Exponenciales

Respuesta correcta: C) $a^{2}$

• A) $a^{6}$Incorrecto. Se ignoró el signo del exponente $-2$ y se sumó $7 + 2 = 9$; luego $9 - 3 = 6$.
• B) $a^{12}$Incorrecto. Se sumaron todos los exponentes, $7 + 2 + 3$; al dividir, el exponente del denominador se resta.
• C) $a^{2}$Correcto. Numerador: $a^{7 + (-2)} = a^{5}$; cociente: $a^{5 - 3} = a^{2}$.
• D) $a^{\frac{5}{3}}$Incorrecto. Se dividieron los exponentes, $\frac{5}{3}$; en un cociente de potencias de igual base los exponentes se restan.

Respuesta correcta: A) 4

• A) 4Correcto. $8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^{2} = 2^{2} = 4$.
• B) $\frac{16}{3}$Incorrecto. Se multiplicó la base por el exponente, $8 \cdot \frac{2}{3}$; un exponente indica potencia y raíz, no producto.
• C) 6Incorrecto. Se restó $8 - 2$; el denominador 3 es el índice de la raíz y el numerador 2 la potencia.
• D) $\sqrt{512}$Incorrecto. Se invirtió la fracción: $\sqrt{8^3} = 8^{3/2}$; en $8^{2/3}$ la raíz es cúbica y la potencia es 2.

Respuesta correcta: D) Corta el eje $y$ en $(0, 3)$ y tiene asíntota horizontal $y = 0$

• A) Corta el eje $y$ en $(0, 6)$Incorrecto. Se calculó $3 \cdot 2$; en $x = 0$ la potencia vale $2^0 = 1$, no 2.
• B) Tiene asíntota vertical $x = 0$Incorrecto. Una exponencial está definida para todo real; no tiene asíntotas verticales, su asíntota es horizontal.
• C) Es decreciente porque el coeficiente 3 es mayor que la base 2Incorrecto. El crecimiento lo decide la base: como $2 > 1$ y el coeficiente es positivo, la función es creciente.
• D) Corta el eje $y$ en $(0, 3)$ y tiene asíntota horizontal $y = 0$Correcto. $f(0) = 3 \cdot 2^0 = 3$, y cuando $x \to -\infty$, $2^x \to 0$, así que $f(x) \to 0$ sin tocar el eje $x$.

Respuesta correcta: A) $V(t) = 5000(0.8)^{t}$

• A) $V(t) = 5000(0.8)^{t}$Correcto. Perder 20% cada año significa conservar el 80%: se multiplica por $0.8$ una vez por año.
• B) $V(t) = 5000(1.8)^{t}$Incorrecto. Un factor $1.8 > 1$ representa crecimiento del 80%, no una pérdida del 20%.
• C) $V(t) = 5000 - 0.8t$Incorrecto. Es lineal y resta 0.8 miles por año; la pérdida es un porcentaje del valor actual, lo que da un modelo exponencial.
• D) $V(t) = 0.8(5000)^{t}$Incorrecto. Se intercambiaron coeficiente y base: el valor inicial 5000 no se eleva a $t$, se eleva el factor 0.8.

Respuesta correcta: D) $x = 3$

• A) $x = 4$Incorrecto. 4 es el exponente total $x + 1$; falta restar 1 para despejar $x$.
• B) $x = 26$Incorrecto. Se dividió $81 \div 3 = 27$ y se restó 1; la incógnita está en el exponente, no multiplicando a 3.
• C) $x = 2$Incorrecto. Se escribió $81 = 3^3$, pero $3^3 = 27$; en realidad $81 = 3^4$.
• D) $x = 3$Correcto. $81 = 3^4$, así que $x + 1 = 4$ y $x = 3$; verificación: $3^{4} = 81$.

