Expresiones Algebraicas Polinomios

Respuesta correcta: B) $3x + 5$

• A) $x^3 + 5$Esto representa un número al cubo aumentado en cinco, no el triple.
• B) $3x + 5$Correcto. "El triple" significa multiplicar por 3 y "aumentado" significa sumar.
• C) $3(x + 5)$Esto representa el triple de la suma de un número y cinco, no el triple del número solamente.
• D) $x/3 + 5$Esto representa la tercera parte de un número, no el triple.

Respuesta correcta: C) $5$

• A) $2$Este es el grado relativo a la variable $x$.
• B) $3$Este es el grado relativo a la variable $y$.
• C) $5$Correcto. El grado absoluto es la suma de los exponentes de las variables: $2 + 3 = 5$.
• D) $-5$Este es el coeficiente numérico, no el grado.

Respuesta correcta: D) $6x + 4$

• A) $3x + 2$Esto es solo la suma de largo y ancho, falta multiplicar por 2.
• B) $2x^2 + x - 3$Esto representa el área de la plaza (producto de largo y ancho), no el perímetro.
• C) $4x + 4$Error al simplificar los términos constantes durante la suma.
• D) $6x + 4$Correcto. Perímetro = $2(2x + 3) + 2(x - 1) = 4x + 6 + 2x - 2 = 6x + 4$.

Respuesta correcta: B) $x^2 - 3x + 2$

• A) $x^2 + 5x$Es un binomio (dos términos).
• B) $x^2 - 3x + 2$Correcto. Tiene tres términos y el exponente mayor es 2.
• C) $x^3 + x^2 + x + 1$Es un polinomio de tercer grado con cuatro términos.
• D) $2x + 3y - 5z$Es un trinomio, pero de primer grado (lineal).

Respuesta correcta: D) $7x^2 + 4x - 6$

• A) $7x^4 + 4x^2 - 6$Incorrecto. Al sumar polinomios, los exponentes de las variables no cambian.
• B) $3x^2 - 10x + 10$Se restaron los términos en lugar de sumarlos.
• C) $7x^2 + 10x - 10$Error en los signos al agrupar los términos constantes y lineales.
• D) $7x^2 + 4x - 6$Correcto. $5x^2 + 2x^2 = 7x^2$; $-3x + 7x = 4x$; $2 - 8 = -6$.

Respuesta correcta: D) $3a^2 + 7a - 4$

• A) $7a^2 - 3a + 2$Se sumaron los polinomios en lugar de restarlos.
• B) $3a^2 - 3a - 4$Error al cambiar el signo del segundo término durante la resta.
• C) $3a^2 + 7a + 2$Error al restar los términos constantes.
• D) $3a^2 + 7a - 4$Correcto. $(5a^2 - 2a^2) + (2a - (-5a)) + (-1 - 3) = 3a^2 + 7a - 4$.

Respuesta correcta: B) $6x^2 - 15x$

• A) $6x - 15$Olvidaste multiplicar $x \times x$ en el primer término.
• B) $6x^2 - 15x$Correcto. $3x \times 2x = 6x^2$ y $3x \times (-5) = -15x$.
• C) $6x^2 - 5$Olvidaste multiplicar el segundo término por $3x$.
• D) $5x^2 - 8x$Sumaste los coeficientes en lugar de multiplicarlos.

Respuesta correcta: A) $x^2 + 8x + 16$

• A) $x^2 + 8x + 16$Correcto. Aplicando $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
• B) $x^2 + 16$Falta el término medio (doble producto del primero por el segundo).
• C) $x^2 + 4x + 16$El término medio debe ser $2 \times x \times 4 = 8x$.
• D) $2x + 8$Confundiste la potencia con una multiplicación por 2.

Respuesta correcta: D) $x^2 - 25$

• A) $x^2 + 25$El producto de conjugados siempre resulta en una diferencia de cuadrados.
• B) $x^2 - 10x + 25$Este es el desarrollo de $(x-5)^2$, no de $(x+5)(x-5)$.
• C) $2x - 10$Operación incorrecta de multiplicación de binomios.
• D) $x^2 - 25$Correcto. Es un producto de binomios conjugados: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Respuesta correcta: C) $3$

• A) $5$$2(2)^2 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$.
• B) $1$Error al evaluar el primer término o al operar los signos.
• C) $3$Correcto. $2(4) - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$.
• D) $7$Error aritmético en la sustitución y resolución de las potencias.

