Repaso P1

Respuesta correcta: B) $[3, 5) \cup (5, \infty)$

• A) $(3, \infty)$Incorrecto. Se excluyó $x = 3$ sin razón ($\sqrt{0} = 0$ es válido) y se dejó $x = 5$, donde el denominador se anula.
• B) $[3, 5) \cup (5, \infty)$Correcto. La raíz exige $x - 3 \ge 0$, es decir $x \ge 3$, y el denominador exige $x \neq 5$.
• C) $[3, \infty)$Incorrecto. Se olvidó la restricción del denominador: en $x = 5$ se divide entre cero.
• D) $(-\infty, 3] \cup (5, \infty)$Incorrecto. Se invirtió la desigualdad de la raíz; para $x < 3$ el radicando $x - 3$ es negativo.

Respuesta correcta: C) $\sqrt{50}$

• A) $\sqrt{49}$Incorrecto. $\sqrt{49} = 7$ es entero y, por tanto, racional.
• B) $0{,}\overline{12}$Incorrecto. Un decimal periódico es racional: $0{,}\overline{12} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33}$.
• C) $\sqrt{50}$Correcto. $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$ no puede escribirse como cociente de enteros, así que es irracional.
• D) $\frac{22}{7}$Incorrecto. Es un cociente de enteros, luego racional; solo aproxima a $\pi$, no es igual a él.

Respuesta correcta: A) $3$

• A) $3$Correcto. Por la propiedad del cociente, $\log_{2} 32 - \log_{2} 4 = \log_{2} \frac{32}{4} = \log_{2} 8 = 3$.
• B) $\log_{2} 28$Incorrecto. Se restaron los argumentos; la resta de logaritmos corresponde al logaritmo del cociente, no de la diferencia.
• C) $\frac{5}{2}$Incorrecto. Se dividieron los logaritmos ($\frac{5}{2}$); la propiedad convierte la resta en cociente de argumentos, no de logaritmos.
• D) $8$Incorrecto. 8 es el argumento $\frac{32}{4}$; faltó calcular $\log_{2} 8 = 3$.

Respuesta correcta: B) $8000$

• A) $500 \cdot 2^{12}$Incorrecto. Se usó el número de horas como exponente; el exponente es el número de periodos de 3 horas, que es 4.
• B) $8000$Correcto. En 12 horas hay $\frac{12}{3} = 4$ duplicaciones: $500 \cdot 2^4 = 500 \cdot 16 = 8000$.
• C) $4000$Incorrecto. Se contaron 3 duplicaciones ($500 \cdot 2^3$); en 12 horas hay 4 periodos de 3 horas.
• D) $2000$Incorrecto. Se creció de forma lineal ($500 \cdot 4$); duplicar repetidamente es multiplicar por 2 cada periodo.

Respuesta correcta: A) $[-2, 5]$

• A) $[-2, 5]$Correcto. $-7 \le 2x - 3 \le 7 \Rightarrow -4 \le 2x \le 10 \Rightarrow -2 \le x \le 5$.
• B) $[-5, 2]$Incorrecto. Se cambió el signo de las soluciones; al sumar 3 en $-7 \le 2x - 3 \le 7$ queda $-4 \le 2x \le 10$.
• C) $(-\infty, 5]$Incorrecto. Solo se resolvió $2x - 3 \le 7$; el valor absoluto también exige $2x - 3 \ge -7$.
• D) $(-\infty, -2] \cup [5, \infty)$Incorrecto. Ese es el conjunto de $|2x - 3| \ge 7$; con $\le$ la solución es un intervalo acotado.

Respuesta correcta: C) $5$

• A) No existe, porque se obtiene $\frac{0}{0}$Incorrecto. $\frac{0}{0}$ es una forma indeterminada, no una prueba de que el límite no exista; hay que factorizar.
• B) $0$Incorrecto. Se evaluó solo el numerador en 3; el cociente queda $\frac{0}{0}$ y requiere simplificar.
• C) $5$Correcto. $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$; al cancelar $x - 3$ queda $x + 2$, que en $x = 3$ vale 5.
• D) $1$Incorrecto. Se factorizó mal como $(x - 3)(x - 2)$; el producto correcto es $(x - 3)(x + 2)$, que da $x^2 - x - 6$.

Respuesta correcta: D) $k = 1$

• A) $k = \frac{3}{2}$Incorrecto. Se usó $2^2 = 4$ olvidando el $-1$ de la segunda rama: $2k + 1 = 4$.
• B) $k = -1$Incorrecto. Error de signo al despejar: $2k = 3 - 1 = 2$, no $1 - 3$.
• C) $k = 2$Incorrecto. Se igualó $2k$ con $2^2 = 4$, ignorando los términos $+1$ y $-1$.
• D) $k = 1$Correcto. Se igualan los límites laterales: $2k + 1 = 2^2 - 1 = 3$, luego $k = 1$.

