Derivada Definicion Y Reglas

Respuesta correcta: A) La pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

• A) La pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.Correcto. La derivada representa la tasa de cambio instantánea, que gráficamente es la pendiente de la tangente.
• B) El área bajo la curva en ese punto.Incorrecto. El área bajo la curva se asocia con la integral.
• C) La intersección de la función con el eje de las ordenadas.Incorrecto. Eso es el valor de $f(0)$.
• D) La curvatura o concavidad de la función.Incorrecto. La concavidad se relaciona con la segunda derivada.

Respuesta correcta: B) $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

• A) $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) + f(x)}{h}$Incorrecto. El numerador debe ser una resta para representar el cambio.
• B) $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$Correcto. Esta es la definición de la derivada como el límite del cociente incremental.
• C) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$Incorrecto. El límite debería ser cuando $x \to a$.
• D) $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$Incorrecto. Sin el límite, es solo la pendiente de una recta secante.

Respuesta correcta: A) $5x^4$

• A) $5x^4$Correcto. Según la regla de la potencia $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$.
• B) $5x^6$Incorrecto. Sumó 1 al exponente en lugar de restarlo.
• C) $x^4$Incorrecto. Olvidó multiplicar por el exponente original.
• D) $4x^5$Incorrecto. Intercambió los valores de la base y el exponente en la regla.

Respuesta correcta: C) 0

• A) $2\pi$Incorrecto. Aplicó la regla de la potencia a una constante como si fuera una variable.
• B) $\pi$Incorrecto. La derivada no mantiene el valor de la base constante.
• C) 0Correcto. La derivada de cualquier constante es cero, ya que no hay cambio en su valor.
• D) 1Incorrecto. Error conceptual sobre la tasa de cambio de las constantes.

Respuesta correcta: A) $h'(x) = -4x + 8$

• A) $h'(x) = -4x + 8$Correcto. Derivando término a término: $-2(2x^{2-1}) + 8(1x^{1-1}) = -4x + 8$.
• B) $h'(x) = -4x^2 + 8$Incorrecto. Olvidó restar 1 al exponente en el primer término.
• C) $h'(x) = -2x + 8$Incorrecto. No multiplicó el coeficiente por el exponente original.
• D) $h'(x) = -4x$Incorrecto. Omitió la derivada del término lineal $8x$.

Respuesta correcta: C) $-\frac{6}{x^3}$

• A) $\frac{3}{2x}$Incorrecto. No se deriva el denominador directamente.
• B) $-\frac{3}{x^3}$Incorrecto. Olvidó multiplicar por el exponente -2.
• C) $-\frac{6}{x^3}$Correcto. Reescrito como $3x^{-2}$, la derivada es $3(-2)x^{-3} = -6x^{-3} = -6/x^3$.
• D) $\frac{6}{x}$Incorrecto. Error de signo y de exponente.

Respuesta correcta: C) $3x^2 - 6x + 1$

• A) $2x$Incorrecto. Solo derivó el primer factor.
• B) $2x^2 - 6x$Incorrecto. Error en la expansión o aplicación de la regla.
• C) $3x^2 - 6x + 1$Correcto. Expandiendo: $x^3 - 3x^2 + x - 3$. Derivando: $3x^2 - 6x + 1$. También se obtiene por regla del producto: $(2x)(x-3) + (x^2+1)(1)$.
• D) $3x^2 - 6x$Incorrecto. Olvidó la derivada del término lineal $x$.

Respuesta correcta: D) $\frac{1}{(x + 1)^2}$

• A) 1Incorrecto. No se simplifican las derivadas del numerador y denominador.
• B) $\frac{2x + 1}{(x + 1)^2}$Incorrecto. Error de signo en la fórmula del numerador.
• C) $\frac{1}{x^2 + 1}$Incorrecto. El denominador debe ser el cuadrado del original.
• D) $\frac{1}{(x + 1)^2}$Correcto. Aplicando la regla del cociente: $\frac{(1)(x+1) - (x)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$.

Respuesta correcta: C) $t = 1$ s y $t = 3$ s

• A) $t = 2$ sIncorrecto. Valor donde la aceleración es cero, no la velocidad.
• B) $t = 3$ s solamenteIncorrecto. Omitió una de las raíces de la ecuación cuadrática.
• C) $t = 1$ s y $t = 3$ sCorrecto. Velocidad $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$. Igualando a cero: $3(t^2 - 4t + 3) = 0 \Rightarrow 3(t-1)(t-3) = 0$.
• D) $t = 0$ sIncorrecto. En $t=0$ la velocidad es 9 m/s.

Respuesta correcta: B) $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

• A) $\frac{1}{\sqrt{x}}$Incorrecto. Olvidó el factor 1/2.
• B) $\frac{1}{2\sqrt{x}}$Correcto. $x^{1/2}$ derivado es $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• C) $2\sqrt{x}$Incorrecto. Multiplicó en lugar de dividir.
• D) $\frac{1}{2x}$Incorrecto. Error al manejar la potencia fraccionaria.

