Razones Proporciones Porcentajes — Matematicas Grado 11, Guatemala

Bloom: Remember

En una tienda de abarrotes en Antigua Guatemala, el dueño compara la cantidad de arroz y frijol que vende en un día.

¿Cómo se define matemáticamente la relación entre dos cantidades que se comparan por medio de un cociente?

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Respuesta correcta: C) Razón

A) ProporciónUna proporción es la igualdad entre dos razones, no la relación individual.
B) PorcentajeEl porcentaje es una razón cuyo denominador es 100, pero no es la definición general.
C) RazónCorrecto. Una razón es el cociente entre dos cantidades comparables.
D) DiferenciaLa diferencia es el resultado de una resta, no de un cociente.

💡 Explicación

La razón es la comparación por cociente entre dos magnitudes. Se puede expresar como

a/b

o

a:b

.

Bloom: Understand

Una receta para preparar atol de elote en Quetzaltenango indica que se deben usar 3 tazas de agua por cada taza de leche.

¿Cuál es la razón de leche a agua según la receta mencionada?

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Respuesta correcta: B) $1:3$

A) $3:1$ Esta es la razón de agua a leche, pero se solicita leche a agua.
B) $1:3$ Correcto. Por cada 1 taza de leche hay 3 de agua.
C) $4:1$ El 4 representaría el total de tazas, no la relación entre los ingredientes.
D) $3:4$ Esta razón no corresponde a la relación directa entre leche y agua.

💡 Explicación

El orden en una razón es fundamental. Al pedir "leche a agua", la cantidad de leche debe ser el antecedente y la de agua el consecuente.

Bloom: Remember

Un estudiante revisa las propiedades de las proporciones para resolver problemas de escala en mapas de Guatemala.

En una proporción de la forma

a/b = c/d

, ¿cuál es la propiedad fundamental que permite verificar si es correcta?

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Respuesta correcta: C) El producto de los medios es igual al producto de los extremos ( $ad = bc$ ).

A) La suma de los antecedentes es igual a la de los consecuentes.Esta propiedad no es general para verificar proporciones básicas.
B) Los numeradores deben ser iguales a los denominadores.No es necesario; basta con que las fracciones sean equivalentes.
C) El producto de los medios es igual al producto de los extremos ( $ad = bc$ ).Correcto. Es la propiedad fundamental de las proporciones.
D) La resta de los términos debe ser constante.Esto aplicaría a una progresión aritmética, no a una proporción geométrica.

💡 Explicación

La propiedad fundamental de las proporciones establece que en toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Bloom: Understand

Un artesano textil en Sololá observa que el tiempo que tarda en tejer un huipil depende de su complejidad.

¿Qué tipo de relación existe entre el número de tejedores (trabajando al mismo ritmo) y el tiempo necesario para terminar un pedido grande?

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Respuesta correcta: A) Proporcionalidad inversa

A) Proporcionalidad inversaCorrecto. A mayor número de trabajadores, menor es el tiempo requerido para completar la tarea.
B) Proporcionalidad directaEn la directa, si aumenta una variable, aumenta la otra. Aquí, más tejedores implican menos tiempo.
C) Relación constanteUna relación constante implicaría que el tiempo no cambia sin importar los tejedores.
D) Proporcionalidad al cuadradoNo hay evidencia de que la relación sea cuadrática en este contexto laboral estándar.

💡 Explicación

En la proporcionalidad inversa, el producto de las dos magnitudes relacionadas es constante. Al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción.

Bloom: Apply

Una finca de café en Cobán utiliza una mezcla específica de fertilizante. Se mezclan 4 kg de nitrógeno por cada 10 kg de fósforo.

Si el agricultor necesita usar 25 kg de fósforo, ¿cuántos kg de nitrógeno debe agregar para mantener la proporción?

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Respuesta correcta: D) $10$ kg

A) $8$ kgIncorrecto. $8/25$ no es igual a $4/10$ .
B) $12$ kgIncorrecto. Error al resolver la regla de tres simple.
C) $6.25$ kgIncorrecto. Se dividió $25$ entre $4$ en lugar de seguir la proporción.
D) $10$ kgCorrecto. $4/10 = x/25 \Rightarrow 10x = 100 \Rightarrow x = 10$ .

💡 Explicación

Se aplica una regla de tres simple directa:

\frac{4}{10} = \frac{x}{25}

. Multiplicando cruzado, se obtiene el valor de la incógnita.

Bloom: Understand

Un centro comercial en Ciudad de Guatemala anuncia una liquidación de temporada.

