Algebra Basica — Matemáticas Grado 11, Colombia

Bloom: Remember

En Bogotá, un jardín cuadrado de lado $x$ metros se amplía 5 m en cada dirección y su área pasa a ser $(x + 5)^{2}$ .

¿Cuál es el desarrollo de

(x + 5)^{2}

?

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Respuesta correcta: C) $x^{2} + 10x + 25$

A) $x^{2} + 25$ Incorrecto. Se elevó cada término por separado; falta el doble producto $2 \cdot 5x = 10x$ , que corresponde a los dos rectángulos de la ampliación.
B) $x^{2} + 5x + 25$ Incorrecto. El término central es el doble producto, $2 \cdot 5x = 10x$ , no $5x$ .
C) $x^{2} + 10x + 25$ Correcto. Por el binomio al cuadrado: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$ .
D) $x^{2} + 10x + 10$ Incorrecto. El último término es $5^2 = 25$ ; se calculó $5 \cdot 2 = 10$ .

💡 Explicación

(x + 5)^2 = (x + 5)(x + 5) = x^2 + 5x + 5x + 25 = x^2 + 10x + 25

. Geométricamente: el cuadrado nuevo se divide en el jardín original (

x^2

), dos franjas de

5x

y un cuadrado de esquina de

25

m².

Bloom: Understand

En Bucaramanga, un estudiante necesita factorizar la expresión $x^{2} - 49$ para simplificar una fórmula de áreas.

¿Cuál es la factorización completa de

x^{2} - 49

?

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Respuesta correcta: B) $(x - 7)(x + 7)$

A) $(x - 7)^{2}$ Incorrecto. $(x - 7)^2 = x^2 - 14x + 49$ : tiene término central y el 49 es positivo.
B) $(x - 7)(x + 7)$ Correcto. Es una diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ con $a = x$ y $b = 7$ .
C) $(x - 49)(x + 1)$ Incorrecto. Al multiplicar da $x^2 - 48x - 49$ ; aparece un término en $x$ que no existe en la expresión.
D) $(x + 7)^{2}$ Incorrecto. $(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49$ ; un cuadrado de binomio no produce una resta de cuadrados.

💡 Explicación

Como

49 = 7^2

, la expresión es

x^2 - 7^2

, una diferencia de cuadrados. Se factoriza como

(x - 7)(x + 7)

. Comprobación:

(x - 7)(x + 7) = x^2 + 7x - 7x - 49 = x^2 - 49

; los términos en

x

se cancelan.

Bloom: Remember

En Cali, un ingeniero modela un diseño con la ecuación $x^{2} - 6x + 9 = 0$ y quiere saber cuántas soluciones reales tiene antes de resolverla.

Según el discriminante, ¿cuántas soluciones reales tiene

x^{2} - 6x + 9 = 0

?

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Respuesta correcta: C) Una solución real (doble)

A) Dos soluciones reales distintasIncorrecto. Eso ocurre cuando $\Delta > 0$ ; aquí $\Delta = 36 - 36 = 0$ .
B) Ninguna solución realIncorrecto. Eso ocurre cuando $\Delta < 0$ ; aquí $\Delta = 0$ y existe la solución $x = 3$ .
C) Una solución real (doble)Correcto. $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$ ; con discriminante cero hay una raíz repetida, $x = 3$ .
D) Infinitas solucionesIncorrecto. Una ecuación cuadrática no nula tiene a lo sumo dos soluciones; con $\Delta = 0$ tiene exactamente una.

💡 Explicación

Para

ax^2 + bx + c = 0

, el discriminante es

\Delta = b^2 - 4ac

. Con

a = 1

,

b = -6

,

c = 9

:

\Delta = 36 - 36 = 0

. Por lo tanto hay una única solución real,

x = \frac{-b}{2a} = 3

; de hecho

x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

.

Bloom: Understand

En Pereira, al calcular el área libre de un taller se obtiene la expresión $3x^{2} - 12x$ , que se quiere factorizar.

¿Cuál es la factorización completa de

3x^{2} - 12x

por factor común?

