Trigonometria Basica

Respuesta correcta: D) $\frac{4}{5}$

• A) $\frac{3}{5}$Incorrecto. Ese cociente $\frac{30}{50}$ usa el cateto opuesto, por lo que corresponde a $\sin\alpha$, no al coseno.
• B) $\frac{3}{4}$Incorrecto. El cociente $\frac{30}{40}$ es opuesto sobre adyacente, es decir $\tan\alpha$; el coseno lleva la hipotenusa en el denominador.
• C) $\frac{5}{4}$Incorrecto. Se invirtió la razón: $\frac{50}{40}$ es hipotenusa sobre adyacente, que define la secante y además es mayor que 1, imposible para un coseno.
• D) $\frac{4}{5}$Correcto. El coseno es cateto adyacente sobre hipotenusa: el adyacente a $\alpha$ mide 40, así que $\cos\alpha = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$.

Respuesta correcta: A) $\frac{3\pi}{4}$

• A) $\frac{3\pi}{4}$Correcto. Se multiplica por $\frac{\pi}{180}$: $135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$.
• B) $\frac{4\pi}{3}$Incorrecto. Se invirtió la fracción simplificada; $\frac{4\pi}{3}$ equivale a $240^\circ$, no a $135^\circ$.
• C) $\frac{3\pi}{8}$Incorrecto. Se dividió entre 360 en lugar de 180: $\frac{135\pi}{360} = \frac{3\pi}{8}$, que equivale solo a $67{,}5^\circ$.
• D) $\frac{3\pi}{2}$Incorrecto. $\frac{3\pi}{2}$ equivale a $270^\circ$; se duplicó el ángulo al convertir.

Respuesta correcta: D) $\tan 200^\circ > 0$

• A) $\sin 200^\circ > 0$Incorrecto. En el tercer cuadrante la ordenada del punto en la circunferencia es negativa, luego $\sin 200^\circ \approx -0{,}34$.
• B) $\cos 200^\circ > 0$Incorrecto. En el tercer cuadrante la abscisa es negativa, luego $\cos 200^\circ \approx -0{,}94$.
• C) $\sin 200^\circ$ y $\cos 200^\circ$ tienen signos opuestosIncorrecto. Ambos son negativos en el tercer cuadrante; los signos opuestos ocurren en el segundo y el cuarto cuadrante.
• D) $\tan 200^\circ > 0$Correcto. $200^\circ$ está en el tercer cuadrante, donde seno y coseno son negativos; el cociente de dos negativos es positivo, así que la tangente es positiva.

Respuesta correcta: D) $2\sqrt{3}\text{ m}$

• A) $6\sqrt{3}\text{ m}$Incorrecto. Se multiplicó por $\tan 60^\circ$ en lugar de dividir: la sombra es el cateto adyacente, $s = \frac{6}{\tan 60^\circ}$.
• B) $3\text{ m}$Incorrecto. Se calculó $6\cos 60^\circ$, tratando el poste como si fuera la hipotenusa, cuando es un cateto.
• C) $12\text{ m}$Incorrecto. $\frac{6}{\cos 60^\circ} = 12$ sería la distancia del extremo de la sombra a la punta del poste (hipotenusa), no la sombra.
• D) $2\sqrt{3}\text{ m}$Correcto. $\tan 60^\circ = \frac{6}{s}$, así que $s = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ m.

Respuesta correcta: A) $24{,}6\text{ m}$

• A) $24{,}6\text{ m}$Correcto. $40\tan 30^\circ \approx 23{,}09$ m sobre los ojos, más $1{,}5$ m de altura de los ojos: $\approx 24{,}6$ m.
• B) $23{,}1\text{ m}$Incorrecto. Ese valor es solo $40\tan 30^\circ$: se olvidó sumar los $1{,}5$ m desde el suelo hasta los ojos.
• C) $21{,}5\text{ m}$Incorrecto. Se usó $40\sin 30^\circ + 1{,}5 = 21{,}5$; los 40 m son el cateto adyacente, no la hipotenusa, así que corresponde la tangente.
• D) $36{,}1\text{ m}$Incorrecto. Se usó $40\cos 30^\circ + 1{,}5 \approx 36{,}1$; el coseno relaciona adyacente e hipotenusa, no la altura buscada.