Respuesta correcta: C) 2 253 650 COP

• A) 2 240 000 COPIncorrecto. Ese es el interés simple: $2\,000\,000 \cdot (1 + 0.01 \cdot 12)$; en el compuesto los intereses también generan intereses.
• B) 2 020 000 COPIncorrecto. $2\,000\,000 \cdot 1.01$ es el saldo después de un solo mes, no de 12.
• C) 2 253 650 COPCorrecto. $2\,000\,000 \cdot 1.01^{12} \approx 2\,000\,000 \cdot 1.126825 \approx 2\,253\,650$ COP.
• D) 24 240 000 COPIncorrecto. Se multiplicó $2\,000\,000 \cdot 12 \cdot 1.01$; el 12 es un exponente, no un factor.

Respuesta correcta: B) 5 mg

• A) 20 mgIncorrecto. Se dividió $80 \div 4$; en cada vida media la cantidad se reduce a la mitad, así que se divide entre $2^4 = 16$.
• B) 5 mgCorrecto. 24 h son $\frac{24}{6} = 4$ vidas medias: $80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{80}{16} = 5$ mg.
• C) 10 mgIncorrecto. Corresponde a 3 vidas medias ($80 \div 8$), que son 18 horas, no 24.
• D) 2.5 mgIncorrecto. Corresponde a 5 vidas medias ($80 \div 32$), es decir, 30 horas.

Respuesta correcta: D) 160 000

• A) 40 000Incorrecto. Se multiplicó por 4, el número de periodos; duplicar 4 veces es multiplicar por $2^4 = 16$.
• B) 80 000Incorrecto. Son $10\,000 \cdot 2^3$, es decir, 3 duplicaciones (9 horas), no 4.
• C) 120 000Incorrecto. Se multiplicó $10\,000 \cdot 12$ horas; el crecimiento depende de cuántas veces se duplica, no de las horas directamente.
• D) 160 000Correcto. 12 h son 4 periodos de duplicación: $10\,000 \cdot 2^{4} = 160\,000$.

Respuesta correcta: A) $x = 3$

• A) $x = 3$Correcto. $2^{2x} = 2^{3(x - 1)}$, así que $2x = 3x - 3$ y $x = 3$; verificación: $4^3 = 64 = 8^2$.
• B) $x = 1$Incorrecto. Se escribió $3x - 1$ en lugar de $3(x - 1) = 3x - 3$: faltó distribuir el 3.
• C) $x = -3$Incorrecto. Error de signo al despejar: de $2x = 3x - 3$ se obtiene $-x = -3$, es decir $x = 3$.
• D) No tiene solución, porque las bases son distintasIncorrecto. Las bases 4 y 8 son potencias de 2; al reescribirlas en base 2 la ecuación sí tiene solución.

Respuesta correcta: D) $y = -5$

• A) $y = 0$Incorrecto. $y = 0$ es la asíntota de $2^x$; el término $-5$ traslada la gráfica y también la asíntota.
• B) $y = 5$Incorrecto. Error de signo: restar 5 desplaza la gráfica hacia abajo, no hacia arriba.
• C) $x = -5$Incorrecto. Las exponenciales no tienen asíntotas verticales; la recta buscada es horizontal, de la forma $y = k$.
• D) $y = -5$Correcto. Cuando $x \to -\infty$, $2^x \to 0$ y $f(x) \to 0 - 5 = -5$; la gráfica de $2^x$ se trasladó 5 unidades hacia abajo.

Respuesta correcta: B) 20 °C es la temperatura ambiente a la que tiende el café y 70 °C es la diferencia inicial entre el café y el ambiente

• A) 20 °C es la temperatura inicial del café y 70 °C la temperatura finalIncorrecto. $T(0) = 20 + 70e^{0} = 90$ °C; la temperatura inicial es 90, no 20, y el límite es 20, no 70.
• B) 20 °C es la temperatura ambiente a la que tiende el café y 70 °C es la diferencia inicial entre el café y el ambienteCorrecto. $T(0) = 20 + 70 = 90$ °C y, como $e^{-0.1t} \to 0$, $T(t) \to 20$ °C con el paso del tiempo.
• C) 70 °C es la temperatura a la que se estabiliza el caféIncorrecto. El término $70e^{-0.1t}$ tiende a 0, así que la temperatura se estabiliza en 20 °C, no en 70.
• D) El café pierde 20 °C cada minuto hasta llegar a 70 °CIncorrecto. El modelo no es lineal; la diferencia con el ambiente se multiplica por $e^{-0.1} \approx 0.905$ cada minuto.

