Tema W05 — Matematicas Grado 11, Costa Rica

Bloom: Understand

En Limón, Gabriel está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Dada la función exponencial

f: \mathbb{R} \rightarrow ]0, +\infty[

con

f(x) = 4^x

, ¿cuál es el criterio de su función inversa

f^{-1}(x)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) f^{-1}(x) = \log_4(x)

A) f^{-1}(x) = x^4Explicación de distractor: Se asume erróneamente un valor nulo o constante sin aplicar la propiedad de identidad de las funciones inversas.
B) f^{-1}(x) = \frac{x}{4}Explicación de distractor: Se propone una función potencia o algebraica simple en lugar de la función logarítmica correcta.
C) f^{-1}(x) = \log_4(x)Explicación detallada: Correcto. Por definición, la composición de una función con su inversa es la identidad, y la inversa de una función exponencial es su respectivo logaritmo.
D) f^{-1}(x) = \sqrt[4]{x}Explicación de distractor: Se confunde una propiedad suficiente pero no necesaria con la condición obligatoria de biyectividad.

💡 Explicación

La función logarítmica de base

4

es, por definición matemática, la función inversa de la función exponencial de base

4

. Si escribimos

y = 4^x

, al despejar la variable

x

se obtiene la expresión logarítmica correspondiente:

x = \log_4(y)

. Intercambiando las variables, el criterio de la función inversa es exactamente

f^{-1}(x) = \log_4(x)

.

Bloom: Understand

En San Carlos, Luis está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe de manera precisa una propiedad fundamental para que una función real posea una función inversa?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) Debe ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

A) Debe ser creciente en todos los números realesExplicación de distractor: Se asume erróneamente un valor nulo o constante sin aplicar la propiedad de identidad de las funciones inversas.
B) Su gráfica debe intersecas a ambos ejes coordenadosExplicación de distractor: Se propone una función potencia o algebraica simple en lugar de la función logarítmica correcta.
C) Debe tener un dominio compuesto solo por números positivosExplicación de distractor: Se confunde una propiedad suficiente pero no necesaria con la condición obligatoria de biyectividad.
D) Debe ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)Explicación detallada: Correcto. Por definición, la composición de una función con su inversa es la identidad, y la inversa de una función exponencial es su respectivo logaritmo.

💡 Explicación

Para que una función posea inversa, cada elemento de su codominio debe estar asociado con exactamente un único elemento del dominio (condición de inyectividad) y además el codominio debe coincidir plenamente con su rango o ámbito (condición de sobreyectividad). Por lo tanto, la condición obligatoria y fundamental para la existencia de una función inversa es que sea biyectiva (tanto inyectiva como sobreyectiva).

Bloom: Remember

En Pérez Zeledón, Valentina está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Sea la función

f(x) = 2x + 7

. ¿Cuál es el valor resultante de simplificar la expresión

f(f^{-1}(8))

, aplicando las propiedades de funciones inversas?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 8

A) 8Explicación detallada: Correcto. Por definición, la composición de una función con su inversa es la identidad, y la inversa de una función exponencial es su respectivo logaritmo.
B) 0Explicación de distractor: Se asume erróneamente un valor nulo o constante sin aplicar la propiedad de identidad de las funciones inversas.
C) 2Explicación de distractor: Se propone una función potencia o algebraica simple en lugar de la función logarítmica correcta.
D) 1Explicación de distractor: Se confunde una propiedad suficiente pero no necesaria con la condición obligatoria de biyectividad.

💡 Explicación

Una de las propiedades fundamentales de las funciones inversas es que la composición de una función

f

con su respectiva función inversa

f^{-1}

(o viceversa) resulta en la función identidad. Es decir, para cualquier valor

k

del dominio se cumple que

f(f^{-1}(k)) = k

. Por lo tanto, al evaluar

f(f^{-1}(8))

el resultado se reduce directamente al valor de la constante, que es 8.