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Respuesta correcta: B) $3x(x - 4)$

A) $3x(x - 12)$ Incorrecto. Se sacó $3x$ de $3x^2$ pero no se dividió $-12x$ entre $3x$ ; al multiplicar da $3x^2 - 36x$ .
B) $3x(x - 4)$ Correcto. El máximo factor común es $3x$ : $3x \cdot x = 3x^2$ y $3x \cdot (-4) = -12x$ .
C) $x(3x - 4)$ Incorrecto. Al multiplicar da $3x^2 - 4x$ ; el $-12x$ dividido entre $x$ es $-12$ , no $-4$ .
D) $3x(x + 4)$ Incorrecto. Error de signo: $3x(x + 4) = 3x^2 + 12x$ .

💡 Explicación

El máximo común divisor de los coeficientes 3 y 12 es 3, y la menor potencia común de

x

es

x

. Factor común:

3x

. Se divide cada término:

\frac{3x^2}{3x} = x

y

\frac{-12x}{3x} = -4

. Resultado:

3x(x - 4)

. Se verifica distribuyendo:

3x^2 - 12x

.

Bloom: Apply

En una cafetería de Cartagena, 2 jugos y 3 empanadas cuestan 13 000 COP, y 1 jugo y 2 empanadas cuestan 8 000 COP.

¿Cuál es el precio de una empanada?

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Respuesta correcta: B) 3 000 COP

A) 2 000 COPIncorrecto. 2 000 COP es el precio del jugo; con $j = 2\,000$ se despeja $e = \frac{8\,000 - 2\,000}{2} = 3\,000$ .
B) 3 000 COPCorrecto. Del sistema $2j + 3e = 13\,000$ y $j + 2e = 8\,000$ se obtiene $e = 3\,000$ y $j = 2\,000$ .
C) 5 000 COPIncorrecto. 5 000 COP es $j + e$ , el precio de un jugo y una empanada juntos.
D) 2 600 COPIncorrecto. Se dividió $13\,000 \div 5$ como si los 5 productos costaran lo mismo; jugos y empanadas tienen precios distintos.

💡 Explicación

Sea

j

el precio del jugo y

e

el de la empanada. De la segunda ecuación,

j = 8\,000 - 2e

. Sustituyendo en la primera:

2(8\,000 - 2e) + 3e = 13\,000 \Rightarrow 16\,000 - e = 13\,000 \Rightarrow e = 3\,000

. Luego

j = 2\,000

. Verificación:

2(2\,000) + 3(3\,000) = 13\,000

.

Bloom: Apply

En Montería, un lote rectangular tiene 96 m² de área y su largo mide 4 m más que su ancho.

¿Cuánto mide el ancho del lote?

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Respuesta correcta: D) 8 m

A) 12 mIncorrecto. 12 viene de la raíz $w = -12$ tomada sin signo; con ancho 12 el largo sería 16 y el área 192 m².
B) 24 mIncorrecto. Se dividió $96 \div 4$ ; el 4 es la diferencia entre largo y ancho, no un factor del área.
C) $\sqrt{96}$ mIncorrecto. $\sqrt{96}$ sería el lado si el lote fuera cuadrado; aquí largo y ancho difieren en 4 m.
D) 8 mCorrecto. $w(w + 4) = 96 \Rightarrow w^2 + 4w - 96 = 0 \Rightarrow (w - 8)(w + 12) = 0$ ; la medida positiva es $w = 8$ .

💡 Explicación

Si el ancho es

w

, el largo es

w + 4

y el área

w(w + 4) = 96

. Queda

w^2 + 4w - 96 = 0

, que se factoriza como

(w - 8)(w + 12) = 0

. Las raíces son

8

y

-12

; una longitud no puede ser negativa, así que

w = 8

m y el largo es 12 m. Verificación:

8 \cdot 12 = 96

.

Bloom: Apply

Un programa de hoja de cálculo usado en Tunja debe evaluar la expresión $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$ y evitar las divisiones por cero.

¿Cuál es la simplificación correcta de

\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}

, con sus restricciones?

