Funcion Cuadratica — Matemáticas Grado 9, Colombia

Bloom: Remember

En Bogotá, se estudia la función cuadrática $f(x) = x^2 - 5x + 6$ .

¿Cuáles son los coeficientes

a

,

b

y

c

de la función en su forma estándar

ax^2 + bx + c

?

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Respuesta correcta: B) $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$

A) $a = 5$ , $b = -1$ , $c = 6$ Incorrecto. Confundiste el orden de los coeficientes con los signos.
B) $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ Correcto. Comparando con $ax^2 + bx + c$ se obtiene $a = 1$ , $b = -5$ y $c = 6$ .
C) $a = 1$ , $b = 5$ , $c = -6$ Incorrecto. Cambiaste los signos de $b$ y de $c$ .
D) $a = 6$ , $b = -5$ , $c = 1$ Incorrecto. Leíste los coeficientes de derecha a izquierda.

💡 Explicación

La forma estándar es

f(x) = ax^2 + bx + c

. Al comparar término a término con

x^2 - 5x + 6

se identifica

a = 1

,

b = -5

y

c = 6

.

Bloom: Remember

En Medellín, se grafica la parábola definida por $y = 2x^2 - 8x + 5$ .

¿Hacia dónde abre la parábola y qué tipo de punto es su vértice?

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Respuesta correcta: A) Abre hacia arriba y el vértice es un mínimo

A) Abre hacia arriba y el vértice es un mínimoCorrecto. Como $a = 2 > 0$ , la parábola abre hacia arriba y el vértice es el punto mínimo.
B) Abre hacia abajo y el vértice es un máximoIncorrecto. Eso ocurriría si $a$ fuera negativo, pero aquí $a = 2$ .
C) Abre hacia la derecha y el vértice es un máximoIncorrecto. Las funciones cuadráticas $y = ax^2 + bx + c$ abren verticalmente, nunca hacia los lados.
D) Abre hacia arriba y el vértice es un máximoIncorrecto. Si abre hacia arriba, el vértice no puede ser un máximo.

💡 Explicación

El signo de

a

decide la apertura: si

a > 0

abre hacia arriba y el vértice es mínimo; si

a < 0

abre hacia abajo y el vértice es máximo. Como

a = 2 > 0

, abre hacia arriba con vértice mínimo.

Bloom: Apply

En Cali, se analiza la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$ para hallar su vértice.

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola?

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Respuesta correcta: C) $(2, -1)$

A) $(-2, 15)$ Incorrecto. Usaste $x = b / 2a$ sin el signo negativo.
B) $(2, 11)$ Incorrecto. Reemplazaste mal: $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ , no $11$ .
C) $(2, -1)$ Correcto. $x_v = -b / 2a = 4 / 2 = 2$ y $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ .
D) $(-2, -1)$ Incorrecto. El signo de $x_v$ es positivo porque $-b = 4$ .

💡 Explicación

El vértice se halla con

x_v = -b / 2a = -(-4) / 2 = 2

. Luego

y_v = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1

. El vértice es

(2, -1)

.

Bloom: Apply

En Barranquilla, se estudian las raíces de $f(x) = x^2 + 4x + 4$ con el discriminante.

¿Cuál es el valor del discriminante y cuántas raíces reales tiene la función?

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Respuesta correcta: D) $D = 0$ , una raíz real doble

A) $D = 32$ , dos raíces reales distintasIncorrecto. Sumaste $b^2 + 4ac$ en vez de restar: $16 - 16 = 0$ .
B) $D = -32$ , ninguna raíz realIncorrecto. El discriminante de este trinomio cuadrado perfecto no es negativo.
C) $D = 16$ , dos raíces reales distintasIncorrecto. Olvidaste restar el término $4ac = 16$ .
D) $D = 0$ , una raíz real dobleCorrecto. $D = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$ , lo que indica una raíz real doble.

💡 Explicación

El discriminante es

D = b^2 - 4ac = 16 - 16 = 0

. Cuando

D = 0

, la parábola toca el eje

x

en un solo punto: hay una raíz real doble,

x = -2

.

Bloom: Apply

En Bucaramanga, se resuelve la ecuación cuadrática $x^2 - 9 = 0$ .

¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación?