Bloom: Remember

En Escazú, Sebastián está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Dada la función exponencial

f: \mathbb{R} \rightarrow ]0, +\infty[

con

f(x) = 4^x

, ¿cuál es el criterio de su función inversa

f^{-1}(x)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) f^{-1}(x) = \log_4(x)

A) f^{-1}(x) = x^4Explicación de distractor: Se asume erróneamente un valor nulo o constante sin aplicar la propiedad de identidad de las funciones inversas.
B) f^{-1}(x) = \log_4(x)Explicación detallada: Correcto. Por definición, la composición de una función con su inversa es la identidad, y la inversa de una función exponencial es su respectivo logaritmo.
C) f^{-1}(x) = \frac{x}{4}Explicación de distractor: Se propone una función potencia o algebraica simple en lugar de la función logarítmica correcta.
D) f^{-1}(x) = \sqrt[4]{x}Explicación de distractor: Se confunde una propiedad suficiente pero no necesaria con la condición obligatoria de biyectividad.

💡 Explicación

La función logarítmica de base

4

es, por definición matemática, la función inversa de la función exponencial de base

4

. Si escribimos

y = 4^x

, al despejar la variable

x

se obtiene la expresión logarítmica correspondiente:

x = \log_4(y)

. Intercambiando las variables, el criterio de la función inversa es exactamente

f^{-1}(x) = \log_4(x)

.

Bloom: Apply

En San José, Keylor está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe de manera precisa una propiedad fundamental para que una función real posea una función inversa?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) Debe ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

A) Debe ser creciente en todos los números realesExplicación de distractor: Se asume erróneamente un valor nulo o constante sin aplicar la propiedad de identidad de las funciones inversas.
B) Su gráfica debe intersecas a ambos ejes coordenadosExplicación de distractor: Se propone una función potencia o algebraica simple en lugar de la función logarítmica correcta.
C) Debe ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)Explicación detallada: Correcto. Por definición, la composición de una función con su inversa es la identidad, y la inversa de una función exponencial es su respectivo logaritmo.
D) Debe tener un dominio compuesto solo por números positivosExplicación de distractor: Se confunde una propiedad suficiente pero no necesaria con la condición obligatoria de biyectividad.

💡 Explicación

Para que una función posea inversa, cada elemento de su codominio debe estar asociado con exactamente un único elemento del dominio (condición de inyectividad) y además el codominio debe coincidir plenamente con su rango o ámbito (condición de sobreyectividad). Por lo tanto, la condición obligatoria y fundamental para la existencia de una función inversa es que sea biyectiva (tanto inyectiva como sobreyectiva).

Bloom: Apply

En Alajuela, Andrey está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Sea la función

f(x) = 2x + 7

. ¿Cuál es el valor resultante de simplificar la expresión

f(f^{-1}(8))

, aplicando las propiedades de funciones inversas?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) 8

A) 0Explicación de distractor: Se asume erróneamente un valor nulo o constante sin aplicar la propiedad de identidad de las funciones inversas.
B) 2Explicación de distractor: Se propone una función potencia o algebraica simple en lugar de la función logarítmica correcta.
C) 1Explicación de distractor: Se confunde una propiedad suficiente pero no necesaria con la condición obligatoria de biyectividad.
D) 8Explicación detallada: Correcto. Por definición, la composición de una función con su inversa es la identidad, y la inversa de una función exponencial es su respectivo logaritmo.

💡 Explicación

Una de las propiedades fundamentales de las funciones inversas es que la composición de una función

f

con su respectiva función inversa

f^{-1}

(o viceversa) resulta en la función identidad. Es decir, para cualquier valor

k

del dominio se cumple que

f(f^{-1}(k)) = k

. Por lo tanto, al evaluar

f(f^{-1}(8))

el resultado se reduce directamente al valor de la constante, que es 8.

Bloom: Apply

En Cartago, María está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Dada la función exponencial

f: \mathbb{R} \rightarrow ]0, +\infty[

con

f(x) = 4^x

, ¿cuál es el criterio de su función inversa

f^{-1}(x)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) f^{-1}(x) = \log_4(x)

A) f^{-1}(x) = \log_4(x)Explicación detallada: Correcto. Por definición, la composición de una función con su inversa es la identidad, y la inversa de una función exponencial es su respectivo logaritmo.
B) f^{-1}(x) = x^4Explicación de distractor: Se asume erróneamente un valor nulo o constante sin aplicar la propiedad de identidad de las funciones inversas.
C) f^{-1}(x) = \frac{x}{4}Explicación de distractor: Se propone una función potencia o algebraica simple en lugar de la función logarítmica correcta.
D) f^{-1}(x) = \sqrt[4]{x}Explicación de distractor: Se confunde una propiedad suficiente pero no necesaria con la condición obligatoria de biyectividad.

