Derivadas Concepto

Respuesta correcta: B) $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

• A) $\lim_{h \to 0} [f(a + h) - f(a)]$Incorrecto. Falta dividir entre $h$; ese límite vale 0 para toda función continua y no mide pendiente.
• B) $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$Correcto. Es el límite del cociente de diferencias: la pendiente de la secante cuando el segundo punto se acerca a $a$.
• C) $\lim_{h \to \infty} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$Incorrecto. Con $h \to \infty$ el segundo punto se aleja; la derivada exige que $h$ tienda a 0.
• D) $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$Incorrecto. Es la tasa de cambio promedio entre $a$ y $b$ (pendiente de una secante); sin el límite no es la derivada.

Respuesta correcta: A) La velocidad instantánea del bus en el minuto $t$

• A) La velocidad instantánea del bus en el minuto $t$Correcto. La derivada de la posición respecto al tiempo es la razón de cambio instantánea de la posición, es decir, la velocidad en km/min.
• B) La distancia total recorrida hasta el minuto $t$Incorrecto. Eso lo da $s(t)$ (o el cambio $s(t) - s(0)$), no su derivada.
• C) La aceleración del bus en el minuto $t$Incorrecto. La aceleración es la derivada de la velocidad, o sea $s''(t)$, no $s'(t)$.
• D) La velocidad media entre el minuto 0 y el minuto $t$Incorrecto. La velocidad media es $\frac{s(t) - s(0)}{t}$, un cociente sin límite; $s'(t)$ es instantánea.

Respuesta correcta: C) $5\text{ dm}^2$ por dm

• A) $15\text{ dm}^2$ por dmIncorrecto. 15 es el cambio total del área; faltó dividir entre el cambio del lado, que es 3 dm.
• B) $8\text{ dm}^2$ por dmIncorrecto. 8 es $A'(4) = 2 \cdot 4$, la tasa instantánea en $x = 4$, no la promedio en $[1, 4]$.
• C) $5\text{ dm}^2$ por dmCorrecto. $\frac{A(4) - A(1)}{4 - 1} = \frac{16 - 1}{3} = 5$.
• D) $3\text{ dm}^2$ por dmIncorrecto. 3 es el cambio del lado $\Delta x$; la tasa promedio es $\frac{\Delta A}{\Delta x}$.

Respuesta correcta: B) A los 5 minutos la temperatura baja a razón de aproximadamente $2\,^\circ$C por minuto

• A) A los 5 minutos la temperatura del tinto es $-2\,^\circ$CIncorrecto. $T'(5)$ no es la temperatura, que sería $T(5)$; es la razón de cambio de la temperatura.
• B) A los 5 minutos la temperatura baja a razón de aproximadamente $2\,^\circ$C por minutoCorrecto. El signo negativo indica que $T$ decrece y el valor 2 es la rapidez instantánea del cambio en ese momento.
• C) Durante los primeros 5 minutos la temperatura bajó en total $2\,^\circ$CIncorrecto. Eso describe un cambio acumulado en un intervalo; la derivada describe la rapidez en el instante $t = 5$.
• D) A los 5 minutos la temperatura sube $2\,^\circ$C por minutoIncorrecto. Una derivada negativa indica disminución, no aumento.

Respuesta correcta: C) $12 + 3h$

• A) $12$Incorrecto. 12 es el límite cuando $h \to 0$, es decir $f'(2)$; para $h \neq 0$ el cociente conserva el término $3h$.
• B) $3h$Incorrecto. Se omitió el término $12h$ del desarrollo de $3(2 + h)^2$; el doble producto es $3 \cdot 2 \cdot 2h = 12h$.
• C) $12 + 3h$Correcto. $f(2 + h) = 3(4 + 4h + h^2) = 12 + 12h + 3h^2$; al restar 12 y dividir entre $h$ queda $12 + 3h$.
• D) $12h + 3h^2$Incorrecto. Es el numerador $f(2 + h) - f(2)$; faltó dividir entre $h$.

Respuesta correcta: A) $29{,}4\text{ m/s}$

• A) $29{,}4\text{ m/s}$Correcto. $s'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{4{,}9(3 + h)^2 - 4{,}9 \cdot 9}{h} = \lim_{h \to 0}(29{,}4 + 4{,}9h) = 29{,}4$.
• B) $44{,}1\text{ m/s}$Incorrecto. 44,1 es $s(3)$, la distancia caída en metros; se confundió posición con velocidad.
• C) $14{,}7\text{ m/s}$Incorrecto. Es la velocidad media en $[0, 3]$, $\frac{44{,}1}{3}$; la instantánea requiere el límite en $t = 3$.
• D) $9{,}8\text{ m/s}$Incorrecto. 9,8 m/s² es la aceleración (derivada de la velocidad), no la velocidad en $t = 3$.

