Tema W07 — Matematicas Grado 11, Costa Rica

Bloom: Understand

En Pérez Zeledón, Keylor está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Determine la solución real para la ecuación exponencial

2^{3x} = 16

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) x = 4/3

A) x = 4/3Explicación detallada: Es correcto ya que se igualan los exponentes tras expresar ambos lados de la igualdad en la misma base, o se resuelve mediante sustitución cuadrática.
B) x = 4Explicación de distractor: Error operacional al intentar despejar la variable sin aplicar la propiedad de igualdad de bases.
C) x = 3/4Explicación de distractor: Se confunde el exponente obtenido en la descomposición de la base con la solución de la variable independiente.
D) x = 1Explicación de distractor: Se toman los valores de la variable auxiliarizada $u$ en lugar de recuperar los valores originales de $x$ tras aplicar el logaritmo.

💡 Explicación

Para resolver la ecuación exponencial

2^{3x} = 16

, expresamos el número 16 en base 2, sabiendo que

16 = 2^4

. De esta manera, la ecuación se reescribe como:

2^{3x} = 2^4

. Igualando los exponentes:

3x = 4 \Rightarrow x = 4/3

. Por lo tanto, la solución única es

x = 4/3

.

Bloom: Understand

En Escazú, Andrey está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Halle el conjunto solución en los números reales para la ecuación exponencial

(2^x)^2 - 6(2^x) + 8 = 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) S = {1, 2}

A) S = {2, 4}Explicación de distractor: Error operacional al intentar despejar la variable sin aplicar la propiedad de igualdad de bases.
B) S = {1, 2}Explicación detallada: Es correcto ya que se igualan los exponentes tras expresar ambos lados de la igualdad en la misma base, o se resuelve mediante sustitución cuadrática.
C) S = {0, 1}Explicación de distractor: Se confunde el exponente obtenido en la descomposición de la base con la solución de la variable independiente.
D) S = {3, 4}Explicación de distractor: Se toman los valores de la variable auxiliarizada $u$ en lugar de recuperar los valores originales de $x$ tras aplicar el logaritmo.

💡 Explicación

Para resolver la ecuación

(2^x)^2 - 6(2^x) + 8 = 0

, realizamos un cambio de variable definiendo

u = 2^x

. Con esto, obtenemos una ecuación cuadrática estándar:

u^2 - 6u + 8 = 0 \Rightarrow (u-4)(u-2) = 0

. Las raíces para la variable auxiliar son

u = 4

y

u = 2

. Volviendo a la variable original

x

:
1. Si

2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2

.
2. Si

2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x = 1

.
Por lo tanto, el conjunto de soluciones reales es exactamente

S = \{1, 2\}

.

Bloom: Remember

En San José, María está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Resuelva la ecuación exponencial:

2^{2x - 1} = 8

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) x = 2

A) x = 4Explicación de distractor: Error operacional al intentar despejar la variable sin aplicar la propiedad de igualdad de bases.
B) x = 1Explicación de distractor: Se confunde el exponente obtenido en la descomposición de la base con la solución de la variable independiente.
C) x = 2Explicación detallada: Es correcto ya que se igualan los exponentes tras expresar ambos lados de la igualdad en la misma base, o se resuelve mediante sustitución cuadrática.
D) x = 12Explicación de distractor: Se toman los valores de la variable auxiliarizada $u$ en lugar de recuperar los valores originales de $x$ tras aplicar el logaritmo.

💡 Explicación

Para resolver la ecuación exponencial

2^{2x - 1} = 8

, igualamos directamente los exponentes dado que las bases son idénticas e iguales a 2:

2x - 1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2

. Por lo tanto, la solución única es

x = 2

.

