Sistemas Ecuaciones 2x2

Respuesta correcta: B) Que el par satisface las dos ecuaciones al mismo tiempo.

• A) Que el par satisface únicamente la primera ecuación.Incorrecto. El par $(3, 2)$ también cumple la segunda ecuación, pues $2(3) - 2 = 4$.
• B) Que el par satisface las dos ecuaciones al mismo tiempo.Correcto. Se cumple $3 + 2 = 5$ y también $2(3) - 2 = 4$.
• C) Que los valores de $x$ e $y$ deben ser siempre iguales.Incorrecto. En este caso $x = 3$ e $y = 2$ son valores distintos.
• D) Que la suma de $x$ más $y$ siempre vale $5$ para cualquier par.Incorrecto. Eso solo describe la primera ecuación, no todo el sistema.

Respuesta correcta: D) Por dos ecuaciones con dos incógnitas cada una.

• A) Por una sola ecuación con dos incógnitas.Incorrecto. Un sistema requiere dos ecuaciones relacionadas entre sí.
• B) Por dos ecuaciones que usan una sola incógnita.Incorrecto. Cada ecuación del sistema utiliza dos incógnitas, normalmente $x$ e $y$.
• C) Por tres ecuaciones con dos incógnitas cada una.Incorrecto. Un sistema $2\times 2$ usa exactamente dos ecuaciones.
• D) Por dos ecuaciones con dos incógnitas cada una.Correcto. El símbolo $2\times 2$ indica dos ecuaciones y dos incógnitas.

Respuesta correcta: A) $(8, 4)$

• A) $(8, 4)$Correcto. Sumando ambas ecuaciones: $2x = 16 \implies x = 8$. Luego $8 + y = 12 \implies y = 4$.
• B) $(4, 8)$Incorrecto. Invertiste los valores: $4 - 8 = -4 \neq 4$.
• C) $(7, 5)$Incorrecto. Aunque $7 + 5 = 12$, se tiene $7 - 5 = 2 \neq 4$.
• D) $(10, 2)$Incorrecto. Aunque $10 + 2 = 12$, se tiene $10 - 2 = 8 \neq 4$.

Respuesta correcta: C) $x = 3, y = 7$

• A) $x = 2, y = 5$Incorrecto. Con esos valores $3(2) + 5 = 11 \neq 16$.
• B) $x = 4, y = 9$Incorrecto. Con esos valores $3(4) + 9 = 21 \neq 16$.
• C) $x = 3, y = 7$Correcto. Reemplazando $y$: $3(3) + 7 = 9 + 7 = 16$.
• D) $x = 5, y = 11$Incorrecto. Con esos valores $3(5) + 11 = 26 \neq 16$.

Respuesta correcta: B) $x = 4, y = 3$

• A) $x = 3, y = 4$Incorrecto. Con esos valores $3(3) + 2(4) = 17 \neq 18$.
• B) $x = 4, y = 3$Correcto. Sumando: $8x = 32 \implies x = 4$. Luego $12 + 2y = 18 \implies y = 3$.
• C) $x = 5, y = 1$Incorrecto. Con esos valores $3(5) + 2(1) = 17 \neq 18$.
• D) $x = 6, y = 0$Incorrecto. Con esos valores $5(6) - 2(0) = 30 \neq 14$.

Respuesta correcta: D) $\$3.500$

• A) $\$2.000$Incorrecto. Ese es el precio del lápiz, no del cuaderno.
• B) $\$4.500$Incorrecto. Ese valor es la mitad de $\$9.000$, pero ignora el precio del lápiz.
• C) $\$5.500$Incorrecto. Ese es el precio combinado de un cuaderno más un lápiz.
• D) $\$3.500$Correcto. Restando ambas compras: $(2c + l) - (c + l) = 9.000 - 5.500 \implies c = 3.500$.

