Sistemas Ecuaciones

Respuesta correcta: C) Conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• A) Ecuación con incógnitas cuadráticas.Incorrecto. Eso es cuadrática.
• B) Producto de matrices 2x2.Incorrecto. Es una herramienta, no la definición.
• C) Conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.Correcto. Buscan valores que satisfagan ambas simultáneamente.
• D) Igualdad con cuatro variables.Incorrecto. 2x2 indica dos de cada una.

Respuesta correcta: D) Factorización

• A) SustituciónLa sustitución es uno de los tres métodos clásicos para un sistema 2x2: se despeja una incógnita y se reemplaza en la otra ecuación.
• B) IgualaciónLa igualación también es un método estándar: se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones.
• C) ReducciónLa reducción (o eliminación) es precisamente el método que cancela una variable restando o sumando las ecuaciones.
• D) FactorizaciónLa factorización es una técnica para simplificar sumas y productos, no un procedimiento para eliminar incógnitas de un sistema.

Respuesta correcta: B) Solución única.

• A) Sin solución.Incorrecto. Sería si fueran paralelas.
• B) Solución única.Correcto. El cruce es el par (x,y) buscado.
• C) Infinitas soluciones.Incorrecto. Sería si fueran iguales.
• D) Siempre es (0,0).Incorrecto. Puede ser cualquier punto.

Respuesta correcta: A) Ninguna.

• A) Ninguna.Correcto. Al no haber contacto, no hay solución común.
• B) Una.Incorrecto. No se cruzan.
• C) Dos.Incorrecto. Rectas no se cruzan dos veces.
• D) Infinitas.Incorrecto. Solo si fueran coincidentes.

Respuesta correcta: C) (5, 10)

• A) (10, 5)Con $(10, 5)$ la relación $y = 2x$ daría $5 = 20$, que es falsa.
• B) (7.5, 7.5)Con $(7.5, 7.5)$ la relación $y = 2x$ daría $7.5 = 15$, que es falsa.
• C) (5, 10)Con $(5, 10)$ se cumple $x + y = 5 + 10 = 15$ y $y = 2x = 2 \cdot 5 = 10$ a la vez.
• D) (3, 6)Con $(3, 6)$ la suma es $3 + 6 = 9$, y el sistema pide que sume $15$.

Respuesta correcta: A) 5

• A) 5Correcto. $2x = 10 \implies x = 5$.
• B) 10Incorrecto. No dividió por 2.
• C) 3Incorrecto. Valor insuficiente.
• D) 6Incorrecto. Error de cálculo.

Respuesta correcta: C) RD\$ 100

• A) RD\$ 50Si el melón costara RD\undefined 100, pero la diferencia entre las dos ecuaciones es de RD\$ 200.
• B) RD\$ 75Con RD\$ 75 por melón, los $2$ melones añadirían $150$ y no $200$, así que la diferencia no cuadra.
• C) RD\$ 100Restando las dos ecuaciones, $5 - 3 = 2$ melones y $550 - 350 = 200$, de donde cada melón vale $200 / 2 = 100$.
• D) RD\$ 150Con RD\$ 150 por melón, los $2$ melones añadirían $300$, y el sistema exige $200$.

Respuesta correcta: B) (2, 3)

• A) (1, 4.5)Incorrecto. No satisface la segunda.
• B) (2, 3)Correcto. $8x = 16 \implies x=2$; luego $y=3$.
• C) (2, 2)Incorrecto. Suma 10, no 12.
• D) (3, 1.5)Incorrecto. Falló ambas.

Respuesta correcta: C) $g+v=20; 2g+4v=50$

• A) $g+v=20; g+v=50$Incorrecto. Ignora patas.
• B) $g+v=50; 2g+4v=20$Incorrecto. Intercambió totales.
• C) $g+v=20; 2g+4v=50$Correcto. Conteo de cabezas y conteo de patas.
• D) $2g+4v=70$Incorrecto. Falta condición de individuos.

Respuesta correcta: C) 5

• A) 15Incorrecto. Son las gallinas.
• B) 10Incorrecto. Serían 60 patas.
• C) 5Correcto. $2(20-v)+4v=50 \implies 2v=10 \implies v=5$.
• D) 20Incorrecto. Excedió patas.

Respuesta correcta: C) Infinitas soluciones.

• A) Sin solución.Incorrecto. Sí tienen puntos comunes.
• B) Única (0,5).Incorrecto. (1,4) también sirve.
• C) Infinitas soluciones.Correcto. Son la misma recta (sistema dependiente).
• D) x debe ser 2.Incorrecto. x es libre.