Respuesta correcta: C) $y = 5 \cdot 3^{x}$

• A) $y = 3 \cdot 5^{x}$Incorrecto. Se intercambiaron valor inicial y factor: en $x = 0$ daría 3, no 5, y en $x = 1$ daría 15 pero en $x = 2$ daría 75.
• B) $y = 5 + 10x$Incorrecto. Es lineal: daría 25 en $x = 2$; las diferencias 10, 30, 90 no son constantes, así que no es lineal.
• C) $y = 5 \cdot 3^{x}$Correcto. El cociente entre días consecutivos es constante: $\frac{15}{5} = \frac{45}{15} = \frac{135}{45} = 3$, y el valor inicial es 5.
• D) $y = 5x^{3}$Incorrecto. Coincide en $x = 3$ (135) pero en $x = 0$ da 0 y en $x = 1$ da 5; además la variable está en la base, no en el exponente.

Respuesta correcta: A) El banco B: obtiene $1\,000\,000 \cdot 1.01^{12} \approx 1\,126\,825$ COP, frente a 1 120 000 COP del banco A

• A) El banco B: obtiene $1\,000\,000 \cdot 1.01^{12} \approx 1\,126\,825$ COP, frente a 1 120 000 COP del banco ACorrecto. El compuesto mensual da $1.01^{12} \approx 1.1268$, una tasa efectiva anual de 12.68%, mayor que 12%.
• B) Da lo mismo, porque 1% mensual equivale exactamente a 12% anualIncorrecto. Eso solo vale en interés simple; con capitalización mensual los intereses generan intereses y el factor es $1.01^{12} \approx 1.1268$.
• C) El banco A, porque 12% es mayor que 1%Incorrecto. Se compararon tasas con distinto periodo; hay que llevarlas al mismo plazo de un año.
• D) El banco A: obtiene 1 120 000 COP, frente a 1 010 000 COP del banco BIncorrecto. 1 010 000 COP es el saldo de B tras un solo mes; en 12 meses el 1% se aplica 12 veces.

Respuesta correcta: A) $2 < k < 3$

• A) $2 < k < 3$Correcto. Una exponencial $b^x$ es decreciente si $0 < b < 1$; con $b = k - 2$ queda $0 < k - 2 < 1$, es decir $2 < k < 3$.
• B) $k < 3$Incorrecto. Incluye valores como $k = 2$ (base 0) o $k = 1$ (base $-1$), que no dan una función exponencial.
• C) $k > 3$Incorrecto. Con $k > 3$ la base $k - 2$ es mayor que 1 y la función es creciente.
• D) $0 < k < 1$Incorrecto. Se aplicó la condición $0 < b < 1$ a $k$ en vez de a la base $k - 2$; con $k = 0.5$ la base sería $-1.5$.

Respuesta correcta: D) 5 días

• A) 7.5 díasIncorrecto. Se dividió 15 entre 2, como si hubieran sido 2 reducciones a la mitad; $200 \to 100 \to 50$ no llega a 25.
• B) 1.875 díasIncorrecto. Se dividió 15 entre 8, el factor de reducción; hay que dividir entre el número de mitades, $\log_{2} 8 = 3$.
• C) 3 díasIncorrecto. 3 es el número de vidas medias transcurridas, no la duración de cada una.
• D) 5 díasCorrecto. $\frac{25}{200} = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$: hubo 3 vidas medias en 15 días, cada una de $\frac{15}{3} = 5$ días.

Respuesta correcta: B) Para $2 < x < 4$

• A) Para $0 < x < 2$Incorrecto. Ahí ocurre lo contrario: con $x = 1$, $2^1 = 2 > 1 = 1^2$.
• B) Para $2 < x < 4$Correcto. Las gráficas se cortan en $x = 2$ ($4 = 4$) y $x = 4$ ($16 = 16$); entre ellas, por ejemplo $2^3 = 8 < 9 = 3^2$.
• C) Para $x > 4$Incorrecto. Después de $x = 4$ la exponencial supera a la cuadrática: con $x = 5$, $32 > 25$.
• D) Para ningún $x > 0$, porque una exponencial siempre es mayor que una potenciaIncorrecto. La exponencial domina solo a largo plazo; con $x = 3$ se tiene $8 < 9$.

