En Bogotá, frente al edificio Colpatria, la profesora dibuja dos triángulos: el triángulo ABC tiene ángulos de 50° y 60°, y el triángulo DEF tiene ángulos de 50° y 70°.
¿Qué criterio permite afirmar que los dos triángulos son semejantes?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)Criterio AA, porque tienen dos ángulos correspondientes iguales.
💡 Explicación
El triángulo ABC tiene ángulos de 50°, 60° y 180°−50°−60°=70°. El triángulo DEF también tiene 50° y 70°. Por tener dos ángulos correspondientes iguales, son semejantes por el criterio AA.
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)Criterio AA, porque tienen dos ángulos correspondientes iguales.
A)Criterio LLL, porque se conocen los tres lados de cada triángulo.Incorrecto. No se conocen los lados, solo se conocen dos ángulos de cada triángulo.
B)Criterio AA, porque tienen dos ángulos correspondientes iguales.Correcto. El tercer ángulo de ABC es 180°−50°−60°=70°, igual al de DEF; dos ángulos iguales garantizan la semejanza por AA.
C)Criterio LAL, porque se conoce un ángulo y los lados que lo forman.Incorrecto. El criterio LAL exige conocer dos lados proporcionales y el ángulo comprendido, datos que no se dan aquí.
D)No son semejantes, porque los ángulos dados no están en el mismo orden.Incorrecto. El orden no importa; lo que importa es que dos pares de ángulos correspondientes sean iguales.
💡 Explicación
El triángulo ABC tiene ángulos de 50°, 60° y 180°−50°−60°=70°. El triángulo DEF también tiene 50° y 70°. Por tener dos ángulos correspondientes iguales, son semejantes por el criterio AA.
Pregunta 2
Pregunta 2 · D4Bloom: Understand
En Medellín, cerca del edificio EPM, un estudiante amplía el triángulo de lados 3 m, 4 m y 5 m con razón de semejanza 2 para una maqueta.
¿Cuáles son los lados del triángulo semejante obtenido?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: D)6 m, 8 m y 10 m
💡 Explicación
En triángulos semejantes los lados correspondientes son proporcionales. Con razón 2, cada lado se duplica: 3×2=6, 4×2=8 y 5×2=10. Además se conserva la forma, pues 3-4-5 y 6-8-10 son triángulos rectángulos proporcionales.
Ver respuesta
Respuesta correcta: D)6 m, 8 m y 10 m
A)4 m, 5 m y 6 mIncorrecto. Sumaste 1 a cada lado en lugar de multiplicar por la razón 2.
B)5 m, 6 m y 7 mIncorrecto. Sumaste 2 a cada lado; la semejanza exige multiplicar cada lado por la misma razón.
C)6 m, 8 m y 9 mIncorrecto. Los dos primeros lados están bien (3×2=6, 4×2=8), pero 5×2=10, no 9.
D)6 m, 8 m y 10 mCorrecto. Cada lado se multiplica por 2: 3×2=6, 4×2=8 y 5×2=10.
💡 Explicación
En triángulos semejantes los lados correspondientes son proporcionales. Con razón 2, cada lado se duplica: 3×2=6, 4×2=8 y 5×2=10. Además se conserva la forma, pues 3-4-5 y 6-8-10 son triángulos rectángulos proporcionales.
Pregunta 3
Pregunta 3 · D6Bloom: Apply
En Cali, frente a la iglesia La Ermita, se traza un triángulo donde el segmento DE es paralelo a BC. Se mide AD=4 m, DB=6 m y AE=6 m.
Según el teorema de Tales, ¿cuánto mide el segmento EC?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)9 m
💡 Explicación
Como DE es paralelo a BC, el teorema de Tales establece que AD/DB=AE/EC. Sustituyendo: 4/6=6/EC. Multiplicando en cruz: 4×EC=36, por lo tanto EC=9 m.