Respuesta correcta: B) $(x + 5)(x + 2)$

• A) $(x + 10)(x + 1)$El producto es 10, pero la suma es 11, no 7.
• B) $(x + 5)(x + 2)$Correcto. $5 \times 2 = 10$ y $5 + 2 = 7$.
• C) $(x - 5)(x - 2)$El producto es 10, pero la suma es -7.
• D) $(x + 7)(x + 3)$Incorrecto. El producto y la suma no coinciden con los términos del trinomio.

Respuesta correcta: C) $x - 3$

• A) $x + 3$Incorrecto. $x^2-9 = (x+3)(x-3)$. Al cancelar $(x+3)$ queda $(x-3)$.
• B) $x - 9$No se puede cancelar términos de una suma o resta directamente; se debe factorizar primero.
• C) $x - 3$Correcto. Factorizando el numerador: $\frac{(x+3)(x-3)}{x+3} = x-3$.
• D) $x^2 - 3$Error en el proceso de simplificación de la fracción.

Respuesta correcta: D) $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

• A) $x^3 - 1$Olvidaste los términos intermedios del cubo del binomio.
• B) $x^3 - x^2 + x - 1$Los coeficientes de los términos intermedios en el cubo de un binomio son 3.
• C) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$Estos son los signos para $(x+1)^3$.
• D) $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$Correcto. Aplicando $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Respuesta correcta: B) $x + 3$

• A) $x + 2$Incorrecto. $(x+2)(x+2) = x^2+4x+4$.
• B) $x + 3$Correcto. Dado que $(x+2)(x+3) = x^2+5x+6$.
• C) $x + 4$Incorrecto. El producto no coincide con el dividendo.
• D) $x - 3$Error en el signo del término constante.

Respuesta correcta: C) $6x^2y(x - 2y)$

• A) $6(x^3y - 2x^2y^2)$Se puede extraer más factor común (variables).
• B) $6xy(x^2 - 2xy)$Todavía queda una $x$ como factor común dentro del paréntesis.
• C) $6x^2y(x - 2y)$Correcto. El MCD de 6 y 12 es 6, y se extraen las variables con su menor exponente.
• D) $12x^2y(x - y)$El coeficiente 12 no es factor común de 6.

Respuesta correcta: B) $(7x + 8)(7x - 8)$

• A) $(7x - 8)^2$Esto daría $49x^2 - 112x + 64$.
• B) $(7x + 8)(7x - 8)$Correcto. Es una diferencia de cuadrados: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.
• C) $(7x + 32)(7x - 32)$El cuadrado de 32 no es 64.
• D) $7(x + 8)(x - 8)$El 7 no es factor común y no afecta a ambos términos así.

Respuesta correcta: B) $x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$

• A) $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$Esta es una diferencia de cubos, no una suma.
• B) $x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$Correcto. Aplicando $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
• C) $x^3 + 27 = (x + 3)^3$El cubo de un binomio no es igual a la suma de cubos.
• D) $x^3 + 9 = (x + 3)(x^2 + 3)$9 no es un cubo perfecto y la factorización es incorrecta.

Respuesta correcta: A) $1$

• A) $1$Correcto. Por el teorema del residuo, el resto es $P(2) = 8 - 8 + 6 - 5 = 1$.
• B) $0$$P(2) = 2^3 - 2(2)^2 + 3(2) - 5 = 8 - 8 + 6 - 5 = 1$.
• C) $-5$Error al aplicar el teorema del residuo.
• D) $3$Error aritmético durante la división sintética.

Respuesta correcta: B) $(x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2)$

• A) $(x^2 - 6)^2$Esto resultaría en $x^4 - 12x^2 + 36$.
• B) $(x + 3)(x - 3)(x + 2)(x - 2)$Correcto. Primero se factoriza como trinomio $(x^2-9)(x^2-4)$, luego cada parte como diferencia de cuadrados.
• C) $(x^2 - 9)(x^2 - 4)$Aunque es un paso correcto, no está factorizado "completamente".
• D) $(x + 6)(x - 6)(x + 1)(x - 1)$Los factores del trinomio original no coinciden.

Respuesta correcta: D) $1$

• A) $\frac{x - 2}{x + 2}$Incorrecto. Al simplificar todos los factores se cancelan.
• B) $x - 3$Incorrecto. No queda ningún término variable.
• C) $0$El resultado de una simplificación donde se cancelan todos los términos de una fracción por división es 1, no 0.
• D) $1$Correcto. $\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x+2}{x-3} = 1$ después de cancelar todos los factores comunes.