Razones Proporciones — Matematicas Grado 11, República Dominicana

Bloom: Remember

Un estudiante de secundaria en San Pedro de Macorís revisa conceptos de aritmética básica.

¿Cómo se define una "razón" entre dos cantidades

a

y

b

?

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Respuesta correcta: A) Es el cociente o división ( $a / b$ ).

A) Es el cociente o división ( $a / b$ ).Correcto. Una razón geométrica compara dos magnitudes mediante su división.
B) Es la diferencia ( $a - b$ ).Incorrecto. Esa es una comparación por resta (razón aritmética).
C) Es el producto ( $a \cdot b$ ).Incorrecto. El producto no define una comparación proporcional.
D) Es la suma ( $a + b$ ).Incorrecto. No es una relación de comparación proporcional.

💡 Explicación

Una razón es el resultado de comparar dos cantidades. La más usada es la geométrica (

a/b

).

Bloom: Remember

En una panadería en Santo Domingo, se comparan las cantidades de harina y azúcar.

En una proporción

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, ¿cómo se llaman los términos

a

y

d

?

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Respuesta correcta: D) Extremos

A) MediosIncorrecto. Esos son los términos b y c.
B) ConsecuentesIncorrecto. Son los denominadores de cada razón.
C) AntecedentesIncorrecto. Son los numeradores de cada razón.
D) ExtremosCorrecto. En la lectura de la proporción, son el primero y el último términos mencionados.

💡 Explicación

En la igualdad de dos razones, los términos exteriores se llaman extremos.

Bloom: Understand

Preparando jugo de chinola en Samaná: se usan 2 tazas de concentrado por cada 5 de agua.

¿Cuál es la razón del concentrado respecto al agua?

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Respuesta correcta: D) 2:5

A) 5:2Incorrecto. Ese es el orden inverso (agua a concentrado).
B) 2:7Incorrecto. Esa es la razón respecto al total de la mezcla.
C) 5:7Incorrecto. Razón de agua respecto al total.
D) 2:5Correcto. Mantiene el orden de las cantidades mencionadas.

💡 Explicación

La razón debe respetar estrictamente el orden de los elementos planteados.

Bloom: Understand

Un arquitecto en Santiago explica la Propiedad Fundamental de las Proporciones.

¿Qué establece la Propiedad Fundamental en la igualdad

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

?

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Respuesta correcta: D) $a \cdot d = b \cdot c$

A) $a + c = b + d$ Incorrecto. No es una propiedad general de proporcionalidad.
B) $a = c$ Incorrecto. No es necesario que los numeradores coincidan.
C) $a - b = c - d$ Incorrecto. Aplica a proporciones aritméticas, no geométricas.
D) $a \cdot d = b \cdot c$ Correcto. El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

💡 Explicación

Es la base para resolver incógnitas mediante el producto cruzado.

Bloom: Understand

Un mapa de República Dominicana tiene una escala de 1:500,000.

¿Qué representa matemáticamente esta escala?

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Respuesta correcta: A) 1 unidad en el mapa equivale a 500,000 en la realidad.

A) 1 unidad en el mapa equivale a 500,000 en la realidad.Correcto. Es la definición de escala como razón de semejanza.
B) El mapa es mayor que la realidad.Incorrecto. Una escala de reducción hace el dibujo más pequeño.
C) La distancia total es 500,000 metros.Incorrecto. No define una distancia fija, sino una relación.
D) Hay 500,000 km por cada centímetro.Incorrecto. Las unidades deben ser consistentes (1 cm : 500,000 cm).

💡 Explicación

La escala es una aplicación directa del concepto de razón entre modelo y objeto real.

Bloom: Apply

En La Romana, 3 libras de arroz cuestan RD\$ 105.

¿Cuánto se debe pagar por 5 libras de arroz?

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Respuesta correcta: D) RD\$ 175

A) RD\$ 150Si 3 libras cuestan RD$ 105, la tasa por libra es 105 / 3 = RD$ 35 y 5 libras cuestan 35 × 5 = RD$ 175, no RD$ 150.
B) RD\$ 210Incorrecto. Ese es el costo de 6 libras.
C) RD\$ 135Incorrecto. Error en la aplicación de la proporción directa.
D) RD\$ 175Correcto. 105/3 = 35 por libra; 35 * 5 = 175.

💡 Explicación

Problema de proporcionalidad directa: a mayor peso, mayor costo.

Bloom: Apply

Un vehículo consume 8 litros para recorrer 100 km en la Autovía del Este.

