Reglas Derivacion

Respuesta correcta: B) $7x^6$

• A) $7x^7$Incorrecto. Se bajó el exponente como coeficiente pero no se le restó 1.
• B) $7x^6$Correcto. Regla de la potencia: $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n - 1}$, con $n = 7$ da $7x^6$.
• C) $x^6$Incorrecto. Se restó 1 al exponente pero faltó multiplicar por el exponente original, 7.
• D) $\frac{x^8}{8}$Incorrecto. Eso es una antiderivada de $x^7$ (se sumó 1 al exponente); derivar resta 1.

Respuesta correcta: D) $-\sin t$

• A) $\sin t$Incorrecto. Se olvidó el signo negativo; quien tiene derivada $+\cos t$ es el seno, no al revés.
• B) $-\cos t$Incorrecto. $-\cos t$ es la segunda derivada de $\cos t$; se derivó dos veces.
• C) $-t\sin t$Incorrecto. Se multiplicó por $t$ como si fuera la derivada interna; en $\cos t$ la derivada interna es 1.
• D) $-\sin t$Correcto. La derivada del coseno es menos el seno: $\frac{d}{dt}\cos t = -\sin t$.

Respuesta correcta: B) $20x^3 - 3$

• A) $20x^3 + 5$Incorrecto. Se sumó $-3 + 8$; la constante 8 no se conserva al derivar, su derivada es 0.
• B) $20x^3 - 3$Correcto. Se deriva término a término: $5 \cdot 4x^3 = 20x^3$, $-3x \to -3$ y la constante 8 tiene derivada 0.
• C) $20x^4 - 3$Incorrecto. Se multiplicó por el exponente pero no se le restó 1: debe quedar $x^3$.
• D) $5x^3 - 3$Incorrecto. Se redujo el exponente, pero faltó multiplicar el coeficiente 5 por el exponente 4.

Respuesta correcta: A) Es incorrecto: por la regla del producto $g'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$

• A) Es incorrecto: por la regla del producto $g'(x) = 2x\sin x + x^2\cos x$Correcto. $(uv)' = u'v + uv'$ con $u = x^2$ y $v = \sin x$ da $2x\sin x + x^2\cos x$.
• B) Es correcto: la derivada de un producto es el producto de las derivadasIncorrecto. Esa regla no existe; por ejemplo $(x \cdot x)' = 2x$, mientras que $1 \cdot 1 = 1$.
• C) Es incorrecto: debería ser $2x\sin x - x^2\cos x$Incorrecto. En la regla del producto los dos términos se suman; la resta aparece en el numerador de la regla del cociente.
• D) Es incorrecto: debería ser $2x + \cos x$Incorrecto. Se derivó como si fuera una suma $x^2 + \sin x$; los factores están multiplicados.

Respuesta correcta: C) $\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{4}{x^2}$

• A) $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{4}{x^2}$Incorrecto. Se perdió el signo: al derivar $x^{-1}$ el exponente $-1$ baja como factor, dando $-4x^{-2}$.
• B) $\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{4}{x}$Incorrecto. No se restó 1 al exponente de $x^{-1}$; el resultado debe tener $x^{-2}$.
• C) $\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{4}{x^2}$Correcto. $\sqrt{x} = x^{1/2} \to \frac{1}{2}x^{-1/2}$ y $4x^{-1} \to -4x^{-2}$.
• D) $2\sqrt{x} - \frac{4}{x^2}$Incorrecto. La derivada de $x^{1/2}$ es $\frac{1}{2}x^{-1/2}$; se multiplicó por 2 en vez de por $\frac{1}{2}$.

Respuesta correcta: C) $e^{x}(x^3 + 3x^2)$

• A) $3x^2e^{x}$Incorrecto. Es el producto de las derivadas de cada factor; falta el término $x^3e^x$ de la regla del producto.
• B) $x^3e^{x} + 3x^2$Incorrecto. En el término $u'v$ faltó multiplicar $3x^2$ por $e^x$.
• C) $e^{x}(x^3 + 3x^2)$Correcto. Regla del producto: $3x^2e^x + x^3e^x = e^x(x^3 + 3x^2)$.
• D) $3x^2e^{x - 1}$Incorrecto. Se aplicó la regla de la potencia a $e^x$, pero $e^x$ no es una potencia de $x$: su derivada es $e^x$.

Respuesta correcta: D) $\frac{-7}{(x - 3)^2}$

• A) $\frac{7}{(x - 3)^2}$Incorrecto. Se invirtió el orden del numerador ($uv' - u'v$); la regla del cociente es $\frac{u'v - uv'}{v^2}$.
• B) $2$Incorrecto. Se dividieron las derivadas $\frac{2}{1}$; la derivada de un cociente no es el cociente de las derivadas.
• C) $\frac{-5}{(x - 3)^2}$Incorrecto. No se distribuyó el signo menos sobre $2x + 1$: $-6 - 1 = -7$, no $-6 + 1$.
• D) $\frac{-7}{(x - 3)^2}$Correcto. $\frac{2(x - 3) - (2x + 1)(1)}{(x - 3)^2} = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} = \frac{-7}{(x - 3)^2}$.