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Respuesta correcta: A) $\frac{x - 3}{x + 2}$ , con $x \ne -2$ y $x \ne -3$

A) $\frac{x - 3}{x + 2}$ , con $x \ne -2$ y $x \ne -3$ Correcto. $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)} = \frac{x - 3}{x + 2}$ ; las restricciones salen del denominador original: $x \ne -2$ y $x \ne -3$ .
B) $\frac{x - 3}{x + 2}$ , con $x \ne -2$ solamenteIncorrecto. La expresión original no existe en $x = -3$ (denominador 0); cancelar el factor no elimina esa restricción.
C) $\frac{-9}{5x + 6}$ Incorrecto. Se cancelaron los términos $x^2$ ; solo se pueden cancelar factores comunes, no sumandos.
D) $\frac{x + 3}{x + 2}$ , con $x \ne -2$ Incorrecto. Se canceló el factor equivocado: el común es $x + 3$ , así que el que queda arriba es $x - 3$ .

💡 Explicación

Se factoriza:

x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

y

x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

. Las restricciones se toman antes de simplificar: el denominador se anula en

x = -2

y

x = -3

. Al cancelar

(x + 3)

queda

\frac{x - 3}{x + 2}

, válida para

x \ne -2

y

x \ne -3

.

Bloom: Apply

En un preicfes de Sincelejo, se pide resolver $2x^{2} - 3x - 2 = 0$ con la fórmula general.

¿Cuáles son las soluciones de

2x^{2} - 3x - 2 = 0

?

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Respuesta correcta: A) $x = 2$ y $x = -\frac{1}{2}$

A) $x = 2$ y $x = -\frac{1}{2}$ Correcto. $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$ , que da $2$ y $-\frac{1}{2}$ .
B) $x = 4$ y $x = -1$ Incorrecto. Se dividió entre 2 en lugar de $2a = 4$ : $\frac{3 \pm 5}{2}$ .
C) $x = -2$ y $x = \frac{1}{2}$ Incorrecto. Se tomó $-b = -3$ ; como $b = -3$ , el numerador empieza con $-b = +3$ .
D) $x = 2$ y $x = \frac{1}{2}$ Incorrecto. Con $x = \frac{1}{2}$ : $2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 2 = -3 \ne 0$ ; el signo de la segunda raíz es negativo.

💡 Explicación

Con

a = 2

,

b = -3

,

c = -2

:

\Delta = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25

. Entonces

x = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}

:

x_1 = \frac{8}{4} = 2

y

x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}

. También se factoriza:

(2x + 1)(x - 2) = 0

.

Bloom: Apply

En un software de diseño de Medellín, la ecuación $x^{2} + kx + 9 = 0$ debe tener exactamente una solución real para que dos piezas encajen.

¿Para qué valores de

k

la ecuación

x^{2} + kx + 9 = 0

tiene exactamente una solución real?

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Respuesta correcta: D) $k = 6$ o $k = -6$

A) Solo $k = 6$ Incorrecto. $k = -6$ también da $\Delta = 36 - 36 = 0$ : $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ .
B) $k = 3$ o $k = -3$ Incorrecto. Se igualó $k^2 = 9$ , olvidando el factor $4ac = 36$ del discriminante.
C) $k = 36$ Incorrecto. 36 es el valor de $k^2$ ; falta sacar la raíz cuadrada.
D) $k = 6$ o $k = -6$ Correcto. Se necesita $\Delta = k^2 - 36 = 0$ , es decir $k^2 = 36$ , con dos valores: $k = \pm 6$ .

💡 Explicación

Una cuadrática tiene una sola solución real cuando

\Delta = 0

. Aquí

\Delta = k^2 - 4(1)(9) = k^2 - 36

. Entonces

k^2 = 36

y

k = 6

o

k = -6

. Para

k = 6

:

(x + 3)^2 = 0

,

x = -3

; para

k = -6

:

(x - 3)^2 = 0

,

x = 3

.

Bloom: Apply

En Popayán, Juliana resolvió $2(x - 3) = x + 5$ así: paso 1, $2x - 3 = x + 5$ ; paso 2, $x = 8$ .

¿Dónde está el error de Juliana y cuál es la solución correcta?