Respuesta correcta: A) $50$ minutos

• A) $50$ minutosCorrecto. Igualando: $25.000 + 400x = 10.000 + 700x \implies 15.000 = 300x \implies x = 50$.
• B) $40$ minutosIncorrecto. Con $40$ minutos el primer plan cuesta $\$41.000$ y el segundo $\$38.000$.
• C) $60$ minutosIncorrecto. Con $60$ minutos el primer plan cuesta $\$49.000$ y el segundo $\$52.000$.
• D) $30$ minutosIncorrecto. Con $30$ minutos el primer plan cuesta $\$37.000$ y el segundo $\$31.000$.

Respuesta correcta: C) Infinitas soluciones, porque ambas ecuaciones representan la misma recta.

• A) Una solución, porque las pendientes de ambas rectas son distintas.Incorrecto. Ambas rectas tienen pendiente $-\frac{1}{2}$, así que no se cortan en un solo punto.
• B) Cero soluciones, porque las rectas son paralelas y distintas.Incorrecto. Las rectas no son distintas: la segunda ecuación es la mitad de la primera.
• C) Infinitas soluciones, porque ambas ecuaciones representan la misma recta.Correcto. Dividiendo la primera ecuación entre $2$ se obtiene exactamente la segunda.
• D) Dos soluciones, porque el sistema es de tamaño $2\times 2$.Incorrecto. Dos rectas en el plano jamás se intersectan en exactamente dos puntos.

Respuesta correcta: B) Cero soluciones.

• A) Una solución.Incorrecto. Ambas rectas tienen pendiente $-3$, así que no se cortan en un punto.
• B) Cero soluciones.Correcto. Dividiendo la segunda ecuación entre $2$ queda $3x + y = 8$, que contradice $3x + y = 5$.
• C) Infinitas soluciones.Incorrecto. Los términos independientes difieren ($5 \neq 8$), luego no son la misma recta.
• D) Tres soluciones.Incorrecto. Dos rectas en el plano jamás se cortan en tres puntos.

Respuesta correcta: D) $24$ años

• A) $16$ añosIncorrecto. Esa es la edad del hermano menor ($40 - 24 = 16$).
• B) $20$ añosIncorrecto. Con $20$ años la diferencia con el menor sería $0$, no $8$.
• C) $32$ añosIncorrecto. Si el mayor tuviera $32$, la suma con el menor ($24$) sería $56$.
• D) $24$ añosCorrecto. Con $M + m = 40$ y $M - m = 8$, sumando queda $2M = 48 \implies M = 24$.

Respuesta correcta: A) $k = 15$

• A) $k = 15$Correcto. La segunda ecuación debe ser el triple de la primera: $3 \times 5 = 15$ y $3 \times 10 = 30$.
• B) $k = 5$Incorrecto. Con $k = 5$ las pendientes difieren ($-\frac{2}{5}$ frente a $-\frac{6}{5}$) y habría una sola solución.
• C) $k = 10$Incorrecto. Con $k = 10$ las ecuaciones no son proporcionales ($\frac{5}{10} \neq \frac{10}{30}$).
• D) $k = 30$Incorrecto. Confundiste el coeficiente de $y$ con el término independiente de la segunda ecuación.

Respuesta correcta: C) Si $a \neq \frac{2}{3}$, el sistema tiene exactamente una solución.

• A) Si $a = \frac{2}{3}$, el sistema tiene infinitas soluciones.Incorrecto. Con ese valor los interceptos difieren ($5 \neq 4$), así que el sistema no tiene solución.
• B) El sistema jamás puede tener una solución única.Incorrecto. Basta tomar $a = 0$ para obtener rectas con distinta pendiente y un único punto de corte.
• C) Si $a \neq \frac{2}{3}$, el sistema tiene exactamente una solución.Correcto. Las pendientes $-a$ y $-\frac{2}{3}$ son distintas, de modo que las rectas se cortan en un solo punto.
• D) Si $a = \frac{2}{3}$, el sistema tiene una solución única.Incorrecto. Con pendientes iguales ($-\frac{2}{3}$) las rectas son paralelas y no se cortan.