Respuesta correcta: A) $ad - bc$

• A) $ad - bc$Correcto. Producto diagonal principal menos secundaria.
• B) $ae - bf$Incorrecto. Usa términos independientes.
• C) $ac + bd$Incorrecto. Debe ser resta.
• D) $af - ce$Incorrecto. No es el determinante principal.

Respuesta correcta: B) 6

• A) 4Incorrecto. Mezcla barata.
• B) 6Correcto. $200(10-B)+300B = 2600 \implies B=6$.
• C) 5Incorrecto. Promedio exacto (250).
• D) 8Incorrecto. Mezcla cara.

Respuesta correcta: A) (6, 3)

• A) (6, 3)En $(6, 3)$ la primera ecuación da $3 + 1 = 4$ y la segunda $6 + 3 = 9$, así que el par satisface ambas.
• B) (4, 5)En $(4, 5)$ la primera ecuación da $\frac{4}{2} + \frac{5}{3} = 2 + \frac{5}{3} \neq 4$.
• C) (2, 7)En $(2, 7)$ la segunda ecuación da $2 + 7 = 9$, pero la primera da $1 + \frac{7}{3} \neq 4$.
• D) (3, 6)En $(3, 6)$ la segunda ecuación da $3 + 6 = 9$, pero la primera da $\frac{3}{2} + 2 = 3.5 \neq 4$.

Respuesta correcta: B) 2

• A) 1Con $m = 1$ los coeficientes no son proporcionales y el sistema tiene una solución única.
• B) 2Con $m = 2$ los coeficientes de las incógnitas son proporcionales pero los términos independientes no, así las rectas son paralelas y no se cortan: el sistema es inconsistente.
• C) 4Con $m = 4$ las pendientes difieren, de modo que las rectas se cortan y hay solución.
• D) 0Con $m = 0$ la pendiente es distinta de la del otro coeficiente, luego el sistema es compatible.

Respuesta correcta: C) RD\$ 6,000

• A) RD\$ 4,000Si los RD\$ 4,000 estuvieran al $6\%$, el interés anual sería $240$ y el total no llegaría a $520$.
• B) RD\$ 5,000Con RD\5,000 y RD\ 5,000 el interés anual sería $\frac{4+6}{2} = 5\%$ sobre $10000$, es decir $500$, no $520$.
• C) RD\$ 6,000Con $x$ al $4\%$ y $10000 - x$ al $6\%$: $0.04(4000) + 0.06(6000) = 160 + 360 = 520$, que es el total dado.
• D) RD\$ 2,000Si sólo se pusieran RD\$2,000$ al $6\%$ con $8000$ al $4\%$, el interés sería $320 + 120 = 440$, menor que $520$.

Respuesta correcta: C) Intersección de tres planos.

• A) Cruce de tres líneas.Incorrecto. Son planos.
• B) Área entre curvas.Incorrecto. Es lineal.
• C) Intersección de tres planos.Correcto. Punto común en el espacio.
• D) Volumen piramidal.Incorrecto. La solución es un punto.

Respuesta correcta: A) 57

• A) 57Correcto. $75 - 57 = 18$ y $5+7=12$.
• B) 75Incorrecto. Invertido es menor.
• C) 48Incorrecto. Diferencia 36.
• D) 39Incorrecto. Diferencia 54.

Respuesta correcta: D) 0, 1 o 2.

• A) Siempre una.Incorrecto. Recta corta círculo hasta dos veces.
• B) Infinitas.Incorrecto. Curvaturas distintas.
• C) Ninguna real.Incorrecto. Sí existen reales.
• D) 0, 1 o 2.Correcto. Depende de la posición relativa de la recta.

Respuesta correcta: A) 10

• A) 10Al sumar $x+y=5$, $y+z=7$ y $x+z=8$ se obtiene $2(x+y+z) = 20$, y por tanto $x+y+z = 10$.
• B) 20El 20 es la suma de los lados derechos $5 + 7 + 8$, pero al sumar las tres ecuaciones cada incógnita aparece dos veces, así que esa suma es $2(x+y+z)$.
• C) 15El 15 excede la suma pedida: como cada incógnita se cuenta dos veces, el total nunca puede superar $\frac{20}{2} = 10$.
• D) 7.5El 7.5 se obtiene al dividir los lados derechos entre cuatro, pero cada variable aparece exactamente dos veces, luego el divisor es $2$.