Respuesta correcta: D) $-\frac{1}{4}$

• A) $\frac{1}{4}$Incorrecto. Se perdió el signo: $\frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2} = \frac{-h}{2(2 + h)}$ es negativo; la función decrece.
• B) $-\frac{1}{2}$Incorrecto. Se calculó $-\frac{1}{x}$ en $x = 2$; el denominador del límite es $2 \cdot 2 = 4$, no 2.
• C) $\frac{1}{2}$Incorrecto. $\frac{1}{2}$ es $f(2)$, el valor de la función, no la pendiente de la tangente.
• D) $-\frac{1}{4}$Correcto. $\frac{\frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2}}{h} = \frac{-1}{2(2 + h)}$, que tiende a $-\frac{1}{4}$ cuando $h \to 0$.

Respuesta correcta: A) La velocidad media en $[1, 3]$ y la velocidad instantánea en $t = 2$ valen ambas $11\text{ m/s}$

• A) La velocidad media en $[1, 3]$ y la velocidad instantánea en $t = 2$ valen ambas $11\text{ m/s}$Correcto. $\frac{d(3) - d(1)}{2} = \frac{27 - 5}{2} = 11$ y $d'(2) = 4 \cdot 2 + 3 = 11$.
• B) La velocidad media en $[1, 3]$ es $22\text{ m/s}$Incorrecto. 22 m es el desplazamiento $d(3) - d(1)$; faltó dividir entre los 2 s del intervalo.
• C) La velocidad instantánea en $t = 2$ es $14\text{ m/s}$Incorrecto. 14 es $d(2)$, la posición en metros; la velocidad es $d'(2) = 11$ m/s.
• D) La velocidad media en $[1, 3]$ es $16\text{ m/s}$Incorrecto. 16 es el promedio de las posiciones $\frac{d(1) + d(3)}{2}$, no la razón desplazamiento sobre tiempo.

Respuesta correcta: C) $0{,}7\text{ m/día}$

• A) $1{,}4\text{ m/día}$Incorrecto. 1,4 m es el cambio entre los días 4 y 6; faltó dividir entre los 2 días.
• B) $12{,}6\text{ m/día}$Incorrecto. 12,6 m es el nivel del día 5, $h(5)$; la derivada mide cambio por día, no el nivel.
• C) $0{,}7\text{ m/día}$Correcto. Las tasas son $0{,}6$ y $0{,}8$ m/día; su promedio es $\frac{13{,}4 - 12{,}0}{2} = 0{,}7$.
• D) $0{,}8\text{ m/día}$Incorrecto. Es solo la tasa media en $[5, 6]$; el método pedido promedia también la de $[4, 5]$, que es 0,6.

Respuesta correcta: A) $10{,}8$ millones

• A) $10{,}8$ millonesCorrecto. $C(3{,}2) \approx C(3) + C'(3) \cdot 0{,}2 = 10 + 4 \cdot 0{,}2 = 10{,}8$.
• B) $14$ millonesIncorrecto. Se sumó $C'(3) = 4$ completo, como si $x$ aumentara 1; el aumento es solo 0,2.
• C) $10{,}2$ millonesIncorrecto. Se sumó el cambio $\Delta x = 0{,}2$ sin multiplicarlo por la pendiente $C'(3) = 4$.
• D) $0{,}8$ millonesIncorrecto. 0,8 es solo el incremento estimado $C'(3)\Delta x$; faltó sumarlo al valor inicial $C(3) = 10$.

Respuesta correcta: D) $f$ es continua en 2 pero no es derivable allí

• A) $f$ es derivable en 2 porque es continua en 2Incorrecto. La continuidad no implica derivabilidad; en una esquina las pendientes laterales no coinciden.
• B) $f$ no es continua en 2Incorrecto. Sí lo es: la gráfica no tiene saltos y $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 0$.
• C) $f$ es derivable en 2 y $f'(2) = 0$Incorrecto. No existe una única tangente: las pendientes laterales son $-1$ y $1$; que $f(2) = 0$ no da $f'(2) = 0$.
• D) $f$ es continua en 2 pero no es derivable allíCorrecto. $\lim_{x \to 2} |x - 2| = 0 = f(2)$, pero el cociente de diferencias vale $-1$ por la izquierda y $1$ por la derecha.

