Numeros Reales — Matematicas Grado 11, República Dominicana

Bloom: Remember

Un estudiante en Santo Domingo repasa las propiedades básicas de los números reales para su examen de Pruebas Nacionales.

¿Cuál es la propiedad que establece que el orden de los sumandos no altera la suma (

a + b = b + a

)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) Propiedad Conmutativa

A) Propiedad DistributivaIncorrecto. Esta relaciona la suma con el producto.
B) Propiedad AsociativaIncorrecto. Se refiere a cómo se agrupan tres o más términos.
C) Propiedad ConmutativaCorrecto. La propiedad conmutativa indica que el orden de los elementos no altera el resultado.
D) Propiedad del NeutroIncorrecto. Se refiere a la suma con el cero.

💡 Explicación

La propiedad conmutativa es fundamental en los números reales y aplica tanto para la suma como para la multiplicación.

Bloom: Remember

En una ferretería de Santiago, se manejan inventarios donde el número 1 juega un papel especial en las multiplicaciones de precios.

¿Cómo se denomina al número 1 en la operación de multiplicación en los números reales?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) Elemento Neutro

A) Inverso MultiplicativoIncorrecto. Ese es el recíproco de un número.
B) Elemento NeutroCorrecto. El 1 es el neutro de la multiplicación porque no altera el valor del otro factor.
C) Elemento SimétricoIncorrecto. Es otro término para inverso.
D) Identidad AditivaIncorrecto. La identidad aditiva es el cero.

💡 Explicación

El elemento neutro multiplicativo garantiza que para cualquier real

a

,

a \cdot 1 = a

.

Bloom: Understand

Un estudiante analiza por qué al multiplicar $5 \cdot (1/5)$ el resultado es exactamente 1.

¿Qué propiedad de los números reales se está aplicando al multiplicar un número por su recíproco para obtener 1?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) Inverso Multiplicativo

A) Elemento NeutroIncorrecto. El neutro es el resultado, no la propiedad del número operado.
B) Propiedad ConmutativaIncorrecto. No se refiere al orden.
C) Propiedad ClausurativaIncorrecto. Indica que el resultado permanece en los reales.
D) Inverso MultiplicativoCorrecto. Todo número real distinto de cero tiene un recíproco que al multiplicarse por él da la unidad.

💡 Explicación

La existencia del inverso multiplicativo (recíproco) es una propiedad de campo de los números reales para todo

a \neq 0

.

Bloom: Understand

Simplificando la expresión $2(x + 3)$ en un cuaderno de matemáticas.

Al transformar

2(x + 3)

en

2x + 6

, ¿qué propiedad se ha utilizado?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) Propiedad Distributiva

A) Propiedad AsociativaIncorrecto. No hubo cambios en el agrupamiento de operaciones iguales.
B) Propiedad DistributivaCorrecto. La multiplicación se distribuyó sobre cada término de la suma.
C) Propiedad ConmutativaIncorrecto. Los términos mantienen su orden relativo.
D) Propiedad de IdentidadIncorrecto. No se operó con el elemento neutro.

💡 Explicación

La propiedad distributiva vincula la multiplicación con la suma:

a(b+c) = ab + ac

.

Bloom: Apply

En un laboratorio en San Cristóbal, se miden temperaturas extremas de $-15.5$ °C y $22.3$ °C.

¿Cuál es la distancia total en grados entre ambas mediciones en la recta numérica?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 37.8

A) 37.8Correcto. $|22.3 - (-15.5)| = 22.3 + 15.5 = 37.8$ .
B) 6.8Incorrecto. Has restado los valores absolutos en lugar de sumarlos.
C) -37.8Incorrecto. La distancia siempre es una magnitud positiva.
D) 7.2Incorrecto. Error en la suma decimal.

💡 Explicación

La distancia entre dos puntos

a

y

b

en la recta real se calcula con el valor absoluto de su diferencia:

|a - b|

.

Bloom: Apply

Un agrimensor en La Romana calcula el área de un terreno circular usando la aproximación racional de $\pi \approx 3.14$ .

Si el radio es de 10 metros, ¿cuál es el área aproximada (

A = \pi r^2

)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 314 m2

A) 31.4 m2Incorrecto. Olvidaste elevar el radio al cuadrado.
B) 628 m2Incorrecto. Has multiplicado por 2 en lugar de elevar al cuadrado.
C) 314 m2Correcto. $3.14 \cdot 10^2 = 3.14 \cdot 100 = 314$ .
D) 3,140 m2Incorrecto. Error en el desplazamiento del punto decimal.

💡 Explicación

Se aplica la jerarquía de operaciones: primero la potencia (

10^2 = 100

) y luego la multiplicación por la constante real.