Respuesta correcta: D) $-\frac{12}{13}$

• A) $\frac{12}{13}$Incorrecto. El valor absoluto es correcto, pero en el segundo cuadrante la abscisa es negativa; se ignoró el signo.
• B) $\frac{8}{13}$Incorrecto. Se calculó $1 - \frac{5}{13}$ sin elevar al cuadrado; la identidad es $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• C) $-\frac{5}{12}$Incorrecto. $-\frac{5}{12}$ es $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$, no el coseno.
• D) $-\frac{12}{13}$Correcto. $\cos^2\theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$, y en el segundo cuadrante el coseno es negativo: $\cos\theta = -\frac{12}{13}$.

Respuesta correcta: B) $45\sqrt{3}\text{ m} \approx 77{,}9\text{ m}$

• A) $15\sqrt{3}\text{ m} \approx 26{,}0\text{ m}$Incorrecto. Se calculó $45\tan 30^\circ$; la altura es el cateto opuesto, por lo que hay que dividir entre la tangente, no multiplicar.
• B) $45\sqrt{3}\text{ m} \approx 77{,}9\text{ m}$Correcto. El ángulo de depresión es igual al de elevación desde la lancha: $\tan 30^\circ = \frac{45}{d}$, así que $d = 45\sqrt{3} \approx 77{,}9$ m.
• C) $90\text{ m}$Incorrecto. $\frac{45}{\sin 30^\circ} = 90$ m es la visual desde el vigía hasta la lancha (hipotenusa), no la distancia horizontal.
• D) $30\sqrt{3}\text{ m} \approx 52{,}0\text{ m}$Incorrecto. Se usó $\frac{45}{\cos 30^\circ}$, mezclando la altura con la razón coseno, que relaciona adyacente con hipotenusa.

Respuesta correcta: C) $10\sqrt{2}\text{ m}$

• A) $5\sqrt{2}\text{ m}$Incorrecto. Se invirtió la proporción: $\frac{10\sin A}{\sin B} = 5\sqrt{2}$; el lado mayor debe oponerse al ángulo mayor ($45^\circ$), y $5\sqrt{2} < 10$.
• B) $15\text{ m}$Incorrecto. Se supuso que los lados son proporcionales a los ángulos ($10 \cdot \frac{45}{30}$); la ley de senos usa los senos de los ángulos.
• C) $10\sqrt{2}\text{ m}$Correcto. Por la ley de senos, $b = \frac{a\sin B}{\sin A} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14{,}1$ m.
• D) $\frac{10\sqrt{6}}{3}\text{ m}$Incorrecto. Se usaron cosenos, $\frac{10\cos 45^\circ}{\cos 30^\circ}$; la ley de senos relaciona cada lado con el seno del ángulo opuesto.

Respuesta correcta: B) $\sqrt{57}\text{ m} \approx 7{,}55\text{ m}$

• A) $13\text{ m}$Incorrecto. Se sumó el término: $113 + 56 = 169$; en la ley de cosenos el término $2ab\cos C$ se resta.
• B) $\sqrt{57}\text{ m} \approx 7{,}55\text{ m}$Correcto. Ley de cosenos: $c^2 = 49 + 64 - 2(7)(8)\cos 60^\circ = 113 - 56 = 57$, luego $c = \sqrt{57}$.
• C) $\sqrt{113}\text{ m}$Incorrecto. Se aplicó el teorema de Pitágoras como si el ángulo fuera recto; para $60^\circ$ hay que restar $2ab\cos C = 56$.
• D) $1\text{ m}$Incorrecto. Se restó $2ab = 112$ sin multiplicar por $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, obteniendo $c^2 = 1$.

Respuesta correcta: B) $0{,}2\pi\text{ m} \approx 0{,}63\text{ m}$

• A) $36\text{ m}$Incorrecto. Se usó $s = r\theta$ con $\theta$ en grados ($0{,}9 \cdot 40$); la fórmula exige el ángulo en radianes.
• B) $0{,}2\pi\text{ m} \approx 0{,}63\text{ m}$Correcto. Con el ángulo en radianes, $40^\circ = \frac{2\pi}{9}$, y $s = r\theta = 0{,}9 \cdot \frac{2\pi}{9} = 0{,}2\pi$ m.
• C) $0{,}4\pi\text{ m} \approx 1{,}26\text{ m}$Incorrecto. Se multiplicó por el diámetro $1{,}8$ m en lugar del radio $0{,}9$ m.
• D) $\frac{2\pi}{9}\text{ m} \approx 0{,}70\text{ m}$Incorrecto. $\frac{2\pi}{9}$ es el ángulo en radianes; faltó multiplicar por el radio $0{,}9$ m.