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Respuesta correcta: B) $x = 3$ y $x = -3$

A) $x = 9$ únicamenteIncorrecto. Confundiste el término independiente con la raíz: $9^2 - 9 = 72$ .
B) $x = 3$ y $x = -3$ Correcto. $x^2 = 9$ implica $x = 3$ o $x = -3$ , y ambos valores verifican la ecuación.
C) $x = 3$ únicamenteIncorrecto. Olvidaste la raíz negativa: $(-3)^2 - 9 = 0$ también se cumple.
D) $x = 4.5$ y $x = -4.5$ Incorrecto. Dividiste $9$ entre $2$ en vez de extraer la raíz cuadrada.

💡 Explicación

Despejando:

x^2 = 9

, de donde

x = \pm 3

. La verificación confirma:

(3)^2 - 9 = 0

y

(-3)^2 - 9 = 0

.

Bloom: Apply

En Pereira, el costo semanal de producción de una panadería se modela con $C(x) = 2x^2 - 3x + 1$ , donde $x$ son las docenas producidas.

¿Cuál es el costo cuando se producen

2

docenas?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $3$

A) $3$ Correcto. $C(2) = 2(4) - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$ .
B) $5$ Incorrecto. Calculaste $2(2) - 3(2) + 1$ sin elevar al cuadrado.
C) $9$ Incorrecto. Sumaste los términos en vez de restar $3(2)$ .
D) $1$ Incorrecto. Evaluaste en $x = 0$ en vez de $x = 2$ .

💡 Explicación

Evaluar la función en

x = 2

:

C(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3

.

Bloom: Analyze

En Manizales, un balón de fútbol se patea y su altura en metros sigue $h(t) = -5t^2 + 20t$ , con $t$ en segundos.

¿En qué instante alcanza el balón su altura máxima?

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Respuesta correcta: B) A los $2$ segundos

A) A los $4$ segundosIncorrecto. Ese es el tiempo total de vuelo (cuando $h = 0$ ), no el del punto máximo.
B) A los $2$ segundosCorrecto. $t_v = -b / 2a = -20 / (2 \cdot -5) = 2$ segundos.
C) A los $5$ segundosIncorrecto. Tomaste el valor absoluto de $a$ como el tiempo máximo.
D) A los $10$ segundosIncorrecto. Duplicaste el tiempo de caída por error.

💡 Explicación

La altura máxima ocurre en el vértice:

t_v = -b / 2a = -20 / (-10) = 2

segundos. La altura allí es

h(2) = -5(4) + 20(2) = 20

metros.

Bloom: Analyze

En Pasto, una parábola está dada en forma factorizada como $y = (x - 1)(x - 5)$ .

¿Cuál es la ecuación del eje de simetría y el vértice de la parábola?

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Respuesta correcta: C) Eje $x = 3$ , vértice $(3, -4)$

A) Eje $x = 1$ , vértice $(1, 0)$ Incorrecto. Ese es uno de los interceptos con el eje $x$ , no el eje de simetría.
B) Eje $x = 5$ , vértice $(5, 0)$ Incorrecto. Ese es el otro intercepto con el eje $x$ .
C) Eje $x = 3$ , vértice $(3, -4)$ Correcto. El eje pasa por el punto medio de $1$ y $5$ , es decir $x = 3$ , y $y = (3-1)(3-5) = -4$ .
D) Eje $x = 3$ , vértice $(3, 4)$ Incorrecto. El eje es correcto pero el signo de $y$ está invertido: $(2)(-2) = -4$ .

💡 Explicación

Las raíces son

x = 1

y

x = 5

. El eje de simetría es el promedio:

x = (1 + 5) / 2 = 3

. Evaluando,

y = (2)(-2) = -4

; el vértice es

(3, -4)

.

Bloom: Analyze

En Cúcuta, se analiza si la gráfica de $f(x) = x^2 + 2x + 5$ corta el eje $x$ .

¿Qué se puede concluir a partir del discriminante?