Ver respuesta
Respuesta correcta: A)9 m
A)9 mCorrecto. Por Tales AD/DB=AE/EC, es decir 4/6=6/EC, de donde EC=36/4=9.
B)6 mIncorrecto. Tomaste EC=AE sin aplicar la proporción AD/DB=AE/EC.
C)4 mIncorrecto. Confundiste EC con AD; la proporción correcta es 4/6=6/EC.
D)8 mIncorrecto. Sumaste AD+DB−AE=4 de forma incorrecta en vez de plantear la proporción.
💡 Explicación
Como DE es paralelo a BC, el teorema de Tales establece que AD/DB=AE/EC. Sustituyendo: 4/6=6/EC. Multiplicando en cruz: 4×EC=36, por lo tanto EC=9 m.
Pregunta 4
Pregunta 4 · D6Bloom: Apply
En Cartagena, junto a la Torre del Reloj, un triángulo de lados 4 m, 6 m y 8 m es semejante a otro cuyo lado menor mide 6 m.
¿Cuánto mide el lado mayor del triángulo semejante?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: C)12 m
💡 Explicación
La razón de semejanza es lado menor nuevo entre lado menor original: k=6/4=1,5. Entonces los lados son 4×1,5=6, 6×1,5=9 y 8×1,5=12. El lado mayor mide 12 m.
Ver respuesta
Respuesta correcta: C)12 m
A)10 mIncorrecto. Sumaste 2 al lado mayor en lugar de aplicar la razón de semejanza 6/4=1,5.
B)9 mIncorrecto. Ese es el lado mediano (6×1,5=9), no el lado mayor.
C)12 mCorrecto. La razón es 6/4=1,5 y el lado mayor es 8×1,5=12.
D)14 mIncorrecto. Multiplicaste 8 por 1,75 en vez de por la razón correcta 1,5.
💡 Explicación
La razón de semejanza es lado menor nuevo entre lado menor original: k=6/4=1,5. Entonces los lados son 4×1,5=6, 6×1,5=9 y 8×1,5=12. El lado mayor mide 12 m.
Pregunta 5
Pregunta 5 · D6Bloom: Apply
En Barranquilla, junto al monumento Ventana al Mundo, un poste de 1,6 m proyecta una sombra de 2,4 m, mientras el monumento proyecta una sombra de 18 m a la misma hora.
¿Cuál es la altura del monumento?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)12 m
💡 Explicación
Los rayos del sol forman el mismo ángulo, así que los triángulos poste-sombra y monumento-sombra son semejantes. Se cumple 1,6/2,4=h/18. Despejando: h=1,6×18/2,4=28,8/2,4=12 m.
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)12 m
A)10 mIncorrecto. Dividiste 18/1,8 sin usar la proporción entre altura y sombra de cada triángulo.
B)12 mCorrecto. Por semejanza 1,6/2,4=h/18, de donde h=1,6×18/2,4=28,8/2,4=12.
C)11 mIncorrecto. Restaste 2,4−1,6 de forma aditiva en vez de plantear la razón de proporcionalidad.
D)14,4 mIncorrecto. Multiplicaste 1,6×9 usando una razón 9 que no corresponde a 18/2,4=7,5.
💡 Explicación
Los rayos del sol forman el mismo ángulo, así que los triángulos poste-sombra y monumento-sombra son semejantes. Se cumple 1,6/2,4=h/18. Despejando: h=1,6×18/2,4=28,8/2,4=12 m.
Pregunta 6
Pregunta 6 · D8Bloom: Analyze
En Bucaramanga, frente a la catedral de la Sagrada Familia, una estudiante usa un espejo en el suelo para medir una torre. Sus ojos están a 1,5 m del suelo, ella está a 2,5 m del espejo y el espejo está a 22,5 m de la base de la torre.
¿Cuál es la altura de la torre?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: D)13,5 m
💡 Explicación
El rayo que va de los ojos al espejo y el que va de la cima de la torre al espejo forman ángulos iguales con el suelo, así que los dos triángulos rectángulos son semejantes por AA. Entonces h/22,5=1,5/2,5. Como 22,5/2,5=9, se obtiene h=1,5×9=13,5 m.