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Respuesta correcta: A) En el paso 1: $2(x - 3) = 2x - 6$ , no $2x - 3$ ; la solución es $x = 11$

A) En el paso 1: $2(x - 3) = 2x - 6$ , no $2x - 3$ ; la solución es $x = 11$ Correcto. Faltó multiplicar el 2 por el $-3$ ; con $2x - 6 = x + 5$ se obtiene $x = 11$ , y $2(8) = 16 = 11 + 5$ .
B) En el paso 2: al restar $x$ debía quedar $3x = 8$ Incorrecto. Restar $x$ en ambos lados de $2x - 3 = x + 5$ da $x - 3 = 5$ ; no aparece $3x$ .
C) No hay error; la solución es $x = 8$ Incorrecto. Con $x = 8$ : $2(8 - 3) = 10$ y $8 + 5 = 13$ ; no se cumple la igualdad.
D) En el paso 1: debía ser $2x + 6$ , así que $x = -1$ Incorrecto. $2 \cdot (-3) = -6$ ; el signo del $-3$ se conserva al distribuir.

💡 Explicación

La propiedad distributiva exige multiplicar el 2 por cada término del paréntesis:

2(x - 3) = 2x - 6

. Entonces

2x - 6 = x + 5 \Rightarrow x = 11

. Verificación:

2(11 - 3) = 16

y

11 + 5 = 16

. El paso 2 de Juliana es correcto para la ecuación que escribió, pero esa ecuación ya estaba mal.

Bloom: Analyze

En Barranquilla, dos rutas de bus se representan con las rectas $2x + 3y = 6$ y $4x + 6y = k$ en un plano de la ciudad.

¿Para qué valores de

k

el sistema no tiene solución, es decir, las rutas nunca se cruzan?

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Respuesta correcta: A) $k \ne 12$

A) $k \ne 12$ Correcto. La segunda ecuación tiene coeficientes dobles; si $k \ne 12$ las rectas son paralelas distintas y no se cortan.
B) $k = 12$ Incorrecto. Con $k = 12$ la segunda ecuación es el doble de la primera: son la misma recta y hay infinitas soluciones.
C) $k = 6$ Incorrecto. $k = 6$ es solo uno de los valores que funcionan; $k = 0$ o $k = 20$ también dan rectas paralelas distintas.
D) Ningún valor de $k$ , porque dos rectas siempre se cortanIncorrecto. Las rectas paralelas no se cortan; aquí ambas tienen pendiente $-\frac{2}{3}$ .

💡 Explicación

Multiplicando la primera ecuación por 2:

4x + 6y = 12

. Comparando con

4x + 6y = k

: si

k = 12

son la misma recta (infinitas soluciones); si

k \ne 12

se llega a

12 = k

, una contradicción, y no hay solución. Ambas rectas tienen pendiente

-\frac{2}{3}

, así que son paralelas.

Bloom: Analyze

En el estadio de Ibagué, un balón pateado hacia arriba sigue la altura $h(t) = -5t^{2} + 20t + 1$ (metros, con $t$ en segundos).

¿El balón alcanza una altura de 25 m?

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Respuesta correcta: C) No: $-5t^{2} + 20t + 1 = 25$ tiene discriminante $400 - 480 = -80 < 0$ , y la altura máxima es 21 m

A) Sí, en $t = 1.2$ s, porque $20t + 1 = 25$ Incorrecto. Se ignoró el término $-5t^2$ : $h(1.2) = -7.2 + 24 + 1 = 17.8$ m, no 25.
B) Sí, dos veces, porque el discriminante es $80 > 0$ Incorrecto. Error de signo en $b^2 - 4ac$ : $400 - 4(-5)(-24) = 400 - 480 = -80$ .
C) No: $-5t^{2} + 20t + 1 = 25$ tiene discriminante $400 - 480 = -80 < 0$ , y la altura máxima es 21 mCorrecto. La ecuación $-5t^2 + 20t - 24 = 0$ no tiene raíces reales; el vértice está en $t = 2$ con $h(2) = 21$ m.
D) No, porque la altura máxima es 20 mIncorrecto. La conclusión coincide, pero el valor no: $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ m; se olvidó la altura inicial de 1 m.

💡 Explicación

Se plantea

-5t^2 + 20t + 1 = 25 \Rightarrow -5t^2 + 20t - 24 = 0

.

\Delta = 20^2 - 4(-5)(-24) = 400 - 480 = -80 < 0

: no hay tiempo real en que ocurra. Además, el vértice está en

t = \frac{-20}{2(-5)} = 2

s y

h(2) = 21

m, la altura máxima, que es menor que 25 m.