Respuesta correcta: B) $\frac{x - 3}{x - 2}$

• A) $\frac{x + 3}{x - 2}$Incorrecto. Se canceló el factor equivocado; el factor común es $x + 3$, así que queda $x - 3$ en el numerador.
• B) $\frac{x - 3}{x - 2}$Correcto. $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)(x - 2)}$; al cancelar $x + 3$ queda $\frac{x - 3}{x - 2}$.
• C) $\frac{-9}{x - 6}$Incorrecto. Se tachó $x^2$ arriba y abajo; solo se cancelan factores, nunca términos de una suma.
• D) $\frac{x - 3}{x + 2}$Incorrecto. $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$, no $(x + 3)(x + 2)$, cuyo producto sería $x^2 + 5x + 6$.

Respuesta correcta: D) $10\sqrt{3}\text{ m} \approx 17{,}3\text{ m}$

• A) $10\text{ m}$Incorrecto. Se usó $20\cos 60^\circ$, que da el alcance horizontal del brazo, no su altura.
• B) $20\sqrt{3}\text{ m}$Incorrecto. Se usó $20\tan 60^\circ$, como si 20 m fuera el cateto horizontal; el brazo es la hipotenusa.
• C) $\frac{20\sqrt{3}}{3}\text{ m}$Incorrecto. Se calculó $\frac{20}{\tan 60^\circ}$; esa razón no relaciona la hipotenusa con el cateto opuesto.
• D) $10\sqrt{3}\text{ m} \approx 17{,}3\text{ m}$Correcto. El brazo es la hipotenusa: $h = 20\sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ m.

Respuesta correcta: A) $3$

• A) $3$Correcto. Primero $g(2) = 4 - 3 = 1$ y luego $f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$.
• B) $22$Incorrecto. Se calculó $(g \circ f)(2) = g(5) = 22$; en $f \circ g$ se aplica primero $g$.
• C) $5$Incorrecto. $5 = f(2) \cdot g(2) = 5 \cdot 1$ es un producto de funciones, no una composición.
• D) $6$Incorrecto. $6 = f(2) + g(2)$ es una suma; componer significa evaluar $f$ en el resultado de $g$.

Respuesta correcta: C) $\{2\}$

• A) $\{-2, 2\}$Incorrecto. No se verificó el dominio: con $x = -2$ aparecen $\log_{3}(-1)$ y $\log_{3}(-3)$, que no existen en los reales.
• B) $\{-2\}$Incorrecto. Se descartó la solución válida; $x = 2$ da $\log_{3} 3 + \log_{3} 1 = 1$.
• C) $\{2\}$Correcto. $\log_{3}(x^2 - 1) = 1 \Rightarrow x^2 - 1 = 3 \Rightarrow x = \pm 2$, pero $x = -2$ hace negativos los argumentos.
• D) $\{\sqrt{2}\}$Incorrecto. Se igualó $x^2 - 1$ a 1 en lugar de a $3^1 = 3$; la forma exponencial de $\log_{3} A = 1$ es $A = 3$.

Respuesta correcta: B) $x = 3$

• A) $x = 1$Incorrecto. Se escribió $3(x - 1)$ como $3x - 1$, sin distribuir el 3 sobre el $-1$.
• B) $x = 3$Correcto. $2^{2x} = 2^{3(x - 1)} = 2^{3x - 3}$, luego $2x = 3x - 3$ y $x = 3$.
• C) $x = -3$Incorrecto. Error de signo al trasponer: de $2x - 3x = -3$ sale $-x = -3$, es decir $x = 3$.
• D) No tiene solución porque las bases son distintasIncorrecto. Ambas bases son potencias de 2 ($4 = 2^2$, $8 = 2^3$), así que se pueden igualar exponentes.

Respuesta correcta: B) $(-\infty, -2) \cup [1, \infty)$

• A) $(-\infty, -2] \cup [1, \infty)$Incorrecto. Se incluyó $x = -2$, donde el denominador es cero y el cociente no existe.
• B) $(-\infty, -2) \cup [1, \infty)$Correcto. El cociente es positivo si ambos factores tienen igual signo y vale 0 en $x = 1$; en $x = -2$ no está definido.
• C) $[-2, 1]$Incorrecto. Ese es el intervalo donde el cociente es negativo (y además incluye $-2$); se invirtió el análisis de signos.
• D) $[1, \infty)$Incorrecto. Se olvidó el caso en que numerador y denominador son ambos negativos, que ocurre para $x < -2$.