¿Cuántos litros consumirá en un viaje de 250 km?

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Respuesta correcta: B) 20 L

A) 16 LIncorrecto. Esto sería para 200 km.
B) 20 LCorrecto. 8/100 = x/250 -> 100x = 2000 -> x = 20.
C) 24 LIncorrecto. Excede el consumo proporcional.
D) 12 LIncorrecto. Consumo insuficiente para la distancia.

💡 Explicación

Establecemos la proporción

\frac{8}{100} = \frac{x}{250}

y resolvemos para

x

.

Bloom: Apply

Reparto proporcional de RD\$ 1,200 entre dos personas en razón 3:5.

¿Cuánto recibe la persona a la que le toca la parte menor?

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Respuesta correcta: D) RD\$ 450

A) RD\$ 600Incorrecto. Eso sería un reparto igualitario (1:1).
B) RD\$ 750Incorrecto. Esa es la parte mayor (5 * 150).
C) RD\$ 400Incorrecto. Error en la división por el total de partes.
D) RD\$ 450Correcto. Suma de partes: 8. 1200/8 = 150. Parte menor: 3 * 150 = 450.

💡 Explicación

Dividimos el total por la suma de los términos de la razón para hallar la constante de reparto.

Bloom: Apply

4 obreros terminan una obra en 6 horas en Baní.

¿Cuánto tardarán 8 obreros trabajando al mismo ritmo?

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Respuesta correcta: D) 3 h

A) 12 hIncorrecto. A más obreros debe ser menos tiempo.
B) 4 hIncorrecto. No sigue la relación inversa correcta.
C) 1.5 hIncorrecto. Reducción excesiva.
D) 3 hCorrecto. Es proporción inversa: 4 * 6 = 24 obrero-horas. 24 / 8 = 3 h.

💡 Explicación

En la proporcionalidad inversa, el producto de las magnitudes permanece constante.

Bloom: Understand

Se analiza el rendimiento agrícola en San Juan de la Maguana.

Si dos magnitudes son "inversamente proporcionales", ¿qué ocurre si una disminuye a la tercera parte?

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Respuesta correcta: D) La otra aumenta al triple.

A) La otra disminuye a la tercera parte.Incorrecto. Sería proporción directa.
B) La otra se mantiene constante.Incorrecto. Hay una relación de cambio.
C) La otra aumenta nueve veces.Incorrecto. El cambio debe ser por el mismo factor (3).
D) La otra aumenta al triple.Correcto. Al ser inversa, se multiplica por el recíproco del factor de cambio.

💡 Explicación

Si

x \cdot y = k

, entonces si

x

se divide por 3,

y

debe multiplicarse por 3 para mantener

k

.

Bloom: Apply

Mezcla de resinas en Bonao en proporción 7:3.

¿Cuántos gramos de la segunda se requieren para 140 g de la primera?

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Respuesta correcta: B) 60 g

A) 30 gIncorrecto. Error de escala.
B) 60 gCorrecto. 7/3 = 140/x -> 7x = 420 -> x = 60.
C) 210 gIncorrecto. No cumple la razón dada.
D) 100 gIncorrecto. Error de cálculo proporcional.

💡 Explicación

Se establece la igualdad de razones y se despeja la incógnita.

Bloom: Analyze

Un economista analiza el cambio de moneda: 1 USD = 58 DOP.

¿Cuál proporción representa correctamente el costo en pesos (

x

) de un objeto de 75 dólares?

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Respuesta correcta: D) 1/58 = 75/x

A) 1/x = 58/75Incorrecto. Magnitudes mal emparejadas.
B) 1/75 = x/58Incorrecto. Inversión errónea en el segundo miembro.
C) 1 75 = 58 xIncorrecto. Planteamiento de relación inversa inexistente aquí.
D) 1/58 = 75/xCorrecto. USD/DOP = USD/DOP.

💡 Explicación

La proporción debe mantener el mismo tipo de magnitud en numeradores y denominadores.

Bloom: Analyze

Comparación de densidades en el Distrito Nacional.

Ciudad A: 50,000 hab en 10 km2. Ciudad B: 75,000 hab en 15 km2. ¿Cuál es más densa?

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Respuesta correcta: B) Tienen la misma densidad.

A) Ciudad B es más densa.Ciudad B da 75.000 / 15 = 5.000 hab/km², exactamente la misma densidad que la ciudad A, así que no es más densa.
B) Tienen la misma densidad.Correcto. Ambas dan 5,000 hab/km2.
C) Ciudad A es más densa.Incorrecto. Sus razones son iguales.
D) No se pueden comparar.Incorrecto. La razón es la herramienta ideal para comparar.