Si un artículo tiene un

25\%

de descuento, ¿qué fracción del precio original representa el ahorro?

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Respuesta correcta: C) $1/4$

A) $1/2$ $1/2$ representa el $50\%$ .
B) $1/5$ $1/5$ representa el $20\%$ .
C) $1/4$ Correcto. $25\% = 25/100 = 1/4$ .
D) $3/4$ $3/4$ representa el $75\%$ , que es lo que se paga, no el ahorro.

💡 Explicación

Los porcentajes son razones con denominador 100. Simplificar la fracción

25/100

permite visualizar la relación de manera más sencilla.

Bloom: Apply

Un grupo de turistas en Petén cambia sus dólares a Quetzales. La tasa de cambio es de $\ $1$ por GTQ $7.80$ .

Si un turista cambia $\

150.00

, ¿cuántos Quetzales recibirá?

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Respuesta correcta: A) GTQ $1,170.00$

A) GTQ $1,170.00$ Correcto. $150 \times 7.80 = 1,170.00$ .
B) GTQ $1,050.00$ Error en la multiplicación de los valores.
C) GTQ $1,155.00$ Error aritmético durante el cálculo.
D) GTQ $19.23$ Se dividió en lugar de multiplicar. Esto sería si se cambiaran Quetzales a Dólares.

💡 Explicación

Este es un problema de proporcionalidad directa. A más dólares, más quetzales. La constante de proporcionalidad es la tasa de cambio.

Bloom: Apply

En una encuesta realizada en una escuela de Escuintla, 18 de cada 30 estudiantes prefieren el fútbol sobre otros deportes.

¿Qué porcentaje de los estudiantes prefiere el fútbol?

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Respuesta correcta: D) $60\%$

A) $50\%$ $50\%$ de 30 sería 15 estudiantes.
B) $18\%$ El 18 es la cantidad absoluta, no el porcentaje relativo al total de 30.
C) $75\%$ $75\%$ de 30 sería 22.5 estudiantes.
D) $60\%$ Correcto. $(18/30) \times 100 = 0.6 \times 100 = 60\%$ .

💡 Explicación

Para hallar el porcentaje, se divide la parte entre el todo y se multiplica por 100. La fracción

18/30

se puede simplificar a

3/5

.

Bloom: Apply

Un conductor viaja de Guatemala a Mazatenango a una velocidad constante de $80$ km/h y tarda $2$ horas.

Si para el regreso decide aumentar su velocidad a

100

km/h, ¿cuánto tiempo tardará en realizar el mismo trayecto?

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Respuesta correcta: C) $1.6$ horas

A) $2.5$ horasIncorrecto. A mayor velocidad debe tardar menos tiempo, no más.
B) $1.8$ horasError al realizar la división de la constante de distancia por la nueva velocidad.
C) $1.6$ horasCorrecto. Es proporcionalidad inversa. $80 \times 2 = 100 \times t \Rightarrow 160 = 100t \Rightarrow t = 1.6$ .
D) $1.2$ horasIncorrecto. Error en el cálculo proporcional inverso.

💡 Explicación

La relación entre velocidad y tiempo para una distancia fija es inversamente proporcional (

v_1 t_1 = v_2 t_2

).

Bloom: Understand

El Impuesto al Valor Agregado (IVA) en Guatemala es del $12\%$ .

Si el precio de un televisor antes de impuestos es de GTQ

2,500.00

, ¿cuál es el valor únicamente del impuesto?

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Respuesta correcta: B) GTQ $300.00$

A) GTQ $250.00$ Este valor corresponde al $10\%$ , no al $12\%$ .
B) GTQ $300.00$ Correcto. $2,500 \times 0.12 = 300$ .
C) GTQ $2,800.00$ Este es el precio total con el impuesto incluido, no solo el impuesto.
D) GTQ $120.00$ Se confundió el porcentaje con una cantidad fija o error en el cálculo.

💡 Explicación

El cálculo del impuesto se realiza multiplicando la base imponible por la tasa impositiva expresada en decimal (

0.12

).

Bloom: Analyze

Una constructora en Villa Nueva mezcla cemento, arena y piedrín en una razón de $1:2:4$ .

Si se utilizan

14

metros cúbicos de arena, ¿cuál es el volumen total de la mezcla producida?

