Numeros Irracionales — Matemáticas Grado 8, Colombia

Bloom: Remember

En Medellín, en la obra de un puente peatonal, la ingeniera anota la longitud $\sqrt{2}$ m de un tirante de acero.

¿Cuál de los siguientes números es irracional?

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Respuesta correcta: B) $\sqrt{2}$

A) $0.25$ Incorrecto. $0.25 = \frac{1}{4}$ es un decimal exacto y por tanto es racional.
B) $\sqrt{2}$ Correcto. $\sqrt{2} \approx 1.41421356\ldots$ tiene expansión decimal infinita no periódica y no puede escribirse como fracción de enteros.
C) $\frac{3}{4}$ Incorrecto. $\frac{3}{4}$ es por definición un número racional.
D) $0.333\ldots$ Incorrecto. $0.333\ldots = \frac{1}{3}$ es un decimal periódico y por tanto es racional.

💡 Explicación

Un número irracional no puede expresarse como fracción de enteros y su decimal es infinito no periódico.

\sqrt{2}

cumple esta condición, mientras que

0.25

,

\frac{3}{4}

y

0.333\ldots

son racionales.

Bloom: Understand

En Bogotá, durante la medición de una columna de un edificio, el maestro de obra pregunta qué caracteriza a los números irracionales.

¿Cuál afirmación describe correctamente un número irracional?

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Respuesta correcta: D) Su expansión decimal es infinita no periódica y no puede expresarse como fracción de enteros.

A) Puede escribirse como una fracción de dos números enteros.Incorrecto. Esa es la definición de número racional, no de irracional.
B) Su expansión decimal es finita.Incorrecto. Un decimal finito siempre es racional, pues equivale a una fracción con denominador potencia de 10.
C) Su expansión decimal es infinita y periódica.Incorrecto. Todo decimal infinito periódico es racional, pues puede convertirse en fracción.
D) Su expansión decimal es infinita no periódica y no puede expresarse como fracción de enteros.Correcto. Esa es la definición de número irracional: decimal infinito sin periodo y sin representación fraccionaria exacta.

💡 Explicación

La diferencia esencial está en el decimal: los racionales tienen decimal finito o infinito periódico, mientras que los irracionales tienen decimal infinito no periódico, como ocurre con

\sqrt{2}

y

\pi

.

Bloom: Apply

En Cali, un topógrafo mide un muro cuya altura teórica es $\sqrt{7}$ m y necesita el truncamiento a dos cifras decimales para el corte del material.

Si

\sqrt{7} \approx 2.64575131\ldots

, ¿cuál es su truncamiento a dos cifras decimales?

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Respuesta correcta: A) $2.64$

A) $2.64$ Correcto. Truncar a dos cifras es cortar el decimal después de la segunda cifra sin ajustar: $2.64$ .
B) $2.65$ Incorrecto. $2.65$ es el redondeo a dos cifras, no el truncamiento.
C) $2.66$ Incorrecto. $2.66$ supera tanto al truncamiento como al redondeo correctos.
D) $2.60$ Incorrecto. $2.60$ corresponde a truncar a una sola cifra decimal, no a dos.

💡 Explicación

Truncar significa cortar la expansión decimal en la cifra indicada sin mirar la siguiente. En

2.64575131\ldots

, al cortar después del

4

se obtiene

2.64

.

Bloom: Apply

En Barranquilla, para cortar una viga metálica de longitud $\sqrt{11}$ m, el taller necesita el redondeo a dos cifras decimales.

Si

\sqrt{11} \approx 3.31662479\ldots

, ¿cuál es su redondeo a dos cifras decimales?

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Respuesta correcta: C) $3.32$

A) $3.31$ Incorrecto. $3.31$ es el truncamiento; olvidaste ajustar por la tercera cifra decimal.
B) $3.30$ Incorrecto. $3.30$ es menor que el valor real y no aplica la regla de redondeo.
C) $3.32$ Correcto. La tercera cifra decimal es $6 \ge 5$ , así que la segunda cifra sube de $1$ a $2$ : $3.32$ .
D) $3.33$ Incorrecto. $3.33$ aumenta la segunda cifra en dos unidades, lo cual es excesivo.

💡 Explicación

Para redondear a dos cifras se observa la tercera cifra decimal. Como en

3.316\ldots

la tercera cifra es

6

, que es mayor o igual a

5

, se aumenta la segunda cifra:

3.31

pasa a

3.32

.

Bloom: Apply

En Bucaramanga, se calcula el lado de un lote cuadrado de $50$ m² para una cimentación; ese lado mide $\sqrt{50}$ m.

¿Entre qué dos enteros consecutivos se ubica

\sqrt{50}

?

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Respuesta correcta: B) Entre $7$ y $8$

A) Entre $6$ y $7$ Incorrecto. $6^2 = 36$ y $7^2 = 49$ , ambos menores que $50$ .
B) Entre $7$ y $8$ Correcto. $7^2 = 49 < 50 < 64 = 8^2$ , así que $7 < \sqrt{50} < 8$ y $\sqrt{50} \approx 7.07$ .
C) Entre $8$ y $9$ Incorrecto. $8^2 = 64 > 50$ , de modo que $\sqrt{50}$ es menor que $8$ .
D) Entre $5$ y $6$ Incorrecto. $5^2 = 25$ y $6^2 = 36$ , ambos muy por debajo de $50$ .