💡 Explicación

Se calcula la razón habitantes/área para verificar la equivalencia.

Bloom: Analyze

Análisis de proporciones compuestas abstractas.

Si

\frac{x}{y} = \frac{3}{4}

, ¿cuál es el valor de

\frac{2x}{3y}

?

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Respuesta correcta: A) 1/2

A) 1/2Correcto. (2/3) (x/y) = (2/3) (3/4) = 6/12 = 1/2.
B) 2/3Incorrecto. Ignoraste la razón x/y.
C) 9/8Incorrecto. Operación de fracciones errónea.
D) 3/4Incorrecto. Los coeficientes alteran el valor.

💡 Explicación

Se trata de una multiplicación de la fracción de coeficientes por la razón dada.

Bloom: Analyze

Llenado de tanques: Llave A tarda 4h, Llave B tarda 6h.

¿En qué razón están las velocidades de llenado de A respecto a B?

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Respuesta correcta: C) 3:2

A) 2:3Incorrecto. Esa es la razón de los tiempos.
B) 4:6Incorrecto. Error de aplicación directa de tiempos.
C) 3:2Correcto. Velocidad = 1/tiempo. (1/4) / (1/6) = 6/4 = 3/2.
D) 1:1Incorrecto. Tienen distintos rendimientos.

💡 Explicación

La velocidad es inversamente proporcional al tiempo empleado.

Bloom: Apply

Mezcla de concreto (1:2:4 para cemento, arena, grava) en Punta Cana.

Si se usan 28 sacos de grava, ¿cuántos de cemento se requieren?

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Respuesta correcta: D) 7 sacos

A) 14 sacosIncorrecto. Error en la razón parcial.
B) 4 sacosIncorrecto. Error de cálculo.
C) 28 sacosIncorrecto. No es mezcla equitativa.
D) 7 sacosCorrecto. Razón cemento:grava es 1:4. 28 / 4 = 7.

💡 Explicación

Identificamos la razón entre los dos componentes específicos de la pregunta.

Bloom: Evaluate

Propiedades algebraicas de razones iguales.

Si

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k

, ¿cuál expresión es igual a

k

?

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Respuesta correcta: B) (a+c)/(b+d)

A) (a+b)/(c+d)Incorrecto. No es propiedad válida.
B) (a+c)/(b+d)Correcto. Propiedad de suma de antecedentes y consecuentes.
C) ac/bdIncorrecto. Sería k al cuadrado.
D) (a-d)/(b-c)Incorrecto. Sin fundamento matemático.

💡 Explicación

Es una propiedad fundamental de la serie de razones iguales.

Bloom: Evaluate

Intereses bancarios proporcionales al capital y al tiempo.

Capital A produce 200 en 4 meses. Capital B produce 300 en 5 meses. ¿Razón A:B?

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Respuesta correcta: D) 5:6

A) 2:3Incorrecto. Ignoró el tiempo.
B) 4:5Incorrecto. Ignoró el interés.
C) 6:5Incorrecto. Razón invertida.
D) 5:6Correcto. (200/4)/(300/5) = 50/60 = 5/6.

💡 Explicación

El capital es proporcional al cociente Interés/Tiempo para una tasa fija.

Bloom: Evaluate

La Razón Áurea ( $\phi$ ) definida por $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$ .

¿A qué ecuación cuadrática llega la razón

x = a/b

?

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Respuesta correcta: B) x2 - x - 1 = 0

A) x2 + x + 1 = 0Incorrecto. Signos incorrectos.
B) x2 - x - 1 = 0Correcto. Resulta de simplificar 1 + 1/x = x.
C) x2 + x - 1 = 0Incorrecto. Error de despeje.
D) x2 - 1 = 0Incorrecto. Falta el término lineal.

💡 Explicación

Proceso de modelación algebraica a partir de una definición de proporción.

Bloom: Evaluate

Mezclas en industria de Haina. R1 (2:3), R2 (3:1). Volúmenes iguales.

¿Cuál es la razón final agua:alcohol?

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Respuesta correcta: A) 23:17

A) 23:17Correcto. Suma de fracciones: (2/5+3/4) / (3/5+1/4).
B) 5:4Incorrecto. No se suman términos directamente.
C) 1:1Incorrecto. Desequilibrio evidente.
D) 13:7Incorrecto. Fracciones calculadas erróneamente.

💡 Explicación

Cálculo de concentraciones promedio mediante suma de fracciones.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?