Ver respuesta
Respuesta correcta: D)13,5 m
A)12 mIncorrecto. Dividiste 22,5/2,5=9 pero multiplicaste por 1,33 en vez de por 1,5.
B)15 mIncorrecto. Sumaste 22,5/2,5+6 de forma aditiva; la relación entre los triángulos es multiplicativa.
C)11,25 mIncorrecto. Invertiste la razón y calculaste 1,5×2,5/22,5 en lugar de 1,5×22,5/2,5.
D)13,5 mCorrecto. Por semejanza 1,5/2,5=h/22,5, de donde h=1,5×22,5/2,5=1,5×9=13,5.
💡 Explicación
El rayo que va de los ojos al espejo y el que va de la cima de la torre al espejo forman ángulos iguales con el suelo, así que los dos triángulos rectángulos son semejantes por AA. Entonces h/22,5=1,5/2,5. Como 22,5/2,5=9, se obtiene h=1,5×9=13,5 m.
Pregunta 7
Pregunta 7 · D8Bloom: Analyze
En Pereira, en la plaza de Bolívar, se comparan dos triángulos: el primero tiene dos lados de 6 m y 9 m con el ángulo comprendido de 60°; el segundo tiene lados de 8 m y 12 m con el ángulo comprendido también de 60°.
¿Qué conclusión es correcta sobre los dos triángulos?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)Son semejantes por el criterio LAL, porque 6/8=9/12=0,75 y el ángulo comprendido es igual.
💡 Explicación
El criterio LAL pide dos pares de lados proporcionales y el ángulo comprendido igual. Aquí 6/8=3/4 y 9/12=3/4, es decir 0,75 en ambos casos, y el ángulo de 60° es el comprendido entre esos lados. Por lo tanto los triángulos son semejantes por LAL, pero no congruentes porque los lados no son iguales.
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Respuesta correcta: A)Son semejantes por el criterio LAL, porque 6/8=9/12=0,75 y el ángulo comprendido es igual.
A)Son semejantes por el criterio LAL, porque 6/8=9/12=0,75 y el ángulo comprendido es igual.Correcto. Los lados que forman el ángulo de 60° son proporcionales (6/8=9/12=3/4) y el ángulo comprendido es congruente.
B)Son semejantes por el criterio AA, porque solo se conoce un ángulo.Incorrecto. El criterio AA exige dos ángulos iguales; aquí solo se conoce uno y se usa la proporcionalidad de los lados que lo forman.
C)No son semejantes, porque 6=8 y 9=12.Incorrecto. La semejanza no exige lados iguales sino lados proporcionales; 6/8=9/12 sí se cumple.
D)Son congruentes por el criterio LAL, porque comparten el ángulo de 60°.Incorrecto. Compartir un ángulo no los hace congruentes; los lados son distintos (6=8), aunque sí son proporcionales.
💡 Explicación
El criterio LAL pide dos pares de lados proporcionales y el ángulo comprendido igual. Aquí 6/8=3/4 y 9/12=3/4, es decir 0,75 en ambos casos, y el ángulo de 60° es el comprendido entre esos lados. Por lo tanto los triángulos son semejantes por LAL, pero no congruentes porque los lados no son iguales.
Pregunta 8
Pregunta 8 · D8Bloom: Analyze
En Manizales, desde el monumento a Los Colonizadores, se analizan dos triángulos rectángulos semejantes: el primero tiene lados de 5 m, 12 m y 13 m; el segundo tiene lados de 10 m, 24 m y un tercer lado desconocido x.
¿Cuánto mide el lado x correspondiente a la hipotenusa?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: C)26 m
💡 Explicación
La razón de semejanza es 10/5=2 y se confirma con 24/12=2. Por el criterio LLL, el tercer lado también debe seguir la razón: x=13×2=26 m. Se verifica que 5-12-13 y 10-24-26 son proporcionales con razón 2.