💡 Explicación

La función logarítmica de base

4

es, por definición matemática, la función inversa de la función exponencial de base

4

. Si escribimos

y = 4^x

, al despejar la variable

x

se obtiene la expresión logarítmica correspondiente:

x = \log_4(y)

. Intercambiando las variables, el criterio de la función inversa es exactamente

f^{-1}(x) = \log_4(x)

.

Bloom: Understand

En Heredia, José está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe de manera precisa una propiedad fundamental para que una función real posea una función inversa?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) Debe ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

A) Debe ser creciente en todos los números realesExplicación de distractor: Se asume erróneamente un valor nulo o constante sin aplicar la propiedad de identidad de las funciones inversas.
B) Debe ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)Explicación detallada: Correcto. Por definición, la composición de una función con su inversa es la identidad, y la inversa de una función exponencial es su respectivo logaritmo.
C) Su gráfica debe intersecas a ambos ejes coordenadosExplicación de distractor: Se propone una función potencia o algebraica simple en lugar de la función logarítmica correcta.
D) Debe tener un dominio compuesto solo por números positivosExplicación de distractor: Se confunde una propiedad suficiente pero no necesaria con la condición obligatoria de biyectividad.

💡 Explicación

Para que una función posea inversa, cada elemento de su codominio debe estar asociado con exactamente un único elemento del dominio (condición de inyectividad) y además el codominio debe coincidir plenamente con su rango o ámbito (condición de sobreyectividad). Por lo tanto, la condición obligatoria y fundamental para la existencia de una función inversa es que sea biyectiva (tanto inyectiva como sobreyectiva).

Bloom: Understand

En Liberia, Ana está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Sea la función

f(x) = 2x + 7

. ¿Cuál es el valor resultante de simplificar la expresión

f(f^{-1}(8))

, aplicando las propiedades de funciones inversas?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 8

A) 0Explicación de distractor: Se asume erróneamente un valor nulo o constante sin aplicar la propiedad de identidad de las funciones inversas.
B) 2Explicación de distractor: Se propone una función potencia o algebraica simple en lugar de la función logarítmica correcta.
C) 8Explicación detallada: Correcto. Por definición, la composición de una función con su inversa es la identidad, y la inversa de una función exponencial es su respectivo logaritmo.
D) 1Explicación de distractor: Se confunde una propiedad suficiente pero no necesaria con la condición obligatoria de biyectividad.

💡 Explicación

Una de las propiedades fundamentales de las funciones inversas es que la composición de una función

f

con su respectiva función inversa

f^{-1}

(o viceversa) resulta en la función identidad. Es decir, para cualquier valor

k

del dominio se cumple que

f(f^{-1}(k)) = k

. Por lo tanto, al evaluar

f(f^{-1}(8))

el resultado se reduce directamente al valor de la constante, que es 8.

Bloom: Apply

En Puntarenas, Sofía está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Dada la función exponencial

f: \mathbb{R} \rightarrow ]0, +\infty[

con

f(x) = 4^x

, ¿cuál es el criterio de su función inversa

f^{-1}(x)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) f^{-1}(x) = \log_4(x)

A) f^{-1}(x) = x^4Explicación de distractor: Se asume erróneamente un valor nulo o constante sin aplicar la propiedad de identidad de las funciones inversas.
B) f^{-1}(x) = \frac{x}{4}Explicación de distractor: Se propone una función potencia o algebraica simple en lugar de la función logarítmica correcta.
C) f^{-1}(x) = \sqrt[4]{x}Explicación de distractor: Se confunde una propiedad suficiente pero no necesaria con la condición obligatoria de biyectividad.
D) f^{-1}(x) = \log_4(x)Explicación detallada: Correcto. Por definición, la composición de una función con su inversa es la identidad, y la inversa de una función exponencial es su respectivo logaritmo.