Respuesta correcta: C) $\frac{11\pi}{6}$

• A) $\frac{7\pi}{6}$Incorrecto. Tiene seno $-\frac{1}{2}$, pero está en el tercer cuadrante, donde $\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$.
• B) $\frac{\pi}{6}$Incorrecto. Es el ángulo de referencia, pero $\sin\frac{\pi}{6} = +\frac{1}{2}$; el signo del seno no coincide.
• C) $\frac{11\pi}{6}$Correcto. $\frac{11\pi}{6}$ está en el cuarto cuadrante: $\sin\frac{11\pi}{6} = -\frac{1}{2}$ y $\cos\frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$.
• D) $\frac{5\pi}{3}$Incorrecto. Está en el cuarto cuadrante, pero $\sin\frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$; su ángulo de referencia es $\frac{\pi}{3}$, no $\frac{\pi}{6}$.

Respuesta correcta: B) Es incorrecto: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, porque el seno no es lineal y en general $\sin(2x) \neq 2\sin x$

• A) Es correcto, porque el seno es proporcional al ánguloIncorrecto. El seno no es proporcional al ángulo: $\sin 90^\circ = 1$ y $\sin 180^\circ = 0$, no 2.
• B) Es incorrecto: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, porque el seno no es lineal y en general $\sin(2x) \neq 2\sin x$Correcto. El valor real es $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 \neq 1$; la fórmula correcta es $\sin(2x) = 2\sin x\cos x$.
• C) Es incorrecto, porque $\sin 60^\circ = \frac{1}{2}$Incorrecto. Se confundió con $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$; el seno de $60^\circ$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• D) Es correcto solo si los ángulos se miden en radianesIncorrecto. Cambiar la unidad no vuelve lineal al seno: $\sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ también.

Respuesta correcta: C) Dos triángulos

• A) Un solo triánguloIncorrecto. Se tomó solo $B = \arcsin\frac{5}{6} \approx 56{,}4^\circ$ y se olvidó el suplemento $123{,}6^\circ$, que también cumple $30^\circ + 123{,}6^\circ < 180^\circ$.
• B) Ningún triánguloIncorrecto. No hay triángulo solo si $\sin B > 1$; aquí $\sin B = \frac{5}{6}$, que es un valor válido.
• C) Dos triángulosCorrecto. $\sin B = \frac{10 \cdot \sin 30^\circ}{6} = \frac{5}{6} < 1$ da $B \approx 56{,}4^\circ$ o $B \approx 123{,}6^\circ$, y ambos dejan suma de ángulos menor que $180^\circ$.
• D) Infinitos triángulosIncorrecto. Con dos lados y un ángulo fijo, la ley de senos deja a lo sumo dos valores para $B$; no hay infinitas opciones.

Respuesta correcta: A) $10\sqrt{3}\text{ m} \approx 17{,}3\text{ m}$

• A) $10\sqrt{3}\text{ m} \approx 17{,}3\text{ m}$Correcto. $\frac{h}{\tan 30^\circ} - \frac{h}{\tan 60^\circ} = 20$ da $h\left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 20$, es decir $h = 10\sqrt{3}$.
• B) $20\sqrt{3}\text{ m} \approx 34{,}6\text{ m}$Incorrecto. Se calculó $20\tan 60^\circ$ como si $A$ estuviera a 20 m de la base; los 20 m son la separación entre $A$ y $B$.
• C) $10\text{ m}$Incorrecto. Se tomó $20\sin 30^\circ$, tratando $AB$ como la visual desde $B$; $AB$ es horizontal y no llega a la base de la torre.
• D) $20\text{ m}$Incorrecto. 20 m es la visual desde $A$ hasta la punta (el triángulo $AB$-punta es isósceles); la altura es $20\sin 60^\circ$.

