Tema W04

Respuesta correcta: B) (4, 0)

• A) (1, 0)Explicación de distractor: Error común de intervalos al incluir el valor frontera que hace que el argumento sea cero, lo cual indefiniría el logaritmo.
• B) (4, 0)Explicación detallada: Esta es la opción correcta porque sigue la definición rigurosa del logaritmo como operación inversa de la exponenciación.
• C) (0, 4)Explicación de distractor: Se confunde la traslación horizontal con el punto de intersección estándar (1,0).
• D) (9, 0)Explicación de distractor: Confusión al intercambiar la base y el exponente en la relación de equivalencia.

Respuesta correcta: C) y = 2^x

• A) x = 2^yExplicación de distractor: Error común de intervalos al incluir el valor frontera que hace que el argumento sea cero, lo cual indefiniría el logaritmo.
• B) y = x^2Explicación de distractor: Se confunde la traslación horizontal con el punto de intersección estándar (1,0).
• C) y = 2^xExplicación detallada: Esta es la opción correcta porque sigue la definición rigurosa del logaritmo como operación inversa de la exponenciación.
• D) x = y^2Explicación de distractor: Confusión al intercambiar la base y el exponente en la relación de equivalencia.

Respuesta correcta: D) ]3, +\infty[

• A) [3, +\infty[Explicación de distractor: Error común de intervalos al incluir el valor frontera que hace que el argumento sea cero, lo cual indefiniría el logaritmo.
• B) \mathbb{R}Explicación de distractor: Se confunde la traslación horizontal con el punto de intersección estándar (1,0).
• C) ]-\infty, 3[Explicación de distractor: Confusión al intercambiar la base y el exponente en la relación de equivalencia.
• D) ]3, +\infty[Explicación detallada: Esta es la opción correcta porque sigue la definición rigurosa del logaritmo como operación inversa de la exponenciación.

Respuesta correcta: A) (2, 0)

• A) (2, 0)Explicación detallada: Esta es la opción correcta porque sigue la definición rigurosa del logaritmo como operación inversa de la exponenciación.
• B) (1, 0)Explicación de distractor: Error común de intervalos al incluir el valor frontera que hace que el argumento sea cero, lo cual indefiniría el logaritmo.
• C) (0, 2)Explicación de distractor: Se confunde la traslación horizontal con el punto de intersección estándar (1,0).
• D) (7, 0)Explicación de distractor: Confusión al intercambiar la base y el exponente en la relación de equivalencia.

Respuesta correcta: B) y = 2^x

• A) x = 2^yExplicación de distractor: Error común de intervalos al incluir el valor frontera que hace que el argumento sea cero, lo cual indefiniría el logaritmo.
• B) y = 2^xExplicación detallada: Esta es la opción correcta porque sigue la definición rigurosa del logaritmo como operación inversa de la exponenciación.
• C) y = x^2Explicación de distractor: Se confunde la traslación horizontal con el punto de intersección estándar (1,0).
• D) x = y^2Explicación de distractor: Confusión al intercambiar la base y el exponente en la relación de equivalencia.

Respuesta correcta: C) ]1, +\infty[

• A) [1, +\infty[Explicación de distractor: Error común de intervalos al incluir el valor frontera que hace que el argumento sea cero, lo cual indefiniría el logaritmo.
• B) \mathbb{R}Explicación de distractor: Se confunde la traslación horizontal con el punto de intersección estándar (1,0).
• C) ]1, +\infty[Explicación detallada: Esta es la opción correcta porque sigue la definición rigurosa del logaritmo como operación inversa de la exponenciación.
• D) ]-\infty, 1[Explicación de distractor: Confusión al intercambiar la base y el exponente en la relación de equivalencia.

Respuesta correcta: D) (4, 0)

• A) (1, 0)Explicación de distractor: Error común de intervalos al incluir el valor frontera que hace que el argumento sea cero, lo cual indefiniría el logaritmo.
• B) (0, 4)Explicación de distractor: Se confunde la traslación horizontal con el punto de intersección estándar (1,0).
• C) (9, 0)Explicación de distractor: Confusión al intercambiar la base y el exponente en la relación de equivalencia.
• D) (4, 0)Explicación detallada: Esta es la opción correcta porque sigue la definición rigurosa del logaritmo como operación inversa de la exponenciación.