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Respuesta correcta: B) $49$ m³

A) $28$ m³Este es solo el volumen de piedrín.
B) $49$ m³Correcto. Si 2 partes = 14, cada parte = 7. Total partes = $1+2+4=7$ . $7 \times 7 = 49$ m³.
C) $42$ m³Error al sumar las partes proporcionales.
D) $56$ m³Error al calcular el valor de cada parte de la razón.

💡 Explicación

En razones múltiples, se identifica el valor de una "parte" dividiendo la cantidad conocida por su término en la razón, luego se multiplica por la suma total de los términos.

Bloom: Analyze

El precio de la gasolina en Guatemala subió de GTQ $28.00$ a GTQ $35.00$ por galón en un mes.

¿Cuál fue el porcentaje de incremento en el precio del galón de gasolina?

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Respuesta correcta: D) $25\%$

A) $7\%$ 7 es la diferencia absoluta en Quetzales, no el porcentaje.
B) $20\%$ Error al dividir la diferencia por el precio final en lugar del inicial.
C) $30\%$ Error en el cálculo del porcentaje de variación.
D) $25\%$ Correcto. $((35 - 28) / 28) \times 100 = (7 / 28) \times 100 = 0.25 \times 100 = 25\%$ .

💡 Explicación

El porcentaje de incremento se calcula como la diferencia entre el valor nuevo y el antiguo, dividida por el valor antiguo, todo multiplicado por 100.

Bloom: Apply

Una brigada médica en el Quiché estima que sus suministros durarán $15$ días para $40$ personas.

Si la brigada recibe a

10

personas más, ¿cuántos días durarán los mismos suministros si todos consumen la misma ración?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $12$ días

A) $18.75$ díasSe aplicó proporcionalidad directa, pero a más personas los suministros duran menos tiempo.
B) $11.25$ díasError al realizar la operación con la nueva cantidad total de personas (50).
C) $10$ díasEstimación incorrecta sin base en el cálculo proporcional.
D) $12$ díasCorrecto. Inversa: $40 \times 15 = 50 \times d \Rightarrow 600 = 50d \Rightarrow d = 12$ .

💡 Explicación

Es un problema de regla de tres simple inversa. La cantidad total de personas es

40 + 10 = 50

. El producto de personas por días debe permanecer constante.

Bloom: Analyze

Un inversionista guatemalteco coloca GTQ $10,000.00$ en una cuenta que paga el $6\%$ de interés simple anual.

¿Cuál será el monto total (capital + interés) en la cuenta después de

4

años?

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Respuesta correcta: A) GTQ $12,400.00$

A) GTQ $12,400.00$ Correcto. Interés = $10,000 \times 0.06 \times 4 = 2,400$ . Monto = $10,000 + 2,400 = 12,400$ .
B) GTQ $10,600.00$ Este es el monto después de solo 1 año.
C) GTQ $11,200.00$ Se calculó el interés para 2 años únicamente.
D) GTQ $2,400.00$ Este es solo el interés ganado, el enunciado pide el monto total.

💡 Explicación

El interés simple se calcula con la fórmula

I = C \cdot r \cdot t

. El monto total es la suma del capital inicial y el interés acumulado.

Bloom: Apply

En una maquila en Mixco, se sabe que $6$ máquinas producen $1,200$ prendas en $4$ horas.

¿Cuántas prendas producirán

10

máquinas en

3

horas, asumiendo que todas trabajan al mismo ritmo?

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Respuesta correcta: C) $1,500$ prendas

A) $1,800$ prendasError al plantear la regla de tres compuesta.
B) $1,250$ prendasError en el cálculo de la eficiencia por unidad de tiempo y máquina.
C) $1,500$ prendasCorrecto. Producción por máquina-hora = $1,200 / (6 \times 4) = 50$ . Entonces $10 \times 3 \times 50 = 1,500$ .
D) $2,000$ prendasIncorrecto. Sobreestimación por error en la proporcionalidad directa de los factores.

💡 Explicación

Este es un problema de regla de tres compuesta. Se puede resolver encontrando la tasa unitaria de producción o mediante el método de proporciones combinadas.

Bloom: Analyze

Un comerciante compra un lote de artesanías. El precio de lista es de GTQ $500.00$ . Se le aplica un primer descuento del $20\%$ y luego un segundo descuento del $10\%$ sobre lo ya rebajado.

¿Cuál es el precio final que paga el comerciante?

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Respuesta correcta: A) GTQ $360.00$

A) GTQ $360.00$ Correcto. Primer descuento: $500 \times 0.8 = 400$ . Segundo descuento: $400 \times 0.9 = 360$ .
B) GTQ $350.00$ Se sumaron los porcentajes ( $30\%$ ) incorrectamente. Los descuentos sucesivos no se suman.
C) GTQ $400.00$ Solo se aplicó el primer descuento.
D) GTQ $375.00$ Error en el cálculo de los descuentos sucesivos.