Respuesta correcta: B) $\tan\theta$

• A) $\cot\theta$Incorrecto. Se invirtió el cociente al simplificar; queda $\sin\theta$ en el numerador y $\cos\theta$ en el denominador, que es la tangente.
• B) $\tan\theta$Correcto. $1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$, así que la expresión es $\frac{\sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$.
• C) $1$Incorrecto. Se tachó $1 - \cos^2\theta$ contra $\sin\theta\cos\theta$ como si fueran iguales; el numerador es $\sin^2\theta$, no $\sin\theta\cos\theta$.
• D) $\sin\theta$Incorrecto. Al cancelar un $\sin\theta$ quedó $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$; se olvidó el $\cos\theta$ del denominador.

Respuesta correcta: A) $30^\circ$

• A) $30^\circ$Correcto. Los 3 m son la hipotenusa y 1,5 m el cateto opuesto: $\sin\theta = \frac{1{,}5}{3} = \frac{1}{2}$, luego $\theta = 30^\circ$.
• B) Aproximadamente $26{,}6^\circ$Incorrecto. Se usó $\tan\theta = \frac{1{,}5}{3}$, tratando la rampa como cateto horizontal, cuando es la hipotenusa.
• C) $60^\circ$Incorrecto. Se usó $\cos\theta = \frac{1}{2}$; ese es el ángulo entre la rampa y la vertical, no con el piso.
• D) $45^\circ$Incorrecto. Un ángulo de $45^\circ$ exige catetos iguales, y aquí la altura es la mitad de la longitud de la rampa.

Respuesta correcta: A) Solo Julián acierta: la tangente relaciona altura (opuesto) y distancia (adyacente), y $h \approx 8{,}4$ m

• A) Solo Julián acierta: la tangente relaciona altura (opuesto) y distancia (adyacente), y $h \approx 8{,}4$ mCorrecto. $h = 12\tan 35^\circ \approx 12 \cdot 0{,}700 = 8{,}40$ m.
• B) Solo Sara acierta, porque la altura siempre se calcula con el senoIncorrecto. $12\sin 35^\circ \approx 6{,}9$ m sería correcto si 12 m fuera la visual (hipotenusa); aquí 12 m es la distancia horizontal.
• C) Solo Andrés acierta, porque hay que dividir entre la tangenteIncorrecto. $\frac{12}{\tan 35^\circ} \approx 17{,}1$ m despeja el cateto adyacente; la incógnita aquí es el opuesto.
• D) Julián y Sara aciertan, pues ambos dan alturas válidasIncorrecto. Dan valores distintos (8,4 m y 6,9 m) para la misma altura, así que no pueden ser correctos a la vez.

Respuesta correcta: D) Es falsa: con $\theta = 45^\circ$ la suma es $\sqrt{2} \neq 1$; la identidad válida es $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

• A) Es verdadera, porque es la identidad pitagóricaIncorrecto. La identidad pitagórica lleva cuadrados: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$; sin cuadrados no se cumple en general.
• B) Es falsa, porque con $\theta = 0^\circ$ la suma es $0$Incorrecto. Con $\theta = 0^\circ$ la suma es $0 + 1 = 1$, así que ese ángulo no sirve como contraejemplo.
• C) Es verdadera para todo ángulo del primer cuadranteIncorrecto. $45^\circ$ está en el primer cuadrante y la suma da $\sqrt{2}$, luego tampoco se cumple allí.
• D) Es falsa: con $\theta = 45^\circ$ la suma es $\sqrt{2} \neq 1$; la identidad válida es $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$Correcto. $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ es un contraejemplo válido.

Respuesta correcta: C) $60^\circ$

• A) $30^\circ$Incorrecto. Se tomó $\frac{1}{2}$ como valor del seno; en la ley de cosenos el $\frac{1}{2}$ es el coseno, que corresponde a $60^\circ$.
• B) $120^\circ$Incorrecto. Se cambió el signo: $\frac{49 - 25 - 64}{80} = -\frac{1}{2}$; el lado opuesto al ángulo va restando en el numerador.
• C) $60^\circ$Correcto. $\cos\theta = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$, luego $\theta = 60^\circ$.
• D) Aproximadamente $81{,}8^\circ$Incorrecto. Ese es el ángulo opuesto al lado de 8 m: $\cos = \frac{25 + 49 - 64}{70} = \frac{1}{7}$; se eligió el lado equivocado.