Respuesta correcta: C) Es incorrecto: $2 \cdot 3^{x} \ne 6^{x}$; dividiendo entre 2 queda $3^{x} = 9$, así que $x = 2$

• A) Es correcto; la solución es $x = \log_{6} 18$Incorrecto. Con $x \approx 1.61$: $2 \cdot 3^{1.61} \approx 11.7 \ne 18$; el resultado no verifica la ecuación.
• B) Es incorrecto: debía escribir $3^{2x} = 18$Incorrecto. El 2 multiplica a la potencia; no se convierte en exponente. $3^{2x}$ sería $(3^x)^2$.
• C) Es incorrecto: $2 \cdot 3^{x} \ne 6^{x}$; dividiendo entre 2 queda $3^{x} = 9$, así que $x = 2$Correcto. El 2 no está elevado a la $x$; solo se pueden multiplicar bases si ambas tienen el mismo exponente. Con $x = 2$: $2 \cdot 9 = 18$.
• D) Es incorrecto: la solución es $x = \frac{18}{6} = 3$Incorrecto. Con $x = 3$: $2 \cdot 27 = 54 \ne 18$; además se mantuvo el error de juntar $2 \cdot 3$.

Respuesta correcta: B) Es falsa: con crecimiento compuesto, $1.05^{t} = 2$ da $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.2$ años

• A) Es verdadera, porque 5% durante 20 años suma 100%Incorrecto. Sumar porcentajes supone crecimiento lineal; el 5% se aplica cada año sobre una población cada vez mayor.
• B) Es falsa: con crecimiento compuesto, $1.05^{t} = 2$ da $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.2$ añosCorrecto. En 20 años el factor sería $1.05^{20} \approx 2.65$, más del doble; el doble se alcanza hacia los 14.2 años.
• C) Es falsa: tarda unos 40 añosIncorrecto. Al crecer de forma compuesta tarda menos, no más, que el cálculo lineal de 20 años.
• D) Es falsa: se duplica en 10 añosIncorrecto. $1.05^{10} \approx 1.63$; en 10 años la población solo aumenta 63%.

Respuesta correcta: B) Exponencial, porque el cociente entre años consecutivos es constante e igual a 1.1

• A) Lineal, porque el saldo aumenta 10 cada añoIncorrecto. Los aumentos son 10, 11 y 12.1; no son constantes, así que el modelo no es lineal.
• B) Exponencial, porque el cociente entre años consecutivos es constante e igual a 1.1Correcto. $\frac{110}{100} = \frac{121}{110} = \frac{133.1}{121} = 1.1$: cada año el saldo se multiplica por 1.1.
• C) Lineal con pendiente 11, el aumento promedio de cada añoIncorrecto. Un promedio de aumentos no hace lineal un modelo cuyos aumentos crecen; la razón constante 1.1 indica exponencial.
• D) Cuadrático, porque las diferencias segundas son constantesIncorrecto. Las diferencias son 10, 11, 12.1 y las segundas 1 y 1.1; no son constantes.

Respuesta correcta: C) B, con unos 27.2 mg, frente a 25 mg de A

• A) A, con 25 mg, porque B pierde $8 \times 15\% = 120\%$ y se elimina por completoIncorrecto. El 15% se calcula sobre lo que queda cada hora, no sobre los 100 mg iniciales; B nunca llega a 0.
• B) A, con 50 mg, frente a 27.2 mg de BIncorrecto. En 8 horas hay dos vidas medias de A, no una: $100 \to 50 \to 25$ mg.
• C) B, con unos 27.2 mg, frente a 25 mg de ACorrecto. A: $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 25$ mg. B: $100 \cdot 0.85^{8} \approx 27.25$ mg.
• D) Ambos igual, porque perder 15% por hora equivale a perder 50% cada 4 horasIncorrecto. $0.85^4 \approx 0.522$: en 4 horas B conserva 52.2%, no 50%.