Bloom: Understand

Se discute la densidad de los números reales en un aula de Puerto Plata.

¿Cuál de los siguientes números se encuentra entre

1/2

y

3/4

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 0.60

A) 0.45Incorrecto. Es menor que 0.5 (1/2).
B) 0.80Incorrecto. Es mayor que 0.75 (3/4).
C) 0.60Correcto. 0.60 está entre 0.50 y 0.75.
D) 0.25Incorrecto. Es mucho menor que el rango solicitado.

💡 Explicación

Convertimos las fracciones a decimales:

1/2 = 0.5

y

3/4 = 0.75

. El número

0.6

cae dentro de ese intervalo.

Bloom: Apply

Un comerciante en el mercado de San Francisco de Macorís aplica dos descuentos sucesivos del 10%.

¿A qué descuento único real equivale aplicar dos veces el 10%?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 19%

A) 20%Incorrecto. Los porcentajes sucesivos no se suman linealmente.
B) 19%Correcto. Al aplicar el segundo 10% sobre el 90% restante, se descuenta un 9% adicional (10 + 9 = 19).
C) 21%Incorrecto. Esto ocurriría con aumentos, no con descuentos.
D) 10%Incorrecto. Ignora el segundo paso de la operación.

💡 Explicación

Usamos factores multiplicativos:

0.9 \cdot 0.9 = 0.81

. El descuento es

1 - 0.81 = 0.19

, o sea 19%.

Bloom: Understand

Análisis de la recta numérica en un liceo de Baní.

¿Qué propiedad de los números reales garantiza que no hay "espacios vacíos" en la recta numérica?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Propiedad de Completitud

A) Propiedad de CompletitudCorrecto. Los reales completan la recta al incluir todos los puntos posibles (racionales e irracionales).
B) Propiedad ConmutativaIncorrecto. Se refiere al orden de operaciones.
C) Propiedad de DensidadIncorrecto. La densidad dice que hay infinitos entre dos, pero los racionales son densos y tienen "huecos".
D) Propiedad ClausurativaIncorrecto. Se refiere a la permanencia en el conjunto.

💡 Explicación

La completitud es lo que diferencia a los reales de los racionales.

Bloom: Apply

Un arquitecto en Higüey necesita calcular la diagonal de una habitación de 3m por 4m.

¿Cuál es la longitud de la diagonal (

d = \sqrt{a^2 + b^2}

)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 5 m

A) 5 mCorrecto. $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
B) 7 mIncorrecto. Has sumado los lados sin elevar al cuadrado.
C) 25 mIncorrecto. Olvidaste extraer la raíz cuadrada final.
D) 4.5 mIncorrecto. Error de cálculo en las potencias.

💡 Explicación

Se aplica el teorema de Pitágoras sobre números reales enteros.

Bloom: Analyze

Un estudiante evalúa la validez de operaciones con valor absoluto.

¿Para qué valores de

x

se cumple que

|x| = -x

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) Para los números reales negativos y el cero.

A) Para todos los reales.Incorrecto. Para positivos, |x| = x.
B) Para ningún real.Incorrecto. Para negativos sí se cumple.
C) Solo para x = 0.Incorrecto. También se cumple para -1, -2, etc.
D) Para los números reales negativos y el cero.Correcto. Si x es negativo, -x es positivo, igualando al valor absoluto.

💡 Explicación

Por definición,

|x| = -x

si

x \leq 0

.

Bloom: Apply

Simplificación de la expresión $(2 + \sqrt{2}) - (1 - \sqrt{2})$ .

¿Cuál es el resultado simplificado?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $1 + 2\sqrt{2}$

A) $1 + 2\sqrt{2}$ Correcto. $2 - 1 = 1$ y $\sqrt{2} - (-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$ .
B) 1Incorrecto. Los radicales no se cancelan, se suman.
C) $3 + 2\sqrt{2}$ Incorrecto. Error en la resta de los enteros.
D) $1 - 2\sqrt{2}$ Incorrecto. Error de signo en la operación con radicales.

💡 Explicación

Agrupamos términos semejantes: enteros con enteros y radicales con radicales.

Bloom: Apply

Un estudiante en Moca simplifica potencias de base negativa: $(-2)^3 + (-2)^2$ .

¿Cuál es el valor final de la expresión?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) -4

A) 12Incorrecto. Has ignorado los signos negativos de las bases.
B) -4Correcto. $(-8) + (4) = -4$ .
C) -12Incorrecto. Error de signo en la potencia par.
D) 4Incorrecto. Error de signo en la potencia impar.