Ver respuesta
Respuesta correcta: C)26 m
A)24 mIncorrecto. Ese es el cateto mayor (12×2); la hipotenusa debe corresponder a 13.
B)25 mIncorrecto. Sumaste 1 a 24; la razón de semejanza es 10/5=2, así que debes multiplicar 13×2.
C)26 mCorrecto. La razón es 10/5=2, luego x=13×2=26; además 10-24-26 cumple 10/5=24/12=26/13=2.
D)28 mIncorrecto. Multiplicaste 13 por una razón aproximada de 2,15 en vez de la razón exacta 2.
💡 Explicación
La razón de semejanza es 10/5=2 y se confirma con 24/12=2. Por el criterio LLL, el tercer lado también debe seguir la razón: x=13×2=26 m. Se verifica que 5-12-13 y 10-24-26 son proporcionales con razón 2.
Pregunta 9
Pregunta 9 · D10Bloom: Evaluate
En Pasto, en la plaza de Nariño, una farola de 4,5 m ilumina a una persona de 1,8 m que está de pie a 5 m de la base de la farola. La sombra de la persona se proyecta sobre el andén.
¿Cuál es la longitud de la sombra de la persona, medida desde sus pies hasta el extremo de la sombra?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)3,33 m
💡 Explicación
La farola y la persona forman dos triángulos rectángulos semejantes que comparten el ángulo del extremo de la sombra. Si s es la sombra, la base del triángulo grande es 5+s. Entonces 4,5/(5+s)=1,8/s. Multiplicando en cruz: 4,5s=1,8(5+s)=9+1,8s. Luego 4,5s−1,8s=9, es decir 2,7s=9, de donde s=9/2,7=3,33 m.
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)3,33 m
A)2,5 mIncorrecto. Planteaste 4,5/5=1,8/s omitiendo que la base del triángulo grande es 5+s, no 5.
B)3,33 mCorrecto. Por semejanza 4,5/(5+s)=1,8/s, de donde 4,5s=9+1,8s, luego 2,7s=9 y s=3,33.
C)2 mIncorrecto. Usaste la razón invertida 1,8/4,5=5/s, que ignora que la sombra forma parte de la base del triángulo mayor.
D)4 mIncorrecto. Sumaste 5−1 sin resolver la ecuación de proporcionalidad entre los dos triángulos semejantes.
💡 Explicación
La farola y la persona forman dos triángulos rectángulos semejantes que comparten el ángulo del extremo de la sombra. Si s es la sombra, la base del triángulo grande es 5+s. Entonces 4,5/(5+s)=1,8/s. Multiplicando en cruz: 4,5s=1,8(5+s)=9+1,8s. Luego 4,5s−1,8s=9, es decir 2,7s=9, de donde s=9/2,7=3,33 m.
Pregunta 10
Pregunta 10 · D10Bloom: Evaluate
En Armenia, junto al monumento al Arriero, Felipe afirma que dos triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo de 35° son siempre semejantes entre sí.
¿Es correcta la afirmación de Felipe y por qué?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: D)Sí, por el criterio AA, porque ambos tienen 90° y 35°, y el tercer ángulo es 55° en los dos.
💡 Explicación
Todo triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90°. Si además ambos comparten un ángulo agudo de 35°, entonces tienen dos ángulos correspondientes iguales. El tercer ángulo en cada uno es 180°−90°−35°=55°. Por el criterio AA, los dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir los lados.
Ver respuesta
Respuesta correcta: D)Sí, por el criterio AA, porque ambos tienen 90° y 35°, y el tercer ángulo es 55° en los dos.
A)No, porque solo se conoce un ángulo agudo y falta conocer los lados.Incorrecto. Con dos ángulos iguales basta para la semejanza; no es necesario conocer los lados.
B)No, porque los triángulos rectángulos nunca pueden ser semejantes.Incorrecto. Dos triángulos rectángulos sí pueden ser semejantes si además comparten un ángulo agudo.