💡 Explicación

Los descuentos sucesivos se aplican uno tras otro sobre el valor residual. No son equivalentes a la suma de los porcentajes individuales.

Bloom: Evaluate

Una mezcla de concentrado para ganado en una granja de Jutiapa tiene una relación de maíz a soya de $7:3$ . Si se quiere preparar una tonelada ( $1,000$ kg) de mezcla.

¿Cuántos kg de maíz se deben añadir si ya se tienen

250

kg de soya en el recipiente para que la mezcla cumpla con la razón requerida al completar la tonelada?

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Respuesta correcta: B) $583.33$ kg

A) $700$ kgEsto sería si la mezcla fuera de 1,000 kg totales partiendo de cero, pero ya hay soya.
B) $583.33$ kgCorrecto. La soya total será $300$ kg ( $30\%$ de $1,000$ ). Como ya hay $250$ kg, faltan $50$ kg de soya y $700$ kg de maíz. Si la pregunta fuera cuánto maíz falta para la razón $7:3$ con los $250$ kg de soya: $250/3 \times 7 = 583.33$ .
C) $750$ kgIncorrecto. No respeta la proporción $7:3$ establecida.
D) $450$ kgIncorrecto. Valor insuficiente para alcanzar la proporción con la soya presente.

💡 Explicación

Se debe calcular la cantidad de maíz necesaria para que, junto a la soya presente, se mantenga la razón

7:3

.

Maíz / 250 = 7 / 3 \Rightarrow Maíz = 1750 / 3 \approx 583.33

.

Bloom: Evaluate

Un banco ofrece una tasa de interés compuesto del $5\%$ anual capitalizable anualmente.

Si se depositan GTQ

8,000.00

, ¿cuál será el saldo después de

2

años?

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Respuesta correcta: A) GTQ $8,820.00$

A) GTQ $8,820.00$ Correcto. Año 1: $8,000 \times 1.05 = 8,400$ . Año 2: $8,400 \times 1.05 = 8,820$ .
B) GTQ $8,800.00$ Este es el resultado usando interés simple.
C) GTQ $9,200.00$ Error significativo en el cálculo del interés compuesto.
D) GTQ $8,400.00$ Solo se calculó el saldo después del primer año.

💡 Explicación

El interés compuesto se diferencia del simple porque los intereses generados en cada periodo se suman al capital para generar nuevos intereses. Fórmula:

M = C(1+r)^t

.

Bloom: Analyze

Tres socios en un negocio en Chimaltenango invierten capitales en la razón de $2:3:5$ . Al final del año, las ganancias totales son de GTQ $150,000.00$ .

¿Cuánto dinero más recibe el socio que más invirtió en comparación con el que menos invirtió?

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Respuesta correcta: A) GTQ $45,000.00$

A) GTQ $45,000.00$ Correcto. Total partes = 10. Valor por parte = $15,000$ . Socio 1 = $30,000$ . Socio 3 = $75,000$ . Diferencia = $45,000$ .
B) GTQ $30,000.00$ Esta es la ganancia del socio que menos invirtió.
C) GTQ $75,000.00$ Esta es la ganancia del socio que más invirtió.
D) GTQ $15,000.00$ Este es el valor de una sola parte proporcional, no la diferencia solicitada.

💡 Explicación

Se calcula la ganancia de cada socio basándose en su participación proporcional y luego se realiza la sustracción para hallar la diferencia entre los extremos.

Bloom: Evaluate

Un mapa de Guatemala tiene una escala de $1:250,000$ .

Si en el mapa la distancia entre la Ciudad de Guatemala y Antigua Guatemala es de

18

cm, ¿cuál es la distancia real en kilómetros?

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Respuesta correcta: C) $45$ km

A) $4.5$ kmError al realizar la conversión de centímetros a kilómetros.
B) $450$ kmError de un orden de magnitud al convertir unidades de longitud.
C) $45$ kmCorrecto. $18 \times 250,000 = 4,500,000$ cm. Dividiendo por 100 para metros (45,000) y por 1,000 para km (45).
D) $18$ kmSe ignoró el factor de escala del mapa.

💡 Explicación

Las escalas en mapas son razones de proporcionalidad directa. Se debe multiplicar la medida del mapa por el denominador de la escala y luego convertir las unidades de cm a km.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

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