Respuesta correcta: A) y = 2^x

• A) y = 2^xExplicación detallada: Esta es la opción correcta porque sigue la definición rigurosa del logaritmo como operación inversa de la exponenciación.
• B) x = 2^yExplicación de distractor: Error común de intervalos al incluir el valor frontera que hace que el argumento sea cero, lo cual indefiniría el logaritmo.
• C) y = x^2Explicación de distractor: Se confunde la traslación horizontal con el punto de intersección estándar (1,0).
• D) x = y^2Explicación de distractor: Confusión al intercambiar la base y el exponente en la relación de equivalencia.

Respuesta correcta: B) ]3, +\infty[

• A) [3, +\infty[Explicación de distractor: Error común de intervalos al incluir el valor frontera que hace que el argumento sea cero, lo cual indefiniría el logaritmo.
• B) ]3, +\infty[Explicación detallada: Esta es la opción correcta porque sigue la definición rigurosa del logaritmo como operación inversa de la exponenciación.
• C) \mathbb{R}Explicación de distractor: Se confunde la traslación horizontal con el punto de intersección estándar (1,0).
• D) ]-\infty, 3[Explicación de distractor: Confusión al intercambiar la base y el exponente en la relación de equivalencia.

Respuesta correcta: C) (2, 0)

• A) (1, 0)Explicación de distractor: Error común de intervalos al incluir el valor frontera que hace que el argumento sea cero, lo cual indefiniría el logaritmo.
• B) (0, 2)Explicación de distractor: Se confunde la traslación horizontal con el punto de intersección estándar (1,0).
• C) (2, 0)Explicación detallada: Esta es la opción correcta porque sigue la definición rigurosa del logaritmo como operación inversa de la exponenciación.
• D) (7, 0)Explicación de distractor: Confusión al intercambiar la base y el exponente en la relación de equivalencia.

Respuesta correcta: D) y = 2^x

• A) x = 2^yExplicación de distractor: Error común de intervalos al incluir el valor frontera que hace que el argumento sea cero, lo cual indefiniría el logaritmo.
• B) y = x^2Explicación de distractor: Se confunde la traslación horizontal con el punto de intersección estándar (1,0).
• C) x = y^2Explicación de distractor: Confusión al intercambiar la base y el exponente en la relación de equivalencia.
• D) y = 2^xExplicación detallada: Esta es la opción correcta porque sigue la definición rigurosa del logaritmo como operación inversa de la exponenciación.

Respuesta correcta: A) ]1, +\infty[

• A) ]1, +\infty[Explicación detallada: Esta es la opción correcta porque sigue la definición rigurosa del logaritmo como operación inversa de la exponenciación.
• B) [1, +\infty[Explicación de distractor: Error común de intervalos al incluir el valor frontera que hace que el argumento sea cero, lo cual indefiniría el logaritmo.
• C) \mathbb{R}Explicación de distractor: Se confunde la traslación horizontal con el punto de intersección estándar (1,0).
• D) ]-\infty, 1[Explicación de distractor: Confusión al intercambiar la base y el exponente en la relación de equivalencia.

Respuesta correcta: A) $(4,\ 0)$

• A) $(4,\ 0)$Correcto. El cero de una función logarítmica cumple $f(x) = 0$, y eso exige que el argumento sea $3^0 = 1$; con $x - 4 = 1$ se obtiene $x = 4$.
• B) $(0,\ 1)$Ese es el punto donde la curva corta el eje $y$, que se obtiene con el argumento igual a 1; aquí el argumento es $x - 4$.
• C) $(5,\ 0)$El 5 aparecería como argumento $x - 4$ si se impusiera $3^1 = 3$ en lugar de $3^0 = 1$, que es lo que exige un cero.
• D) $(4,\ 1)$La ordenada de un cero logarítmico es siempre 0 por definición, no 1.

Respuesta correcta: A) $y = 5^x$

• A) $y = 5^x$Correcto. Por definición, $\log_5(y) = x$ equivale a $5^x = y$; basta con aplicar la propiedad de la base exponencial.
• B) $y = x^5$Se han intercambiado la base y la variable: en una forma exponencial la base queda como base y el logaritmo pasa a ser exponente.
• C) $y = \log_5(x)$Eso devuelve la misma relación en lugar de despejar $y$, así que no es una conversión a forma exponencial.
• D) $y = 5^{1/x}$El inverso del exponente aparecería si la ecuación fuera $\log_5(y) = 1/x$, y no es el caso.