Bloom: Remember

En Alajuela, José está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Determine la solución real para la ecuación exponencial

2^{3x} = 16

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) x = 4/3

A) x = 4Explicación de distractor: Error operacional al intentar despejar la variable sin aplicar la propiedad de igualdad de bases.
B) x = 3/4Explicación de distractor: Se confunde el exponente obtenido en la descomposición de la base con la solución de la variable independiente.
C) x = 1Explicación de distractor: Se toman los valores de la variable auxiliarizada $u$ en lugar de recuperar los valores originales de $x$ tras aplicar el logaritmo.
D) x = 4/3Explicación detallada: Es correcto ya que se igualan los exponentes tras expresar ambos lados de la igualdad en la misma base, o se resuelve mediante sustitución cuadrática.

💡 Explicación

Para resolver la ecuación exponencial

2^{3x} = 16

, expresamos el número 16 en base 2, sabiendo que

16 = 2^4

. De esta manera, la ecuación se reescribe como:

2^{3x} = 2^4

. Igualando los exponentes:

3x = 4 \Rightarrow x = 4/3

. Por lo tanto, la solución única es

x = 4/3

.

Bloom: Apply

En Cartago, Ana está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Halle el conjunto solución en los números reales para la ecuación exponencial

(2^x)^2 - 6(2^x) + 8 = 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) S = {1, 2}

A) S = {1, 2}Explicación detallada: Es correcto ya que se igualan los exponentes tras expresar ambos lados de la igualdad en la misma base, o se resuelve mediante sustitución cuadrática.
B) S = {2, 4}Explicación de distractor: Error operacional al intentar despejar la variable sin aplicar la propiedad de igualdad de bases.
C) S = {0, 1}Explicación de distractor: Se confunde el exponente obtenido en la descomposición de la base con la solución de la variable independiente.
D) S = {3, 4}Explicación de distractor: Se toman los valores de la variable auxiliarizada $u$ en lugar de recuperar los valores originales de $x$ tras aplicar el logaritmo.

💡 Explicación

Para resolver la ecuación

(2^x)^2 - 6(2^x) + 8 = 0

, realizamos un cambio de variable definiendo

u = 2^x

. Con esto, obtenemos una ecuación cuadrática estándar:

u^2 - 6u + 8 = 0 \Rightarrow (u-4)(u-2) = 0

. Las raíces para la variable auxiliar son

u = 4

y

u = 2

. Volviendo a la variable original

x

:
1. Si

2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2

.
2. Si

2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x = 1

.
Por lo tanto, el conjunto de soluciones reales es exactamente

S = \{1, 2\}

.

Bloom: Apply

En Heredia, Sofía está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Resuelva la ecuación exponencial:

2^{2x - 1} = 8

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) x = 2

A) x = 4Explicación de distractor: Error operacional al intentar despejar la variable sin aplicar la propiedad de igualdad de bases.
B) x = 2Explicación detallada: Es correcto ya que se igualan los exponentes tras expresar ambos lados de la igualdad en la misma base, o se resuelve mediante sustitución cuadrática.
C) x = 1Explicación de distractor: Se confunde el exponente obtenido en la descomposición de la base con la solución de la variable independiente.
D) x = 12Explicación de distractor: Se toman los valores de la variable auxiliarizada $u$ en lugar de recuperar los valores originales de $x$ tras aplicar el logaritmo.

💡 Explicación

Para resolver la ecuación exponencial

2^{2x - 1} = 8

, igualamos directamente los exponentes dado que las bases son idénticas e iguales a 2:

2x - 1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2

. Por lo tanto, la solución única es

x = 2

.

Bloom: Apply

En Liberia, Carlos está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Determine la solución real para la ecuación exponencial

2^{3x} = 16

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) x = 4/3

A) x = 4Explicación de distractor: Error operacional al intentar despejar la variable sin aplicar la propiedad de igualdad de bases.
B) x = 3/4Explicación de distractor: Se confunde el exponente obtenido en la descomposición de la base con la solución de la variable independiente.
C) x = 4/3Explicación detallada: Es correcto ya que se igualan los exponentes tras expresar ambos lados de la igualdad en la misma base, o se resuelve mediante sustitución cuadrática.
D) x = 1Explicación de distractor: Se toman los valores de la variable auxiliarizada $u$ en lugar de recuperar los valores originales de $x$ tras aplicar el logaritmo.