Respuesta correcta: A) $\frac{1}{2}$

• A) $\frac{1}{2}$Correcto. Numerador y denominador tienen grado 2; el límite es el cociente de coeficientes principales $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• B) $\infty$Incorrecto. Aunque el numerador crece sin cota, el denominador crece al mismo ritmo ($x^2$), así que el cociente se estabiliza.
• C) $0$Incorrecto. El límite es 0 solo si el grado del denominador es mayor; aquí ambos grados son 2.
• D) $3$Incorrecto. Se tomó solo el coeficiente principal del numerador, olvidando dividir entre el 6 del denominador.

Respuesta correcta: C) $f$ no es continua en 1, pero la discontinuidad es evitable: basta definir $f(1) = 2$

• A) $f$ es continua en 1 porque el límite existeIncorrecto. La continuidad exige además que $f(1)$ esté definido e igual al límite; aquí $f(1)$ no existe.
• B) $f$ tiene una asíntota vertical en $x = 1$, discontinuidad no evitableIncorrecto. No hay asíntota: el factor $x - 1$ se cancela y la función se acerca a 2, no a $\pm\infty$.
• C) $f$ no es continua en 1, pero la discontinuidad es evitable: basta definir $f(1) = 2$Correcto. $\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1}(x + 1) = 2$; existe el límite pero no $f(1)$.
• D) La discontinuidad es evitable definiendo $f(1) = 0$Incorrecto. El valor que repara la continuidad es el límite, 2; con $f(1) = 0$ la función seguiría siendo discontinua.

Respuesta correcta: D) Es falsa: $\sqrt{(-3)^2} = 3 \neq -3$; en general $\sqrt{a^2} = |a|$

• A) Es verdadera, porque la raíz y el cuadrado se cancelanIncorrecto. Solo se cancelan si $a \ge 0$; con $a = -3$ se obtiene $\sqrt{9} = 3$, no $-3$.
• B) Es falsa, porque $\sqrt{a^2} = \pm a$Incorrecto. El símbolo $\sqrt{\ }$ denota un único valor no negativo; $\pm$ aparece al resolver $x^2 = a^2$, no al evaluar la raíz.
• C) Es verdadera solo para números enterosIncorrecto. El contraejemplo $a = -3$ es entero y la igualdad falla, así que tampoco vale para enteros.
• D) Es falsa: $\sqrt{(-3)^2} = 3 \neq -3$; en general $\sqrt{a^2} = |a|$Correcto. La raíz cuadrada principal nunca es negativa, así que para $a < 0$ da $-a$, que es $|a|$.

Respuesta correcta: C) Empanada a $3\,000$ y jugo a $2\,000$

• A) Empanada a $2\,000$ y jugo a $3\,500$Incorrecto. Cumple la primera compra ($6000 + 7000 = 13\,000$) pero la segunda da $4000 + 3500 = 7\,500 \neq 8\,000$.
• B) Empanada a $4\,000$ y jugo a $500$Incorrecto. Cumple la primera ($12\,000 + 1000$) pero la segunda da $8000 + 500 = 8\,500 \neq 8\,000$.
• C) Empanada a $3\,000$ y jugo a $2\,000$Correcto. $3(3000) + 2(2000) = 13\,000$ y $2(3000) + 2000 = 8\,000$: cumple las dos ecuaciones.
• D) Empanada a $2\,500$ y jugo a $2\,500$Incorrecto. La primera compra daría $5 \cdot 2500 = 12\,500 \neq 13\,000$, así que no satisface el sistema.

Respuesta correcta: D) Es incompleta: también $x = \frac{5\pi}{6}$ cumple, pues el seno es positivo en el segundo cuadrante

• A) Es completa, porque el seno toma cada valor una sola vezIncorrecto. En $[0, 2\pi)$ el seno toma cada valor de $(-1, 1)$ dos veces; no es inyectivo en ese intervalo.
• B) Es incompleta: falta $x = \frac{7\pi}{6}$Incorrecto. $\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}$; en el tercer cuadrante el seno es negativo y no cumple la ecuación.
• C) Es incorrecta: la solución es $x = \frac{\pi}{3}$Incorrecto. $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$; el ángulo cuyo seno es $\frac{1}{2}$ es $\frac{\pi}{6}$.
• D) Es incompleta: también $x = \frac{5\pi}{6}$ cumple, pues el seno es positivo en el segundo cuadranteCorrecto. $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$, así que $2\sin\frac{5\pi}{6} = 1$; el conjunto solución es $\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$.