Bloom: Analyze

En Villavicencio, el área de una pieza de un mueble se expresa como $6x^{2} + x - 2$ y el carpintero quiere conocer sus dimensiones como factores lineales.

¿Cuál es la factorización de

6x^{2} + x - 2

?

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Respuesta correcta: C) $(2x - 1)(3x + 2)$

A) $(2x + 1)(3x - 2)$ Incorrecto. Los signos están intercambiados: el producto da $6x^2 - 4x + 3x - 2 = 6x^2 - x - 2$ .
B) $(6x - 2)(x + 1)$ Incorrecto. El producto da $6x^2 + 6x - 2x - 2 = 6x^2 + 4x - 2$ ; el término central no coincide.
C) $(2x - 1)(3x + 2)$ Correcto. $(2x - 1)(3x + 2) = 6x^2 + 4x - 3x - 2 = 6x^2 + x - 2$ .
D) $(x - 2)(6x + 1)$ Incorrecto. El producto da $6x^2 + x - 12x - 2 = 6x^2 - 11x - 2$ .

💡 Explicación

Método de

ac

:

a \cdot c = 6 \cdot (-2) = -12

. Se buscan dos números con producto

-12

y suma

1

: son

4

y

-3

. Se reescribe

6x^2 + 4x - 3x - 2 = 2x(3x + 2) - 1(3x + 2) = (2x - 1)(3x + 2)

. Sus raíces son

\frac{1}{2}

y

-\frac{2}{3}

.

Bloom: Analyze

En Cúcuta, un estudiante encuentra la ecuación $\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2} + 3$ en un taller de expresiones racionales.

¿Cuál es el conjunto solución de

\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2} + 3

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) No tiene solución, porque el único candidato, $x = 2$ , anula el denominador

A) $x = 2$ Incorrecto. Con $x = 2$ los denominadores valen 0 y las fracciones no existen; es una solución extraña.
B) $x = 5$ Incorrecto. Se multiplicó solo las fracciones por $x - 2$ y no el 3: $x = 2 + 3$ . Además $\frac{5}{3} \ne \frac{2}{3} + 3$ .
C) $x = -2$ Incorrecto. Con $x = -2$ : $\frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$ y $\frac{2}{-4} + 3 = \frac{5}{2}$ ; no son iguales.
D) No tiene solución, porque el único candidato, $x = 2$ , anula el denominadorCorrecto. Multiplicando por $x - 2$ : $x = 2 + 3(x - 2)$ , de donde $x = 2$ , que está excluido del dominio.

💡 Explicación

Restricción:

x \ne 2

. Multiplicando ambos lados por

x - 2

:

x = 2 + 3(x - 2) = 3x - 4

, así que

-2x = -4

y

x = 2

. Pero

x = 2

está prohibido, de modo que la ecuación no tiene solución. Siempre hay que contrastar las soluciones con las restricciones del denominador.

Bloom: Analyze

Un grupo de amigos de Pasto reparte en partes iguales el alquiler de una cabaña de 120 000 COP; si fueran 2 personas más, cada uno pagaría 5 000 COP menos.

¿Cuántos amigos hay en el grupo?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 6

A) 8Incorrecto. 8 es $n + 2$ , el número de personas en el escenario hipotético; con 8 cada uno paga 15 000 COP.
B) 6Correcto. $\frac{120\,000}{n} - \frac{120\,000}{n + 2} = 5\,000$ lleva a $n^2 + 2n - 48 = 0$ , cuya raíz positiva es $n = 6$ .
C) 24Incorrecto. Se dividió $120\,000 \div 5\,000$ ; esa cuenta no usa la condición de las 2 personas adicionales.
D) 4Incorrecto. Con 4 personas pagarían 30 000 y con 6 pagarían 20 000: la diferencia es 10 000 COP, no 5 000.

💡 Explicación

Con

n

amigos cada uno paga

\frac{120\,000}{n}

; con

n + 2

,

\frac{120\,000}{n + 2}

. La condición es

\frac{120\,000}{n} - \frac{120\,000}{n+2} = 5\,000

. Multiplicando por

n(n + 2)

y dividiendo entre 5 000:

24(n + 2) - 24n = n(n + 2)

, es decir

n^2 + 2n - 48 = 0 = (n - 6)(n + 8)

. Así

n = 6

: pagan 20 000 COP, y con 8 personas pagarían 15 000 COP.