Respuesta correcta: A) $y = 5x - 1$

• A) $y = 5x - 1$Correcto. $f(1) = 4$. Pendiente $f'(x) = 2x + 3 \Rightarrow f'(1) = 5$. Recta: $y - 4 = 5(x - 1) \Rightarrow y = 5x - 1$.
• B) $y = 5x + 4$Incorrecto. Punto de intersección con el eje y calculado erróneamente.
• C) $y = 3x + 1$Incorrecto. Usó mal la derivada evaluada.
• D) $y = 5x + 1$Incorrecto. Error de signo al despejar la ecuación.

Respuesta correcta: B) 14 m/s²

• A) 4 m/s²Incorrecto. Valor de la velocidad, no de la aceleración.
• B) 14 m/s²Correcto. $v(t) = 6t^2 - 10t$; $a(t) = 12t - 10$. En $t=2$: $12(2) - 10 = 14$.
• C) 12 m/s²Incorrecto. Error en la evaluación de la segunda derivada.
• D) 24 m/s²Incorrecto. Olvidó restar el término constante de la aceleración.

Respuesta correcta: A) $x = 4$

• A) $x = 4$Correcto. En $x=4$ hay un "pico" o esquina donde los límites laterales de la pendiente no coinciden.
• B) $x = 0$Incorrecto. La función es suave en 0.
• C) $x = -4$Incorrecto. La función es suave en -4.
• D) Es derivable en todos los reales.Incorrecto. Las funciones con valor absoluto suelen tener puntos de no derivabilidad en sus raíces.

Respuesta correcta: A) $-\frac{1}{3x^{4/3}}$

• A) $-\frac{1}{3x^{4/3}}$Correcto. $x^{-1/3}$ derivado es $(-1/3)x^{-4/3}$.
• B) $-\frac{1}{3x^{2/3}}$Incorrecto. Error en el exponente resultante.
• C) $\frac{1}{3}x^{2/3}$Incorrecto. Error de signo y de operación con el exponente.
• D) $-\frac{3}{x^4}$Incorrecto. Confundió la regla de la potencia con la de raíces.

Respuesta correcta: B) 30

• A) 6Incorrecto. Solo derivó el interior.
• B) 30Correcto. $f(x) = 9x^2 + 12x + 4$. Derivada $f'(x) = 18x + 12$. En $x=1$: $18+12 = 30$.
• C) 10Incorrecto. Error en la evaluación.
• D) 25Incorrecto. Valor de la función, no de la derivada.

Respuesta correcta: A) $f$ es continua en $x = c$.

• A) $f$ es continua en $x = c$.Correcto. La derivabilidad implica continuidad.
• B) $f'$ es continua en $x = c$.Incorrecto. Una función puede ser derivable pero su derivada puede no ser continua.
• C) $f$ tiene un valor máximo o mínimo en $x = c$.Incorrecto. La derivada puede ser distinta de cero.
• D) $f''(c)$ existe.Incorrecto. La existencia de la primera derivada no garantiza la de la segunda.

Respuesta correcta: C) 50

• A) 100Incorrecto. No consideró la regla del cociente.
• B) 0Incorrecto. La producción sigue aumentando en ese punto.
• C) 50Correcto. $P'(x) = \frac{200x(x^2+1) - 100x^2(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{200x^3+200x-200x^3}{(x^2+1)^2} = \frac{200x}{(x^2+1)^2}$. En $x=1$: $200/4 = 50$.
• D) 25Incorrecto. Error en la simplificación del numerador.

Respuesta correcta: A) 1.0 °C/unidad de tiempo

• A) 1.0 °C/unidad de tiempoCorrecto. $T' = 0.1(25 - 15) = 0.1(10) = 1.0$.
• B) 0.1 °C/unidad de tiempoIncorrecto. No multiplicó por la diferencia de temperatura.
• C) 2.5 °C/unidad de tiempoIncorrecto. Usó mal los valores de la fórmula.
• D) -1.0 °C/unidad de tiempoIncorrecto. La temperatura está aumentando hacia el equilibrio.

Respuesta correcta: D) $\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$

• A) $\frac{n!}{x^{n+1}}$Incorrecto. Olvidó la alternancia de signos.
• B) $(-1)^n \frac{1}{x^n}$Incorrecto. Omitió el factorial en el numerador.
• C) $\frac{1}{x^{n+1}}$Incorrecto. No consideró ni los coeficientes ni los signos.
• D) $\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$Correcto. $f' = -1/x^2$, $f'' = 2/x^3$, $f''' = -6/x^4$. El patrón es $(-1)^n n! x^{-(n+1)}$.

Respuesta correcta: C) 2

• A) 1Incorrecto. Ese es el valor de la velocidad instantánea.
• B) -1Incorrecto. Error de signo al aplicar la regla de la cadena.
• C) 2Correcto. La aceleración es $a(t) = s''(t)$. Derivando $s'(t) = [s(t)]^2$ se obtiene $s''(t) = 2s(t) \cdot s'(t)$. En $t=0$, $s'(0) = 1^2 = 1$, por lo tanto $s''(0) = 2(1)(1) = 2$.
• D) 0Incorrecto. La aceleración es no nula ya que la velocidad depende de la posición.