Respuesta correcta: D) $f'(x) < 0$ en $(1, 4)$ y $f'(1) = f'(4) = 0$

• A) $f'(x) > 0$ en $(1, 4)$Incorrecto. En $(1, 4)$ la función decrece, así que las pendientes de sus tangentes son negativas.
• B) $f'(1)$ es el valor máximo de $f$Incorrecto. $f(1)$ puede ser un máximo local de $f$; $f'(1) = 0$ es la pendiente allí, no un valor de $f$.
• C) $f'(x) < 0$ en todos los puntos donde $f(x) < 0$Incorrecto. El signo de $f'$ depende de si $f$ crece o decrece, no de si $f$ es negativa.
• D) $f'(x) < 0$ en $(1, 4)$ y $f'(1) = f'(4) = 0$Correcto. Donde $f$ decrece las tangentes tienen pendiente negativa, y una tangente horizontal tiene pendiente 0.

Respuesta correcta: C) La velocidad en $t = 4$ es mayor que en $t = 1$, y en $t = 2{,}5$ el bus está detenido

• A) En $t = 2{,}5$ la velocidad es $0{,}5$ km/min porque el bus conserva su posiciónIncorrecto. Conservar la posición significa pendiente 0, es decir velocidad 0, no la velocidad del tramo anterior.
• B) Entre $t = 2$ y $t = 3$ el bus retrocedeIncorrecto. Retroceder exige pendiente negativa; una recta horizontal indica que la posición no cambia.
• C) La velocidad en $t = 4$ es mayor que en $t = 1$, y en $t = 2{,}5$ el bus está detenidoCorrecto. La velocidad es la pendiente: 0,8 km/min en $t = 4$, 0,5 km/min en $t = 1$ y 0 en el tramo horizontal.
• D) La velocidad en $t = 4$ es $1{,}8$ kmIncorrecto. 1,8 km sería la posición en $t = 4$ ($1 + 0{,}8$), y además km no son unidades de velocidad.

Respuesta correcta: C) Es $f'(2)$ para $f(x) = x^3$, y vale $12$

• A) Es $f'(8)$ para $f(x) = x^3$, y vale $192$Incorrecto. 8 es $f(2) = 2^3$, no el punto; el punto es el número que acompaña a $h$, es decir $a = 2$.
• B) Es $f'(2)$ para $f(x) = x^3$, y vale $8$Incorrecto. La interpretación es correcta, pero 8 es $f(2)$; el límite da $3 \cdot 2^2 = 12$.
• C) Es $f'(2)$ para $f(x) = x^3$, y vale $12$Correcto. $\frac{(2 + h)^3 - 2^3}{h}$ es el cociente de diferencias de $x^3$ en $a = 2$; el límite es $12 + 6h + h^2 \to 12$.
• D) Es $f(2)$ para $f(x) = x^3$, y vale $8$Incorrecto. Un cociente de diferencias con $h \to 0$ define la derivada, no el valor de la función.

Respuesta correcta: B) $R'(1) = \frac{1}{2}$ es mayor que la tasa promedio, que vale $\frac{1}{4}$

• A) Son iguales, porque ambas miden el cambio de $R$Incorrecto. Una mide el cambio en todo $[1, 9]$ y la otra en $x = 1$; como $\sqrt{x}$ se aplana, la secante es menos inclinada.
• B) $R'(1) = \frac{1}{2}$ es mayor que la tasa promedio, que vale $\frac{1}{4}$Correcto. Promedio: $\frac{3 - 1}{9 - 1} = \frac{1}{4}$. Instantánea: $R'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$.
• C) La tasa promedio, $\frac{1}{4}$, es mayor que $R'(1) = \frac{1}{8}$Incorrecto. $R'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$, no $\frac{1}{8}$; se usó $\frac{1}{8}$ confundiendo con la longitud del intervalo.
• D) La tasa promedio vale $\frac{1}{2}$ y $R'(1) = \frac{1}{4}$Incorrecto. Se intercambiaron los valores: el promedio es $\frac{R(9) - R(1)}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Respuesta correcta: B) Producir un kilogramo adicional después de 100 kg cuesta aproximadamente $3500$ pesos

• A) Producir 100 kg cuesta en total $3500$ pesosIncorrecto. El costo total de 100 kg es $C(100)$; $C'(100)$ es una razón de cambio, no un total.
• B) Producir un kilogramo adicional después de 100 kg cuesta aproximadamente $3500$ pesosCorrecto. $C'(100)$ tiene unidades de pesos por kg y estima $C(101) - C(100)$.
• C) El costo promedio de cada kilogramo entre 0 y 100 kg es $3500$ pesosIncorrecto. El costo promedio sería $\frac{C(100)}{100}$; la derivada describe el cambio local en $q = 100$.
• D) Si la producción se duplica a 200 kg, el costo aumenta $3500$ pesosIncorrecto. La aproximación lineal vale para cambios pequeños: un aumento de 100 kg cambiaría el costo cerca de $100 \cdot 3500$, no $3500$.