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Respuesta correcta: B) $D = -16$ , la parábola no corta el eje $x$

A) $D = 24$ , la parábola corta el eje $x$ en dos puntosIncorrecto. Sumaste $4 + 20$ en vez de calcular $4 - 20$ .
B) $D = -16$ , la parábola no corta el eje $x$ Correcto. $D = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$ , por lo que no hay raíces reales.
C) $D = 0$ , la parábola toca el eje $x$ en un puntoIncorrecto. Eso exigiría $b^2 = 4ac$ , pero $4$ es distinto de $20$ .
D) $D = 16$ , la parábola corta el eje $x$ en dos puntosIncorrecto. Ese sería el discriminante de $x^2 + 2x - 3$ , no de esta función.

💡 Explicación

D = b^2 - 4ac = 4 - 20 = -16

. Un discriminante negativo significa que no existen raíces reales: la parábola queda por encima del eje

x

sin cortarlo.

Bloom: Analyze

En Armenia, un agricultor cerca un lote rectangular junto a un río usando $40$ metros de malla para tres lados. Si el lado paralelo al río mide $x$ , el área es $A(x) = x(40 - x) / 2$ .

¿Qué valor de

x

produce el área máxima y cuál es esa área?

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Respuesta correcta: A) $x = 20$ metros, área de $200$ metros cuadrados

A) $x = 20$ metros, área de $200$ metros cuadradosCorrecto. $A(x) = -x^2/2 + 20x$ tiene vértice en $x = -20 / (2 \cdot -1/2) = 20$ y $A(20) = 200$ .
B) $x = 10$ metros, área de $150$ metros cuadradosIncorrecto. $A(10) = 10(30)/2 = 150$ , que está por debajo del máximo.
C) $x = 40$ metros, área de $0$ metros cuadradosIncorrecto. Con $x = 40$ no queda malla para los otros lados y el área se anula.
D) $x = 30$ metros, área de $150$ metros cuadradosIncorrecto. $A(30) = 30(10)/2 = 150$ , que no es el valor máximo.

💡 Explicación

A(x) = (40x - x^2)/2 = -x^2/2 + 20x

. El vértice está en

x = -20 / (-1) = 20

metros y el área máxima es

A(20) = 20(20)/2 = 200

metros cuadrados.

Bloom: Evaluate

En Cartagena, se busca el valor de $k$ para que $g(x) = x^2 + kx + 9$ tenga una raíz real doble.

¿Cuál debe ser el valor positivo de

k

?

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Respuesta correcta: C) $k = 6$

A) $k = 3$ Incorrecto. Con $k = 3$ , $D = 9 - 36 = -27$ , sin raíces reales.
B) $k = 9$ Incorrecto. Con $k = 9$ , $D = 81 - 36 = 45$ , dos raíces distintas.
C) $k = 6$ Correcto. $D = k^2 - 36 = 0$ implica $k = 6$ o $k = -6$ ; el valor positivo es $6$ .
D) $k = 0$ Incorrecto. Con $k = 0$ , $D = -36$ , sin raíces reales.

💡 Explicación

Raíz doble exige

D = 0

:

k^2 - 4(1)(9) = k^2 - 36 = 0

, de donde

k^2 = 36

y

k = 6

o

k = -6

. El valor positivo pedido es

k = 6

.

Bloom: Evaluate

En Santa Marta, dos cohetes de juguete describen $h_1(t) = -4t^2 + 16t$ y $h_2(t) = -2t^2 + 12t$ , con $h$ en metros y $t$ en segundos.

¿Cuál cohete alcanza mayor altura máxima y cuál es esa altura?

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Respuesta correcta: C) El segundo, con $18$ metros

A) El primero, con $20$ metrosIncorrecto. El máximo del primero es $h_1(2) = -16 + 32 = 16$ metros.
B) El primero, con $16$ metrosIncorrecto. Aunque $16$ metros es su máximo, el segundo llega más alto.
C) El segundo, con $18$ metrosCorrecto. $h_1$ culmina en $16$ metros ( $t = 2$ ) y $h_2$ culmina en $18$ metros ( $t = 3$ ).
D) Ambos empatan con $16$ metrosIncorrecto. Los vértices son distintos: $16$ metros frente a $18$ metros.

💡 Explicación

Vértice de

h_1

:

t = -16/(2 \cdot -4) = 2

,

h_1(2) = -16 + 32 = 16

metros. Vértice de

h_2

:

t = -12/(2 \cdot -2) = 3

,

h_2(3) = -18 + 36 = 18

metros. El segundo cohete gana con

18

metros.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

¿Listo para practicar?