Respuesta correcta: C) $30x(3x^2 - 1)^4$

• A) $5(3x^2 - 1)^4$Incorrecto. Se derivó la función externa pero se olvidó multiplicar por la derivada interna $6x$.
• B) $30x(3x^2 - 1)^5$Incorrecto. Se multiplicó por $5 \cdot 6x$ pero no se redujo el exponente de 5 a 4.
• C) $30x(3x^2 - 1)^4$Correcto. Regla de la cadena: $5(3x^2 - 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 - 1)^4$.
• D) $5(6x)^4$Incorrecto. Se derivó primero la base y luego se elevó; la cadena evalúa la derivada externa en $3x^2 - 1$ y multiplica por $6x$.

Respuesta correcta: B) $\frac{2x}{x^2 + 4}$

• A) $\frac{1}{x^2 + 4}$Incorrecto. Se aplicó $\frac{1}{u}$ pero faltó multiplicar por la derivada interna $2x$.
• B) $\frac{2x}{x^2 + 4}$Correcto. $\frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}$ con $u = x^2 + 4$ y $u' = 2x$.
• C) $\frac{1}{2x}$Incorrecto. Se tomó el recíproco de la derivada interna; la fórmula es $\frac{u'}{u}$, no $\frac{1}{u'}$.
• D) $2x\ln(x^2 + 4)$Incorrecto. La derivada del logaritmo no conserva el logaritmo; $\ln u$ se convierte en $\frac{1}{u}$.

Respuesta correcta: A) $60e^{3} \approx 1205$ bacterias por hora

• A) $60e^{3} \approx 1205$ bacterias por horaCorrecto. $N'(t) = 200 \cdot 0{,}3e^{0{,}3t} = 60e^{0{,}3t}$, y $N'(10) = 60e^{3} \approx 1205$.
• B) $200e^{3} \approx 4017$ bacterias por horaIncorrecto. $200e^{3}$ es $N(10)$, la población; la derivada multiplica además por 0,3.
• C) $600e^{3} \approx 12\,051$ bacterias por horaIncorrecto. Se multiplicó por el exponente evaluado, $0{,}3 \cdot 10 = 3$; la cadena multiplica por la constante 0,3.
• D) $60$ bacterias por horaIncorrecto. 60 es $N'(0)$; faltó evaluar $e^{0{,}3t}$ en $t = 10$.

Respuesta correcta: C) $2\sin x\cos x$

• A) $2x\cos(x^2)$Incorrecto. Esa es la derivada de $\sin(x^2)$; en $\sin^2 x$ la potencia se aplica al seno, no a $x$.
• B) $\cos^2 x$Incorrecto. Se derivó el seno y se conservó el cuadrado; falta bajar el exponente 2 y usar la regla de la cadena.
• C) $2\sin x\cos x$Correcto. Con $u = \sin x$: $f = u^2$ y $f' = 2u \cdot u' = 2\sin x\cos x$.
• D) $2\cos x$Incorrecto. Se bajó el 2 y se derivó el seno, pero se perdió el factor $\sin x$ que deja $u^1$.

Respuesta correcta: D) $2$

• A) $\frac{1}{e}$Incorrecto. Se multiplicaron las derivadas de los factores ($1 \cdot \frac{1}{x}$); hay que usar la regla del producto.
• B) $1$Incorrecto. Solo se conservó uno de los términos de la regla del producto; $\ln e + 1 = 2$.
• C) $e$Incorrecto. $e$ es $h(e) = e\ln e$, el valor de la función, no la pendiente.
• D) $2$Correcto. $h'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$; en $x = e$ vale $1 + 1 = 2$.

Respuesta correcta: D) $11$

• A) $-5$Incorrecto. Es $f'(2)g'(2) = (-1)(5)$, el producto de las derivadas, que no es la regla del producto.
• B) $-19$Incorrecto. Se restaron los términos, $-4 - 15$; en la regla del producto los términos se suman.
• C) $12$Incorrecto. 12 es $P(2) = f(2)g(2) = 3 \cdot 4$, el valor del producto, no su derivada.
• D) $11$Correcto. $P'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = (-1)(4) + (3)(5) = -4 + 15 = 11$.

Respuesta correcta: A) $-12$

• A) $-12$Correcto. Regla de la cadena: $H'(1) = f'(g(1))g'(1) = f'(2) \cdot 3 = -4 \cdot 3 = -12$.
• B) $21$Incorrecto. Se evaluó $f'$ en 1 en lugar de en $g(1) = 2$: $f'(1)g'(1) = 7 \cdot 3$.
• C) $-4$Incorrecto. Se tomó $f'(g(1)) = -4$ pero faltó multiplicar por la derivada interna $g'(1) = 3$.
• D) $-8$Incorrecto. Se multiplicó por $g(1) = 2$ en lugar de por $g'(1) = 3$.

Respuesta correcta: A) $\frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}$

• A) $\frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}$Correcto. Regla de la cadena: la exponencial se conserva y se multiplica por la derivada de $3x$, que es 3.
• B) $\frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{5}{x}$Incorrecto. $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$; se olvidó dividir entre $5x$ (o usar $\ln 5 + \ln x$).
• C) $\frac{d}{dx}2^{x} = x \cdot 2^{x - 1}$Incorrecto. Se aplicó la regla de la potencia a una exponencial; lo correcto es $2^x\ln 2$.
• D) $\frac{d}{dx}\cos(2x) = -\sin(2x)$Incorrecto. Falta la derivada interna 2: el resultado es $-2\sin(2x)$.