💡 Explicación

Para resolver la ecuación exponencial

2^{3x} = 16

, expresamos el número 16 en base 2, sabiendo que

16 = 2^4

. De esta manera, la ecuación se reescribe como:

2^{3x} = 2^4

. Igualando los exponentes:

3x = 4 \Rightarrow x = 4/3

. Por lo tanto, la solución única es

x = 4/3

.

Bloom: Understand

En Puntarenas, Elena está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Halle el conjunto solución en los números reales para la ecuación exponencial

(2^x)^2 - 6(2^x) + 8 = 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) S = {1, 2}

A) S = {2, 4}Explicación de distractor: Error operacional al intentar despejar la variable sin aplicar la propiedad de igualdad de bases.
B) S = {0, 1}Explicación de distractor: Se confunde el exponente obtenido en la descomposición de la base con la solución de la variable independiente.
C) S = {3, 4}Explicación de distractor: Se toman los valores de la variable auxiliarizada $u$ en lugar de recuperar los valores originales de $x$ tras aplicar el logaritmo.
D) S = {1, 2}Explicación detallada: Es correcto ya que se igualan los exponentes tras expresar ambos lados de la igualdad en la misma base, o se resuelve mediante sustitución cuadrática.

💡 Explicación

Para resolver la ecuación

(2^x)^2 - 6(2^x) + 8 = 0

, realizamos un cambio de variable definiendo

u = 2^x

. Con esto, obtenemos una ecuación cuadrática estándar:

u^2 - 6u + 8 = 0 \Rightarrow (u-4)(u-2) = 0

. Las raíces para la variable auxiliar son

u = 4

y

u = 2

. Volviendo a la variable original

x

:
1. Si

2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2

.
2. Si

2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x = 1

.
Por lo tanto, el conjunto de soluciones reales es exactamente

S = \{1, 2\}

.

Bloom: Understand

En Limón, Javier está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Resuelva la ecuación exponencial:

2^{2x - 1} = 8

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) x = 2

A) x = 2Explicación detallada: Es correcto ya que se igualan los exponentes tras expresar ambos lados de la igualdad en la misma base, o se resuelve mediante sustitución cuadrática.
B) x = 4Explicación de distractor: Error operacional al intentar despejar la variable sin aplicar la propiedad de igualdad de bases.
C) x = 1Explicación de distractor: Se confunde el exponente obtenido en la descomposición de la base con la solución de la variable independiente.
D) x = 12Explicación de distractor: Se toman los valores de la variable auxiliarizada $u$ en lugar de recuperar los valores originales de $x$ tras aplicar el logaritmo.

💡 Explicación

Para resolver la ecuación exponencial

2^{2x - 1} = 8

, igualamos directamente los exponentes dado que las bases son idénticas e iguales a 2:

2x - 1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2

. Por lo tanto, la solución única es

x = 2

.

Bloom: Apply

En San Carlos, Natalia está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Determine la solución real para la ecuación exponencial

2^{3x} = 16

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) x = 4/3

A) x = 4Explicación de distractor: Error operacional al intentar despejar la variable sin aplicar la propiedad de igualdad de bases.
B) x = 4/3Explicación detallada: Es correcto ya que se igualan los exponentes tras expresar ambos lados de la igualdad en la misma base, o se resuelve mediante sustitución cuadrática.
C) x = 3/4Explicación de distractor: Se confunde el exponente obtenido en la descomposición de la base con la solución de la variable independiente.
D) x = 1Explicación de distractor: Se toman los valores de la variable auxiliarizada $u$ en lugar de recuperar los valores originales de $x$ tras aplicar el logaritmo.

💡 Explicación

Para resolver la ecuación exponencial

2^{3x} = 16

, expresamos el número 16 en base 2, sabiendo que

16 = 2^4

. De esta manera, la ecuación se reescribe como:

2^{3x} = 2^4

. Igualando los exponentes:

3x = 4 \Rightarrow x = 4/3

. Por lo tanto, la solución única es

x = 4/3

.