💡 Explicación

Potencia impar de base negativa es negativa; potencia par de base negativa es positiva.

Bloom: Analyze

Se analiza el orden de los números reales en San Juan de la Maguana.

¿Cuál de las siguientes desigualdades es verdadera?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $-1/2 > -3/4$

A) $-5 > -2$ Incorrecto. En negativos, el de mayor valor absoluto es menor.
B) $-1/2 > -3/4$ Correcto. -0.5 es mayor que -0.75 por estar más a la derecha.
C) $0.3 < 0.29$ Incorrecto. 0.30 es mayor que 0.29.
D) $\pi < 3.14$ Incorrecto. Pi es aproximadamente 3.14159...

💡 Explicación

En la recta numérica, un número es mayor que otro si se encuentra a su derecha.

Bloom: Apply

Un estudiante resuelve la operación: $10 - [2 \cdot (-3) + 4]$ .

¿Cuál es el resultado siguiendo la jerarquía?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 12

A) 8Incorrecto. Error en los signos dentro del corchete.
B) 12Correcto. $10 - [-6 + 4] = 10 - [-2] = 10 + 2 = 12$ .
C) 0Incorrecto. Error total en el procedimiento.
D) 16Incorrecto. Sumaste mal los términos finales.

💡 Explicación

Se resuelve primero lo interno al corchete (multiplicación antes que suma) y luego la resta exterior.

Bloom: Analyze

Análisis de conjuntos infinitos.

¿Qué conjunto es una extensión de los reales para incluir raíces de negativos?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Complejos

A) ComplejosCorrecto. Incluyen la unidad imaginaria.
B) EnterosLos enteros son un subconjunto de los racionales y por tanto de los reales: no añaden raíces de números negativos.
C) RacionalesLos racionales también están contenidos en los reales; ningún número racional aporta la raíz cuadrada de un negativo.
D) NaturalesIncorrecto. Subconjunto muy pequeño.

💡 Explicación

Los complejos permiten resolver

x^2 + 1 = 0

, imposible en los reales.

Bloom: Evaluate

Análisis avanzado en la UASD sobre la propiedad de Arquímedes.

¿Qué afirma la propiedad arquimediana de los reales?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Que dado cualquier real, existe un natural mayor.

A) Que dado cualquier real, existe un natural mayor.Correcto. El conjunto de los naturales no está acotado en los reales.
B) Que todo real tiene raíz cuadrada.Incorrecto. Solo los no negativos.
C) Que los reales son finitos.Incorrecto. Son infinitos.
D) Que no existen los irracionales.Incorrecto. Afirmación falsa.

💡 Explicación

Garantiza que no hay números reales "infinitamente grandes" comparados con los naturales.

Bloom: Evaluate

Reflexión sobre la multiplicación por cero.

Si

a \cdot b = 0

, ¿qué propiedad de los reales nos permite concluir algo sobre

a

o

b

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Propiedad del Producto Cero

A) Propiedad del Producto CeroCorrecto. Indica que al menos uno de los factores debe ser cero.
B) Propiedad ConmutativaIncorrecto. Se refiere al orden.
C) Propiedad AsociativaIncorrecto. Se refiere a grupos.
D) Propiedad ClausurativaIncorrecto. Se refiere al conjunto resultado.

💡 Explicación

Es fundamental para resolver ecuaciones factorizadas.

Bloom: Evaluate

Un problema de límites: ¿A qué valor se acerca $1/n$ cuando $n$ crece mucho?

¿Hacia qué número real converge la sucesión

1, 0.1, 0.01, 0.001,

...?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 0

A) 1Incorrecto. Los valores están disminuyendo.
B) InfinitoIncorrecto. Se están acercando a un valor central.
C) 0Correcto. Los términos se hacen infinitamente pequeños.
D) -1Incorrecto. Todos los términos son positivos.

💡 Explicación

Concepto de límite fundamental en el análisis de los números reales.

Bloom: Evaluate

¿Es $\sqrt{2}$ un número real?

¿Por qué

\sqrt{2}

se considera un número real si no es una fracción exacta?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) Porque pertenece al conjunto de los irracionales, y los reales incluyen a estos.

A) No es real, es imaginario.Incorrecto. Su cuadrado es positivo (2).
B) Porque se puede redondear a 1.41.Incorrecto. El redondeo no define la pertenencia al conjunto.
C) Porque es un número entero.Incorrecto. Tiene decimales infinitos.
D) Porque pertenece al conjunto de los irracionales, y los reales incluyen a estos.Correcto. Los reales son la unión de racionales e irracionales.

💡 Explicación

La estructura de los reales engloba a todos los números de la recta continua.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?