💡 Explicación

La función logarítmica de base

4

es, por definición matemática, la función inversa de la función exponencial de base

4

. Si escribimos

y = 4^x

, al despejar la variable

x

se obtiene la expresión logarítmica correspondiente:

x = \log_4(y)

. Intercambiando las variables, el criterio de la función inversa es exactamente

f^{-1}(x) = \log_4(x)

.

Bloom: Apply

En Limón, Carlos está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe de manera precisa una propiedad fundamental para que una función real posea una función inversa?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Debe ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

A) Debe ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)Explicación detallada: Correcto. Por definición, la composición de una función con su inversa es la identidad, y la inversa de una función exponencial es su respectivo logaritmo.
B) Debe ser creciente en todos los números realesExplicación de distractor: Se asume erróneamente un valor nulo o constante sin aplicar la propiedad de identidad de las funciones inversas.
C) Su gráfica debe intersecas a ambos ejes coordenadosExplicación de distractor: Se propone una función potencia o algebraica simple en lugar de la función logarítmica correcta.
D) Debe tener un dominio compuesto solo por números positivosExplicación de distractor: Se confunde una propiedad suficiente pero no necesaria con la condición obligatoria de biyectividad.

💡 Explicación

Para que una función posea inversa, cada elemento de su codominio debe estar asociado con exactamente un único elemento del dominio (condición de inyectividad) y además el codominio debe coincidir plenamente con su rango o ámbito (condición de sobreyectividad). Por lo tanto, la condición obligatoria y fundamental para la existencia de una función inversa es que sea biyectiva (tanto inyectiva como sobreyectiva).

Bloom: Apply

En San Carlos, Elena está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Sea la función

f(x) = 2x + 7

. ¿Cuál es el valor resultante de simplificar la expresión

f(f^{-1}(8))

, aplicando las propiedades de funciones inversas?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 8

A) 0Explicación de distractor: Se asume erróneamente un valor nulo o constante sin aplicar la propiedad de identidad de las funciones inversas.
B) 8Explicación detallada: Correcto. Por definición, la composición de una función con su inversa es la identidad, y la inversa de una función exponencial es su respectivo logaritmo.
C) 2Explicación de distractor: Se propone una función potencia o algebraica simple en lugar de la función logarítmica correcta.
D) 1Explicación de distractor: Se confunde una propiedad suficiente pero no necesaria con la condición obligatoria de biyectividad.

💡 Explicación

Una de las propiedades fundamentales de las funciones inversas es que la composición de una función

f

con su respectiva función inversa

f^{-1}

(o viceversa) resulta en la función identidad. Es decir, para cualquier valor

k

del dominio se cumple que

f(f^{-1}(k)) = k

. Por lo tanto, al evaluar

f(f^{-1}(8))

el resultado se reduce directamente al valor de la constante, que es 8.

Bloom: Analyze

En Pérez Zeledón, Javier está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Dada la función exponencial

f(x) = 4^x

, ¿cuál es el valor exacto de

f(2)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $16$

A) $16$ Correcto. Como $4^2 = 4 \cdot 4 = 16$ , el valor de la función en $x = 2$ es 16.
B) $8$ El 8 resulta de multiplicar la base por el exponente en lugar de repetir la base ese número de veces.
C) $2$ El 2 es la entrada de la función, es decir el exponente, no el valor de salida.
D) $6$ Sumar base y exponente no corresponde a ninguna regla de las potencias; $4 + 2 = 6$ no es una potencia.

💡 Explicación

Para calcular

f(2)

con

f(x) = 4^x

basta elevar la base al exponente 2:

4^2 = 4 \cdot 4 = 16

. Es importante no mezclar la potenciación con la multiplicación de la base por el exponente, porque en

4^2

el exponente indica cuántas veces se repite la base.