Bloom: Apply

En Pérez Zeledón, Esteban está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Halle el conjunto solución en los números reales para la ecuación exponencial

(2^x)^2 - 6(2^x) + 8 = 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) S = {1, 2}

A) S = {2, 4}Explicación de distractor: Error operacional al intentar despejar la variable sin aplicar la propiedad de igualdad de bases.
B) S = {0, 1}Explicación de distractor: Se confunde el exponente obtenido en la descomposición de la base con la solución de la variable independiente.
C) S = {1, 2}Explicación detallada: Es correcto ya que se igualan los exponentes tras expresar ambos lados de la igualdad en la misma base, o se resuelve mediante sustitución cuadrática.
D) S = {3, 4}Explicación de distractor: Se toman los valores de la variable auxiliarizada $u$ en lugar de recuperar los valores originales de $x$ tras aplicar el logaritmo.

💡 Explicación

Para resolver la ecuación

(2^x)^2 - 6(2^x) + 8 = 0

, realizamos un cambio de variable definiendo

u = 2^x

. Con esto, obtenemos una ecuación cuadrática estándar:

u^2 - 6u + 8 = 0 \Rightarrow (u-4)(u-2) = 0

. Las raíces para la variable auxiliar son

u = 4

y

u = 2

. Volviendo a la variable original

x

:
1. Si

2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2

.
2. Si

2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x = 1

.
Por lo tanto, el conjunto de soluciones reales es exactamente

S = \{1, 2\}

.

Bloom: Apply

En Escazú, Gabriel está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Resuelva la ecuación exponencial:

2^{2x - 1} = 8

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) x = 2

A) x = 4Explicación de distractor: Error operacional al intentar despejar la variable sin aplicar la propiedad de igualdad de bases.
B) x = 1Explicación de distractor: Se confunde el exponente obtenido en la descomposición de la base con la solución de la variable independiente.
C) x = 12Explicación de distractor: Se toman los valores de la variable auxiliarizada $u$ en lugar de recuperar los valores originales de $x$ tras aplicar el logaritmo.
D) x = 2Explicación detallada: Es correcto ya que se igualan los exponentes tras expresar ambos lados de la igualdad en la misma base, o se resuelve mediante sustitución cuadrática.

💡 Explicación

Para resolver la ecuación exponencial

2^{2x - 1} = 8

, igualamos directamente los exponentes dado que las bases son idénticas e iguales a 2:

2x - 1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2

. Por lo tanto, la solución única es

x = 2

.

Bloom: Analyze

En San José, Luis está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Determine la solución real para la ecuación exponencial

2^{x + 1} = 32

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x = 4$

A) $x = 4$ Correcto. Como $32 = 2^5$ , igualar exponentes da $x + 1 = 5$ , y por tanto $x = 4$ .
B) $x = 5$ El 5 es el exponente al que hay que elevar la base, pero ese exponente es $x + 1$ , así que falta despejar la incógnita.
C) $x = 2$ Con $x = 2$ el lado izquierdo es $2^3 = 8$ , que no es 32; el exponente debería ser 5.
D) $x = 16$ El 16 es el valor de la potencia cuando el exponente es 4, es decir $2^4 = 16$ , no la solución de $x$ .

💡 Explicación

Escribimos

32

como potencia de la misma base:

32 = 2^5

. La ecuación

2^{x+1} = 2^5

permite igualar los exponentes porque la función exponencial es inyectiva, de modo que

x + 1 = 5

y

x = 4

. La clave es dejar la incógnita sola después de igualar exponentes.

Bloom: Analyze

En Alajuela, Valentina está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Halle el conjunto solución en los números reales para la ecuación exponencial

(3^x)^2 - 7(3^x) + 12 = 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $S = \{1,\ \log_3 4\}$

A) $S = \{1,\ \log_3 4\}$ Correcto. Con $u = 3^x > 0$ se resuelve $u^2 - 7u + 12 = 0$ , que factoriza en $(u - 3)(u - 4) = 0$ ; de ahí $3^x = 3$ o $3^x = 4$ , es decir $x = 1$ o $x = \log_3 4$ .
B) $S = \{1,\ 2\}$ El 2 sería la respuesta solo si 4 fuese una potencia exacta de 3, y lo que ocurre es $3^2 = 9$ .
C) $S = \{2,\ 3\}$ Se han devuelto los valores del sustituto $u$ como si fueran los de $x$ : las raíces de la cuadrática son 3 y 4, no 2 y 3.
D) $S = \varnothing$ El conjunto solución no es vacío porque la cuadrítica tiene dos raíces positivas, y ambas dan exponentes reales válidos.