C)Sí, por el criterio LLL, porque ambos tienen hipotenusa.Incorrecto. Tener hipotenusa no garantiza proporcionalidad de los tres lados; la justificación correcta usa los ángulos.
D)Sí, por el criterio AA, porque ambos tienen 90° y 35°, y el tercer ángulo es 55° en los dos.Correcto. Cada triángulo tiene ángulos de 90°, 35° y 180°−90°−35°=55°; dos ángulos iguales garantizan la semejanza por AA.
💡 Explicación
Todo triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90°. Si además ambos comparten un ángulo agudo de 35°, entonces tienen dos ángulos correspondientes iguales. El tercer ángulo en cada uno es 180°−90°−35°=55°. Por el criterio AA, los dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir los lados.
Pregunta 11
Pregunta 11 · D10Bloom: Evaluate
En Cúcuta, tres calles paralelas (la avenida Libertadores y dos transversales) son cortadas por dos carreras. Sobre una carrera los segmentos entre las paralelas miden 5 m y 7,5 m; sobre la otra carrera, el primer segmento mide 8 m y el segundo es desconocido x.
Según el teorema general de Tales, ¿cuánto mide x?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)12 m
💡 Explicación
El teorema general de Tales afirma que paralelas cortadas por dos transversales generan segmentos proporcionales: 5/7,5=8/x. Como 5/7,5=50/75=2/3, se tiene 8/x=2/3. Multiplicando en cruz: 2x=24, por lo tanto x=12 m.
Ver respuesta
Respuesta correcta: A)12 m
A)12 mCorrecto. Por Tales 5/7,5=8/x, de donde 5x=60 y x=12.
B)10,5 mIncorrecto. Sumaste 7,5+8−5 de forma aditiva en vez de plantear la proporción 5/7,5=8/x.
C)9,5 mIncorrecto. Promediaste 7,5 y 8 sin usar la razón de proporcionalidad entre las transversales.
D)11 mIncorrecto. Redondeaste la razón 7,5/5=1,5 a 1,375; la razón exacta da x=8×1,5=12.
💡 Explicación
El teorema general de Tales afirma que paralelas cortadas por dos transversales generan segmentos proporcionales: 5/7,5=8/x. Como 5/7,5=50/75=2/3, se tiene 8/x=2/3. Multiplicando en cruz: 2x=24, por lo tanto x=12 m.
Pregunta 12
Pregunta 12 · D10Bloom: Evaluate
En Ibagué, el plano del parque Murillo Toro incluye un jardín triangular de 3 cm, 4 cm y 5 cm dibujado a escala 1:200. El jardinero necesita cercar el jardín real.
¿Cuál es el perímetro real del jardín triangular?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: C)24 m
💡 Explicación
La escala 1:200 significa que 1 cm del plano equivale a 200 cm reales. Los lados reales son 3×200=600 cm =6 m, 4×200=800 cm =8 m y 5×200=1000 cm =10 m. El triángulo real es semejante al del plano con razón 200. Su perímetro es 6+8+10=24 m.
Ver respuesta
Respuesta correcta: C)24 m
A)12 mIncorrecto. Ese es el perímetro en el plano (3+4+5=12 cm) sin aplicar la escala 1:200.
B)20 mIncorrecto. Multiplicaste 12×100+8 con un factor incorrecto; la escala exige multiplicar por 200.
C)24 mCorrecto. Los lados reales son 6 m, 8 m y 10 m, y el perímetro es 6+8+10=24.
D)30 mIncorrecto. Multiplicaste el perímetro del plano por 250 en vez de por 200.
💡 Explicación
La escala 1:200 significa que 1 cm del plano equivale a 200 cm reales. Los lados reales son 3×200=600 cm =6 m, 4×200=800 cm =8 m y 5×200=1000 cm =10 m. El triángulo real es semejante al del plano con razón 200. Su perímetro es 6+8+10=24 m.
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