Bloom: Analyze

En Escazú, Natalia está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

¿Cuál de las siguientes condiciones es equivalente a decir que una función real es inyectiva?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) No toma el mismo valor en dos puntos distintos de su dominio

A) No toma el mismo valor en dos puntos distintos de su dominioCorrecto. La inyectividad significa que $f(a) = f(b)$ obliga a $a = b$ ; equivalentemente, la gráfica no corta ninguna horizontal en dos puntos.
B) Su gráfica pasa por el origenPasar por el origen dice algo sobre $f(0) = 0$ , y funciones con ese valor pueden ser inyectivas o no.
C) Su dominio contiene todos los números realesEl tipo de dominio no determina la inyectividad; $f(x) = \sin(x)$ tiene dominio $\mathbb{R}$ y no es inyectiva.
D) Su rango es acotadoEl carácter acotado del rango es independiente de la inyectividad: $\arctan(x)$ es inyectiva y su rango está acotado.

💡 Explicación

Ser inyectiva equivale a que

f(a) = f(b)

implique

a = b

, es decir, a que ninguna recta horizontal corte la gráfica en más de un punto. Esta condición es independiente del tipo de dominio, de si la gráfica pasa por el origen o de que el rango sea acotado o no.

Bloom: Analyze

En San José, Esteban está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Sea la función

f(x) = 3x - 4

. ¿Cuál es el valor de

f(f^{-1}(15))

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $15$

A) $15$ Correcto. Como $f$ y $f^{-1}$ son funciones inversas, $f(f^{-1}(k)) = k$ para todo $k$ del dominio; aquí $k = 15$ .
B) $0$ El resultado sería 0 solo si el argumento fuera el cero de $f$ , y el cero de $3x - 4$ está en $x = 4/3$ .
C) $45$ Multiplicar el 15 por el coeficiente 3 como si $f^{-1}$ fuera la identidad lleva a aplicar $f$ dos veces.
D) $\dfrac{19}{3}$ Ese es el resultado de calcular $f^{-1}(15)$ por separado, es decir $x = (15 + 4)/3$ ; la composición pedida devuelve el argumento.

💡 Explicación

La propiedad fundamental es

f(f^{-1}(x)) = x

, la función identidad. Para comprobarlo con esta función,

f^{-1}(15) = (15 + 4)/3 = 19/3

, y luego

f(19/3) = 3 \cdot 19/3 - 4 = 19 - 4 = 15

, que confirma el resultado.

Bloom: Analyze

En Alajuela, Gabriel está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Dada la función exponencial

f(x) = 5^x

, ¿cuál es el límite de

f(x)

cuando

x

tiende a infinito?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $+\infty$

A) $+\infty$ Correcto. Con base mayor que 1, tomar exponentes cada vez mayores produce valores que crecen sin cota.
B) $0$ El $0$ es el límite cuando $x \to -\infty$ , no cuando $x \to +\infty$ , donde el signo del exponente es el contrario.
C) $5$ El 5 es la base; el límite se deduce del crecimiento de $5^x$ , no del valor numérico de la base.
D) $1$ El $1$ aparece en $f(0) = 5^0 = 1$ , que es el punto de corte con el eje $y$ , no un límite.

💡 Explicación

Para

f(x) = b^x

con

b > 1

, cuando

x \to +\infty

la potencia crece sin cota y el límite es

+\infty

. Al revés, cuando

x \to -\infty

el valor se acerca a

0

. Estos dos comportamientos opuestos resumen por qué toda exponencial de base mayor que 1 es estrictamente creciente en

\mathbb{R}

.

Bloom: Evaluate

En Cartago, Luis está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Sea la función

f(x) = 2x + 9

. ¿Cuál es el valor de

f^{-1}(15)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $3$

A) $3$ Correcto. Despejando $2x + 9 = 15$ se obtiene $2x = 6$ y $x = 3$ , que es justamente lo que significa buscar la preimagen de 15.
B) $24$ Ese es $f(15) = 2 \cdot 15 + 9$ , es decir la imagen de 15 y no la preimagen; el orden inverso es justamente el sentido de la inversa.
C) $6$ El 6 es $15 - 9$ , el resultado de restar el término independiente sin dividir después entre el coeficiente de $x$ .
D) $\dfrac{15}{2}$ $\dfrac{15}{2}$ sería la inversa de $f(x) = 2x$ sin término independiente, pero aquí hay que restar 9 antes de dividir.