💡 Explicación

Como

3^x > 0

para todo

x

real, conviene hacer el cambio de variable

u = 3^x

. La ecuación queda

u^2 - 7u + 12 = 0

, que se factoriza como

(u - 3)(u - 4) = 0

. Las dos raíces son positivas, de modo que ambas se convierten en exponentes reales:

u = 3

da

x = 1

y

u = 4

da

x = \log_3 4 \approx 1{,}26

.

Bloom: Analyze

En Cartago, Sebastián está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Resuelva la ecuación exponencial:

5^{x - 2} = 25

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x = 4$

A) $x = 4$ Correcto. Como $25 = 5^2$ , igualando exponentes se tiene $x - 2 = 2$ y por tanto $x = 4$ .
B) $x = 2$ El 2 es el exponente del lado derecho, y ese exponente es $x - 2$ , no $x$ directamente.
C) $x = 3$ Con $x = 3$ el lado izquierdo es $5^1 = 5$ , y 5 no es 25; el exponente debería ser 2.
D) $x = 20$ El 20 sería el producto de 5 por 4, que no guarda relación con la potenciación planteada.

💡 Explicación

Como

25 = 5^2

, la ecuación se escribe

5^{x-2} = 5^2

. La inyectividad de la exponencial permite igualar los exponentes:

x - 2 = 2

, de donde

x = 4

. Estos pasos son los mismos que se usan cuando el exponente aparece multiplicado por la incógnita.

Bloom: Analyze

En Heredia, Keylor está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Determine la solución real para la ecuación exponencial

2^{4x} = 32

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x = \dfrac{5}{4}$

A) $x = \dfrac{5}{4}$ Correcto. Con $32 = 2^5$ se igualan exponentes, $4x = 5$ , y al despejar se obtiene $x = 5/4 = 1{,}25$ .
B) $x = \dfrac{4}{5}$ Se ha invertido la relación entre 4 y 5 al despejar; de $4x = 5$ sale $x = 5/4$ , no $4/5$ .
C) $x = 5$ El 5 es el exponente del lado derecho, pero ese exponente es $4x$ , así que hay que dividir entre 4.
D) $x = 20$ El 20 resulta de multiplicar 4 por 5 en lugar de dividir, lo que correspondería a $4x = 20$ y no a $4x = 5$ .

💡 Explicación

Escribiendo

32 = 2^5

, la ecuación

2^{4x} = 2^5

se resuelve igualando exponentes:

4x = 5

. Al dividir ambos miembros entre 4 se obtiene

x = 5/4

. Cuando el coeficiente del exponente no es 1, el paso final es siempre una división, y ese es el error típico.

Bloom: Evaluate

En Liberia, Andrey está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Halle el conjunto solución en los números reales para la ecuación exponencial

(2^x)^2 - 10(2^x) + 16 = 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $S = \{1,\ 3\}$

A) $S = \{1,\ 3\}$ Correcto. Con $u = 2^x$ la ecuación es $u^2 - 10u + 16 = 0 = (u - 2)(u - 8)$ ; de $u = 2$ sale $x = 1$ y de $u = 8 = 2^3$ sale $x = 3$ .
B) $S = \{2,\ 8\}$ El 2 y el 8 son las raíces del polinomio en $u$ , pero hay que volver a la variable $x$ con el logaritmo antes de darlos como solución.
C) $S = \{1,\ 8\}$ Se ha combinado una raíz convertida con logaritmo, que da $x = 1$ , y otra dejada sin convertir, que sigue siendo el 8.
D) $S = \varnothing$ Las dos raíces del polinomio son positivas, y toda potencia $2^x$ es positiva, así que el conjunto solución no es vacío.