Bloom: Analyze

En Neiva, un profesor pide identificar la fórmula correcta para factorizar una diferencia de cubos, útil para calcular volúmenes.

¿Cuál igualdad es una identidad válida para todos los valores de

a

y

b

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$

A) $a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} - ab + b^{2})$ Incorrecto. Con el signo $-ab$ el producto da $a^3 - 2a^2b + 2ab^2 - b^3$ ; ese trinomio corresponde a la suma de cubos con $(a + b)$ .
B) $a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$ Correcto. Al multiplicar: $a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$ .
C) $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3}$ Incorrecto. $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ ; tiene términos cruzados que no aparecen en $a^3 - b^3$ .
D) $a^{3} - b^{3} = (a - b)(a + b)^{2}$ Incorrecto. Con $a = 2$ , $b = 1$ : el lado izquierdo es 7 y el derecho $1 \cdot 9 = 9$ .

💡 Explicación

Para verificar una identidad se expande:

(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3

. Para refutar una igualdad basta un valor: con

a = 2

y

b = 1

,

a^3 - b^3 = 7

, mientras que

(a - b)^3 = 1

y

(a - b)(a + b)^2 = 9

.

Bloom: Evaluate

En un club de matemáticas de Santa Marta circula una "demostración" de que $2 = 1$ : sea $a = b \ne 0$ ; entonces $a^{2} = ab$ , $a^{2} - b^{2} = ab - b^{2}$ , $(a + b)(a - b) = b(a - b)$ , $a + b = b$ , $2b = b$ y $2 = 1$ .

¿Cuál es el paso inválido de la demostración?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) Pasar de $(a + b)(a - b) = b(a - b)$ a $a + b = b$ , porque se divide entre $a - b = 0$

A) Factorizar $a^{2} - b^{2}$ como $(a + b)(a - b)$ Incorrecto. Esa es la diferencia de cuadrados, una identidad correcta para todos los valores.
B) Multiplicar ambos lados de $a = b$ por $a$ para obtener $a^{2} = ab$ Incorrecto. Multiplicar ambos lados de una igualdad por el mismo número siempre conserva la igualdad.
C) Restar $b^{2}$ a ambos lados, lo que altera la igualdadIncorrecto. Restar la misma cantidad a ambos lados conserva la igualdad; ese paso es válido.
D) Pasar de $(a + b)(a - b) = b(a - b)$ a $a + b = b$ , porque se divide entre $a - b = 0$ Correcto. Como $a = b$ , el factor $a - b$ vale 0, y dividir entre 0 no está definido; ahí aparece la falsedad.

💡 Explicación

Todos los pasos son válidos salvo uno. De

(a + b)(a - b) = b(a - b)

solo se puede cancelar

(a - b)

si

a - b \ne 0

; pero se partió de

a = b

, así que

a - b = 0

. Cancelar ese factor es dividir entre cero, y por eso se obtiene

2b = b

, que con

b \ne 0

es falso.

Bloom: Evaluate

En Santa Marta, la empresa A alquila carros por 80 000 COP más 1 000 COP por km, y la empresa B por 50 000 COP más 1 500 COP por km.

¿Qué afirmación sobre las dos empresas es correcta?

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Respuesta correcta: C) A es más barata cuando se recorren más de 60 km

A) A siempre es más barata porque cobra menos por kilómetroIncorrecto. Para pocos kilómetros pesa la tarifa fija: con 10 km, A cuesta 90 000 y B 65 000 COP.
B) A es más barata cuando se recorren menos de 60 kmIncorrecto. Se invirtió la desigualdad: para $d < 60$ es más barata B, por su tarifa fija menor.
C) A es más barata cuando se recorren más de 60 kmCorrecto. $80\,000 + 1\,000d < 50\,000 + 1\,500d \iff 30\,000 < 500d \iff d > 60$ .
D) A es más barata cuando se recorren más de 52 kmIncorrecto. 52 sale de $\frac{80\,000 + 50\,000}{2\,500}$ ; hay que restar tarifas fijas y costos por km, no sumarlos.