💡 Explicación

Para ubicar una raíz no exacta se buscan los cuadrados perfectos vecinos:

49 < 50 < 64

. Al aplicar raíz cuadrada se conserva el orden:

7 < \sqrt{50} < 8

.

Bloom: Analyze

En Pereira, la interventoría de una vía compara cuatro longitudes de pilotes: $3.1$ m, $\pi$ m, $3.15$ m y $\sqrt{10}$ m.

Sabiendo que

\pi \approx 3.1416

y

\sqrt{10} \approx 3.1623

, ¿cuál es el orden correcto de menor a mayor?

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Respuesta correcta: D) $3.1 < \pi < 3.15 < \sqrt{10}$

A) $\pi < 3.1 < \sqrt{10} < 3.15$ Incorrecto. $3.1 = 3.1000$ es menor que $\pi \approx 3.1416$ , así que $\pi$ no puede ir primero.
B) $\sqrt{10} < \pi < 3.1 < 3.15$ Incorrecto. $\sqrt{10} \approx 3.1623$ es el mayor de los cuatro, no el menor.
C) $3.1 < \sqrt{10} < \pi < 3.15$ Incorrecto. $\pi \approx 3.1416$ es menor que $\sqrt{10} \approx 3.1623$ ; están intercambiados.
D) $3.1 < \pi < 3.15 < \sqrt{10}$ Correcto. $3.1000 < 3.1416 < 3.1500 < 3.1623$ respeta el valor de cada medida.

💡 Explicación

Al comparar se iguala el número de cifras decimales:

3.1000 < 3.1416 < 3.1500 < 3.1623

. Por tanto el orden es

3.1 < \pi < 3.15 < \sqrt{10}

, lo que también define su ubicación en la recta numérica.

Bloom: Analyze

En Manizales, un ingeniero hidráulico suma dos tramos de tubería que miden $\sqrt{8}$ m y $\sqrt{18}$ m para el despiece del plano.

¿Cuál es el valor exacto de

\sqrt{8} + \sqrt{18}

?

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Respuesta correcta: A) $5\sqrt{2}$

A) $5\sqrt{2}$ Correcto. $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ y $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ ; al sumar se obtiene $5\sqrt{2} \approx 7.07$ .
B) $\sqrt{26}$ Incorrecto. No se pueden sumar los radicandos directamente: $\sqrt{8} + \sqrt{18} \neq \sqrt{8 + 18}$ .
C) $6\sqrt{2}$ Incorrecto. $6\sqrt{2} \approx 8.49$ , valor mayor que la suma real $7.07$ .
D) $10$ Incorrecto. $10$ es un entero y la suma de dos irracionales semejantes aquí sigue siendo irracional.

💡 Explicación

Se descompone cada raíz en factores con raíz exacta:

\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}

y

\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}

. Como son términos semejantes, se suman los coeficientes:

2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}

.

Bloom: Analyze

En Cartagena, en la revisión de un plano estructural, el calculista debe validar varias desigualdades que comparan racionales con irracionales.

¿Cuál de las siguientes desigualdades es correcta?

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Respuesta correcta: C) $\sqrt{3} > \frac{5}{3}$

A) $\pi > \frac{22}{7}$ Incorrecto. $\pi \approx 3.14159$ y $\frac{22}{7} \approx 3.14286$ , así que $\pi < \frac{22}{7}$ .
B) $\sqrt{2} < 1.41$ Incorrecto. $\sqrt{2} \approx 1.4142$ , que es mayor que $1.41$ .
C) $\sqrt{3} > \frac{5}{3}$ Correcto. $\sqrt{3} \approx 1.7321$ y $\frac{5}{3} \approx 1.6667$ , por lo que $\sqrt{3} > \frac{5}{3}$ .
D) $2.5 > \sqrt{7}$ Incorrecto. $\sqrt{7} \approx 2.6458$ , que es mayor que $2.5$ .

💡 Explicación

Para comparar un irracional con un racional se usa una aproximación suficiente del irracional. Solo la opción C se sostiene:

1.7321 > 1.6667

. Las demás invierten el orden real de los valores.

Bloom: Evaluate

En Cúcuta, en el laboratorio de materiales de una constructora, un auxiliar afirma que el producto de dos números irracionales siempre es irracional.

¿Cuál ejemplo demuestra que esta afirmación es falsa?

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Respuesta correcta: B) $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = 4$

A) $\pi \times 2 = 2\pi$ Incorrecto. El número $2$ es racional, así que este producto no es producto de dos irracionales.
B) $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = 4$ Correcto. Tanto $\sqrt{2}$ como $\sqrt{8}$ son irracionales, pero su producto es $4$ , que es racional; esto refuta la afirmación.
C) $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ Incorrecto. $\sqrt{6}$ es irracional, así que este ejemplo confirma la afirmación en vez de refutarla.
D) $\pi \times \sqrt{2}$ Incorrecto. $\pi \times \sqrt{2}$ es irracional y por tanto no sirve como contraejemplo.