💡 Explicación

Buscar

f^{-1}(15)

es encontrar el

x

que produce 15 al aplicar

f

. Resolviendo

2x + 9 = 15

se resta 9 en ambos miembros,

2x = 6

, y se divide entre 2 para obtener

x = 3

. La composición inversa

f^{-1}(f(x)) = x

confirma que

f(3) = 15

.

Bloom: Evaluate

En Heredia, Valentina está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Dada la función

f: \mathbb{R} \rightarrow ]0, +\infty[

con

f(x) = 6^x

, ¿cuál es el valor exacto de

f(-1)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $\dfrac{1}{6}$

A) $\dfrac{1}{6}$ Correcto. Con $f(-1) = 6^{-1}$ se obtiene el recíproco de 6, que es $\dfrac{1}{6}$ , un valor positivo menor que 1.
B) $6$ El 6 es $f(1)$ con exponente positivo; el signo negativo del exponente es lo que invierte el resultado.
C) $-6$ La base 6 es positiva, así que ninguna potencia de ella puede resultar negativa.
D) $\dfrac{1}{36}$ $\dfrac{1}{36} = 6^{-2}$ corresponde al exponente $-2$ , mientras que el enunciado pide evaluar en $-1$ .

💡 Explicación

Como

f(-1) = 6^{-1}

, la regla

b^{-n} = \dfrac{1}{b^{n}}

con

n = 1

da directamente

\dfrac{1}{6}

. Este resultado sigue el comportamiento general de las exponenciales de base mayor que 1: los exponentes negativos producen valores entre 0 y 1.

Bloom: Evaluate

En Liberia, Sebastián está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Sea la función exponencial

f(x) = 2^x

. ¿Cuál es el punto de intersección de su gráfica con el eje de las ordenadas?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $(0,\ 1)$

A) $(0,\ 1)$ Correcto. En el eje $y$ la abscisa es 0 y $f(0) = 2^0 = 1$ , por lo que la gráfica pasa por $(0, 1)$ .
B) $(1,\ 0)$ Ese sería el punto de corte con el eje $x$ , que la exponencial nunca alcanza porque siempre es positiva.
C) $(0,\ 2)$ El 2 es la base; el valor de la función en $x = 0$ es $2^0 = 1$ y no la base misma.
D) $(0,\ 0)$ El $0$ es la asíntota horizontal a la que la curva se acerca sin tocarla nunca, de modo que no puede ser un punto de corte.

💡 Explicación

El corte con el eje

y

se obtiene tomando

x = 0

, y como

f(0) = b^0 = 1

para cualquier base

b

, el punto es siempre

(0, 1)

. En cambio el eje

x

no se alcanza nunca, porque

2^x > 0

para todo

x

real: la gráfica se aproxima a

y = 0

sin tocarla.

Bloom: Evaluate

En Puntarenas, Keylor está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Sea

f(x) = \log_3(x)

y sea

g

su función inversa. ¿Cuál es el criterio de

g

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $g(x) = 3^x$

A) $g(x) = x^3$ Se han intercambiado base y exponente: la base 3 se mantiene como base y la variable pasa a ser el exponente.
B) $g(x) = 3^x$ Correcto. Partiendo de $\log_3(y) = x$ se despeja en forma exponencial y se obtiene $3^x = y$ , que es el criterio de $g$ .
C) $g(x) = \log_3(x)$ Esta es la función $f$ misma, y para que fuera su propia inversa habría de ser la identidad.
D) $g(x) = 3x$ Multiplicar por 3 es una operación lineal y no invierte a un logaritmo en base 3.

💡 Explicación

Como

g

es la inversa de

f(x) = \log_3(x)

, se cumple

g(f(x)) = x

. Escribiendo

y = \log_3(x)

y despejando,

3^y = x

; al intercambiar los nombres de las variables resulta

g(y) = 3^y

, es decir

g(x) = 3^x

, que es el comportamiento dual de exponencial y logaritmo.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?