💡 Explicación

Haciendo

u = 2^x > 0

se obtiene

u^2 - 10u + 16 = 0

, que se factoriza como

(u - 2)(u - 8) = 0

. Como

2^x = 2

implica

x = 1

y

2^x = 8 = 2^3

implica

x = 3

, el conjunto solución real es

S = \{1, 3\}

. El error más frecuente es devolver las raíces en

u

sin volver a

x

.

Bloom: Evaluate

En Puntarenas, María está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Resuelva la ecuación exponencial:

3^{3x - 1} = 27

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x = \dfrac{4}{3}$

A) $x = \dfrac{4}{3}$ Correcto. Como $27 = 3^3$ , igualando exponentes se tiene $3x - 1 = 3$ , luego $3x = 4$ y $x = 4/3$ .
B) $x = 3$ El 3 es el exponente del lado derecho, pero el exponente del lado izquierdo es $3x - 1$ .
C) $x = 1$ Con $x = 1$ el lado izquierdo es $3^2 = 9$ , que no es 27; el exponente debería ser 3.
D) $x = 9$ El 9 proviene de sumar 3 y 6 en lugar de resolver la ecuación lineal que aparece dentro del exponente.

💡 Explicación

Como

27 = 3^3

, igualamos exponentes:

3x - 1 = 3

. Aislando el término con incógnita,

3x = 4

, y de ahí

x = 4/3

. Resolver una ecuación exponencial termina siempre con una ecuación lineal en el exponente, y ahí es donde suele aparecer el error.

Bloom: Evaluate

En Limón, José está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Determine la solución real para la ecuación exponencial

2^{x - 2} = 8

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x = 5$

A) $x = 5$ Correcto. Como $8 = 2^3$ , se igualan exponentes y resulta $x - 2 = 3$ , de donde $x = 5$ .
B) $x = 3$ El 3 es el exponente del lado derecho, pero el del lado izquierdo es $x - 2$ , de modo que falta sumar 2.
C) $x = 1$ Con $x = 1$ el lado izquierdo es $2^{-1} = 1/2$ , que no es 8.
D) $x = 6$ El 6 resulta de multiplicar 2 por 3, cuando lo correcto es sumar el 2 que aparece restado en el exponente.

💡 Explicación

Escribiendo

8 = 2^3

, la igualdad

2^{x-2} = 2^3

permite igualar exponentes porque la función exponencial es inyectiva. Se obtiene

x - 2 = 3

y, al despejar,

x = 5

. Cuando el término constante del exponente está restado, el despeje final es una suma.

Bloom: Evaluate

En San Carlos, Ana está investigando un problema matemático aplicado al contexto costarricense.

Halle el conjunto solución en los números reales para la ecuación exponencial

(2^x)^2 - 2(2^x) - 8 = 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $S = \{2\}$

A) $S = \{4,\ -2\}$ El $-2$ es una raíz del polinomio auxiliar, pero no puede ser $2^x$ porque una potencia de base 2 siempre es positiva.
B) $S = \{2\}$ Correcto. Con $u = 2^x > 0$ se resuelve $u^2 - 2u - 8 = 0 = (u - 4)(u + 2)$ ; la raíz $u = -2$ se descarta por ser negativa y de $u = 4 = 2^2$ sale $x = 2$ .
C) $S = \{2,\ 4\}$ Se ha tomado el 4 como valor de $x$ cuando en realidad es el valor del sustituto $u = 2^x$ .
D) $S = \varnothing$ La raíz $u = 4$ es positiva y se convierte en un exponente real válido, así que hay solución.

💡 Explicación

El cambio

u = 2^x

lleva la ecuación a

u^2 - 2u - 8 = 0

, con raíces

u = 4

y

u = -2

. Como

2^x

es siempre positivo,

u = -2

queda fuera y solo se conserva

u = 4

. De

2^x = 4 = 2^2

se obtiene

x = 2

, de modo que

S = \{2\}

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?