bases para obtener $15^{x} = 75$ y concluir que $x = \log_{15} 75$Incorrecto. $3 \cdot 5^x \ne 15^x$; el 3 no está elevado a la $x$, así que no se puede juntar con la base 5.
• C) Tomar logaritmos así: $\log 3 \cdot x\log 5 = \log 75$Incorrecto. El logaritmo de un producto es una suma: $\log 3 + x\log 5 = \log 75$, no un producto de logaritmos.
• D) Dividir 75 entre 5 para obtener $3^{x} = 15$Incorrecto. La $x$ es exponente de 5, no de 3; dividir entre 5 no elimina la potencia $5^x$.

Respuesta correcta: B) Es falsa: $[H^{+}]$ pasa de $10^{-6}$ a $10^{-3}$ mol/L, es decir, se multiplica por 1000

• A) Es verdadera, porque al reducirse el pH a la mitad la concentración se duplicaIncorrecto. El pH es un logaritmo; reducirlo a la mitad no duplica $[H^+]$, sino que la cambia en un factor $10^{3}$.
• B) Es falsa: $[H^{+}]$ pasa de $10^{-6}$ a $10^{-3}$ mol/L, es decir, se multiplica por 1000Correcto. $\frac{10^{-3}}{10^{-6}} = 10^{3} = 1000$; bajar 3 unidades de pH multiplica la concentración por $10^3$.
• C) Es falsa: la concentración se multiplica por 3Incorrecto. 3 es la diferencia de pH; la concentración cambia en $10^{3}$, no en 3.
• D) Es falsa: la concentración se divide entre 1000 porque el pH bajóIncorrecto. Un pH menor significa más iones hidrógeno: $10^{-3}$ es mayor que $10^{-6}$.

Respuesta correcta: A) Ana, porque $x^{2} = 100$ y ambos valores cumplen $x^{2} > 0$; la regla $\log(x^{2}) = 2\log x$ solo vale para $x > 0$