Respuesta correcta: A) ]$2, +\infty[$

• A) ]$2, +\infty[$Correcto. El argumento debe ser positivo: $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$, lo que define el intervalo abierto indicado.
• B) $]0, +\infty[$Ese sería el dominio si el argumento fuera $x$; como aquí es $x - 2$, el cero se desplaza a 2.
• C) $]-\infty, 2[$Para $x < 2$ el argumento $x - 2$ es negativo, y el logaritmo de un negativo no existe en los reales.
• D) $\mathbb{R}$Ninguna función logarítmica real está definida en todo $\mathbb{R}$, porque su argumento no puede ser negativo ni cero.

Respuesta correcta: A) $(0,\ \log_2 7)$

• A) $(0,\ \log_2 7)$Correcto. En el eje $y$ la abscisa vale 0, y entonces $f(0) = \log_2(0 + 7) = \log_2 7$, que es aproximadamente $2{,}81$.
• B) $(0,\ 7)$El 7 es el argumento del logaritmo cuando $x = 0$, pero la ordenada es el logaritmo de ese 7, no el 7 mismo.
• C) $(0,\ 1)$Como $\log_2(1) = 0$, ese punto correspondería a un argumento igual a 1, es decir a $x = -6$.
• D) $(7,\ 0)$El 7 es el desplazamiento del argumento; el cero de la función estaría en $x = -6$, no en $x = 7$.

Respuesta correcta: A) $y = 3^x$

• A) $y = 3^x$Correcto. La equivalencia fundamental es $\log_b(y) = x \iff b^x = y$; con base 3 resulta $3^x = y$.
• B) $y = x^3$Se han intercambiado la base y la variable: el 3 es la base y la $x$ es el exponente, nunca al revés.
• C) $y = 3^{1/x}$Aparecería un exponente recíproco solo si el enunciado fuera $\log_3(y) = 1/x$.
• D) $y = \log_3(x)$Es la misma relación expresada igual, por lo que no resuelve la variable ni cambia de forma.

Respuesta correcta: A) ]$-5, +\infty[$

• A) ]$-5, +\infty[$Correcto. Se exige $x + 5 > 0$, es decir $x > -5$, y el dominio es el intervalo abierto desde $-5$.
• B) $]5, +\infty[$El 5 aparece con signo positivo en el argumento, pero como está sumado, la condición es $x > -5$, no $x > 5$.
• C) $]0, +\infty[$Este sería el dominio de $\log_2(x)$; el desplazamiento de $-5$ se pierde al ignorar el $+5$ del argumento.
• D) $\mathbb{R}$El dominio de una función logarítmica real nunca es todo $\mathbb{R}$, porque su argumento tiene que ser positivo.

Respuesta correcta: A) $(4,\ 0)$

• A) $(4,\ 0)$Correcto. Con $f(x) = 0$ se impone $x - 3 = 5^0 = 1$, y de ahí $x = 4$, de modo que la curva toca el eje $x$ en $(4, 0)$.
• B) $(0,\ 1)$Corresponde a la intersección con el eje $y$ cuando el argumento vale 1, no al punto donde la curva toca el eje $x$.
• C) $(6,\ 0)$El 6 aparecería si en lugar de $5^0 = 1$ se usara $5^1 = 5$, pero un cero exige que el logaritmo valga 0.
• D) $(3,\ 1)$El 3 es el desplazamiento del argumento, y la ordenada de un cero logarítmico es 0, no 1.

Respuesta correcta: B) $f^{-1}(x) = 2^x$

• A) $f^{-1}(x) = \log_2(x)$Sería la función misma, lo que solo ocurre si $f$ fuera su propia inversa, y no es el caso de un logaritmo.
• B) $f^{-1}(x) = 2^x$Correcto. La inversa de una función logarítmica es la exponencial de la misma base, porque $2^x = y \iff \log_2(y) = x$.
• C) $f^{-1}(x) = x^2$Elevar al cuadrado no deshace un logaritmo: no hay ninguna relación que convierta $2^x$ en $x^2$.
• D) $f^{-1}(x) = 2x$Multiplicar por la base es una operación lineal y no tiene relación con la inversa de un logaritmo.