💡 Explicación

Costos:

C_A = 80\,000 + 1\,000d

y

C_B = 50\,000 + 1\,500d

. Se igualan:

80\,000 + 1\,000d = 50\,000 + 1\,500d \Rightarrow d = 60

km, donde ambas cuestan 140 000 COP. Para

d > 60

, A es más barata (con 100 km: A 180 000 y B 200 000 COP).

Bloom: Evaluate

En Armenia, Felipe simplifica $\frac{x + 6}{x + 3}$ cancelando las $x$ y obtiene $\frac{6}{3} = 2$ .

¿Cuál evaluación del procedimiento de Felipe es correcta?

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Respuesta correcta: A) Es inválido: solo se cancelan factores comunes, no sumandos; con $x = 1$ la expresión vale $\frac{7}{4} \ne 2$

A) Es inválido: solo se cancelan factores comunes, no sumandos; con $x = 1$ la expresión vale $\frac{7}{4} \ne 2$ Correcto. $x$ es un sumando del numerador y del denominador, no un factor; un contraejemplo numérico basta para descartar la igualdad.
B) Es válido, porque la $x$ aparece arriba y abajoIncorrecto. Aparecer arriba y abajo no basta: debe multiplicar a toda la expresión. Con $x = 3$ queda $\frac{9}{6} = 1.5$ .
C) Es válido siempre que $x \ne -3$ Incorrecto. La restricción $x \ne -3$ es necesaria, pero no hace válida la cancelación; con $x = 0$ sí da 2, con $x = 1$ no.
D) Es inválido: el resultado correcto es $\frac{x + 2}{x + 1}$ , dividiendo entre 3Incorrecto. Dividir arriba y abajo entre 3 afecta a todos los términos: daría $\frac{\frac{x}{3} + 2}{\frac{x}{3} + 1}$ ; además con $x = 1$ , $\frac{3}{2} \ne \frac{7}{4}$ .

💡 Explicación

Simplificar una fracción es dividir numerador y denominador entre un factor común. En

\frac{x + 6}{x + 3}

no hay factor común: ni el numerador ni el denominador se factorizan con

x

. Prueba:

x = 1

da

\frac{7}{4}

,

x = 3

da

\frac{9}{6} = \frac{3}{2}

. La expresión ya está en su forma más simple, con

x \ne -3

.

Bloom: Evaluate

En Floridablanca, una tienda de obleas modela su ingreso diario como $R(p) = p(200 - 2p)$ , en miles de pesos, donde $p$ es el precio por oblea en miles de pesos.

¿Cuál afirmación sobre el ingreso máximo es correcta?

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Respuesta correcta: D) El ingreso es máximo con $p = 50$ y vale $5\,000$ (miles de pesos)

A) El ingreso es máximo con $p = 100$ , porque allí la demanda se anulaIncorrecto. Con $p = 100$ se venden $200 - 200 = 0$ obleas y el ingreso es 0, el mínimo, no el máximo.
B) El ingreso es máximo con $p = 25$ Incorrecto. $R(25) = 25 \cdot 150 = 3\,750 < 5\,000$ ; el vértice está en el punto medio de las raíces 0 y 100, es decir 50.
C) El ingreso es máximo con $p = 50$ y vale $10\,000$ (miles de pesos)Incorrecto. El precio es correcto pero el valor no: $R(50) = 50(200 - 100) = 5\,000$ ; se calculó $50 \cdot 200$ sin restar $2p$ .
D) El ingreso es máximo con $p = 50$ y vale $5\,000$ (miles de pesos)Correcto. $R(p) = -2p^2 + 200p$ ; el vértice está en $p = \frac{-200}{2(-2)} = 50$ y $R(50) = 50 \cdot 100 = 5\,000$ .

💡 Explicación

R(p) = 200p - 2p^2

es una parábola que abre hacia abajo (

a = -2 < 0

), con raíces

p = 0

y

p = 100

. El máximo está en el vértice,

p = \frac{0 + 100}{2} = 50

, y

R(50) = 50(200 - 2 \cdot 50) = 50 \cdot 100 = 5\,000

miles de pesos. Cualquier otro precio produce menos ingreso, por ejemplo

R(25) = 3\,750

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?