💡 Explicación

Una afirmación universal se refuta con un solo contraejemplo. Aquí

\sqrt{2}

y

\sqrt{8}

son irracionales, pero

\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4

, que es racional. Luego no siempre el producto de dos irracionales es irracional.

Bloom: Evaluate

En Armenia, el lado de una placa cuadrada de $13$ m² para un entrepiso mide $\sqrt{13}$ m y debe localizarse entre décimas para el corte del encofrado.

Si

\sqrt{13} \approx 3.60555127\ldots

, ¿entre qué dos décimas consecutivas se ubica exactamente?

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Respuesta correcta: D) Entre $3.6$ y $3.61$

A) Entre $3.5$ y $3.6$ Incorrecto. $3.6^2 = 12.96 < 13$ , así que $\sqrt{13}$ es mayor que $3.6$ .
B) Entre $3.61$ y $3.62$ Incorrecto. $3.61^2 = 13.0321 > 13$ , así que $\sqrt{13}$ es menor que $3.61$ .
C) Entre $3.7$ y $3.8$ Incorrecto. $3.7^2 = 13.69 > 13$ , un intervalo muy por encima del valor real.
D) Entre $3.6$ y $3.61$ Correcto. $3.6^2 = 12.96 < 13 < 13.0321 = 3.61^2$ , luego $3.6 < \sqrt{13} < 3.61$ .

💡 Explicación

Para encerrar una raíz entre décimas se elevan al cuadrado los extremos candidatos. Como

12.96 < 13 < 13.0321

, se concluye que

3.6 < \sqrt{13} < 3.61

, con

\sqrt{13} \approx 3.6056

.

Bloom: Evaluate

En Pasto, en el diseño de un auditorio, se comparan cuatro medidas de vanos: $\frac{15}{4}$ m, $\pi + 0.7$ m, $\sqrt{15}$ m y $3.9$ m.

¿Cuál es el orden correcto de menor a mayor entre

\frac{15}{4}

,

\pi + 0.7

,

\sqrt{15}

y

3.9

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $\frac{15}{4} < \pi + 0.7 < \sqrt{15} < 3.9$

A) $\frac{15}{4} < \pi + 0.7 < \sqrt{15} < 3.9$ Correcto. $3.75 < 3.8416 < 3.8730 < 3.9000$ respeta los valores de cada expresión.
B) $\pi + 0.7 < \frac{15}{4} < \sqrt{15} < 3.9$ Incorrecto. $\pi + 0.7 \approx 3.8416$ es mayor que $\frac{15}{4} = 3.75$ .
C) $\frac{15}{4} < \sqrt{15} < \pi + 0.7 < 3.9$ Incorrecto. $\sqrt{15} \approx 3.8730$ es mayor que $\pi + 0.7 \approx 3.8416$ ; el orden central está invertido.
D) $\sqrt{15} < \pi + 0.7 < \frac{15}{4} < 3.9$ Incorrecto. $\frac{15}{4} = 3.75$ es el menor de los cuatro, no el tercero.

💡 Explicación

Se calculan aproximaciones con cuatro cifras:

\frac{15}{4} = 3.75

,

\pi + 0.7 \approx 3.8416

,

\sqrt{15} \approx 3.8730

y

3.9 = 3.9000

. Al compararlas se obtiene

\frac{15}{4} < \pi + 0.7 < \sqrt{15} < 3.9

.

Bloom: Evaluate

En Ibagué, un taller metalmecánico fabrica un marco cuadrado de lado $\sqrt{2}$ m; para cortar usa la aproximación $1.41$ en lugar de $\sqrt{2} \approx 1.41421356\ldots$ .

Si el perímetro exacto es

4\sqrt{2}

y se aproxima con

4 \times 1.41

, ¿cuál es el perímetro aproximado y qué tipo de aproximación es respecto al valor exacto?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $5.64$ m, aproximación por defecto

A) $5.66$ m, aproximación por excesoIncorrecto. $4 \times 1.41 = 5.64$ , no $5.66$ ; el valor $5.66$ correspondería a usar $1.415$ .
B) $5.64$ m, aproximación por excesoIncorrecto. El valor $5.64$ es correcto, pero es menor que el valor exacto $5.6568\ldots$ , así que no es por exceso.
C) $5.64$ m, aproximación por defectoCorrecto. $4 \times 1.41 = 5.64$ y $5.64 < 4\sqrt{2} \approx 5.6568$ , luego es una aproximación por defecto.
D) $5.60$ m, aproximación por defectoIncorrecto. $5.60 = 4 \times 1.40$ , que usa una sola cifra decimal y no $1.41$ .

💡 Explicación

El valor exacto es

4\sqrt{2} \approx 5.6568

. Con la aproximación se obtiene

4 \times 1.41 = 5.64

. Como

5.64

está por debajo del valor exacto, se trata de una aproximación por defecto con un error de

0.0168\ldots

m.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

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