Ecuaciones Lineales Sistemas — Matematicas Grado 11, Guatemala

Bloom: Remember

Un estudiante de bachillerato en Guatemala está aprendiendo los conceptos fundamentales para resolver igualdades matemáticas.

¿Cómo se denomina a una igualdad algebraica que solo es verdadera para ciertos valores específicos de las variables involucradas?

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Respuesta correcta: C) Ecuación

A) IdentidadUna identidad es verdadera para cualquier valor de las variables (ej. $x+x = 2x$ ).
B) ExpresiónUna expresión no contiene el signo de igualdad ( $=$ ).
C) EcuaciónCorrecto. Una ecuación es una igualdad condicionada que se cumple solo para ciertos valores llamados soluciones.
D) InecuaciónUna inecuación utiliza signos de desigualdad ( $<, >, \le, \ge$ ).

💡 Explicación

La ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se satisface para valores determinados de la incógnita.

Bloom: Remember

Para mantener el equilibrio en una balanza que representa una ecuación lineal, se aplican ciertas reglas.

¿Cuál es la propiedad que permite sumar o restar la misma cantidad en ambos miembros de una ecuación sin alterar su solución?

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Respuesta correcta: A) Propiedad de Uniformidad (o Aditiva de la Igualdad)

A) Propiedad de Uniformidad (o Aditiva de la Igualdad)Correcto. Establece que si se realiza la misma operación en ambos lados de una igualdad, esta se mantiene.
B) Propiedad ConmutativaLa propiedad conmutativa se refiere al orden de los términos en una operación.
C) Propiedad AsociativaLa propiedad asociativa se refiere al agrupamiento de términos.
D) Propiedad DistributivaLa propiedad distributiva relaciona la multiplicación con la suma.

💡 Explicación

Las propiedades de la igualdad son la base del despeje de incógnitas, permitiendo transformar una ecuación en otra equivalente más simple.

Bloom: Understand

Un artesano en Antigua Guatemala vende pulseras a un precio fijo. Sus ingresos totales dependen de la cantidad de pulseras vendidas.

Si el artesano vende cada pulsera a GTQ

15.00

y quiere obtener GTQ

450.00

, ¿cuál es la ecuación lineal que modela esta situación donde

x

es la cantidad de pulseras?

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Respuesta correcta: B) $15x = 450$

A) $x + 15 = 450$ Esto representaría que a la cantidad se le suman 15 quetzales, lo cual no es coherente con el precio por unidad.
B) $15x = 450$ Correcto. El precio por unidad multiplicado por la cantidad debe ser igual al total deseado.
C) $x / 15 = 450$ Esto indicaría que la cantidad dividida entre 15 da 450, lo cual es incorrecto.
D) $450x = 15$ Esto sugeriría un precio de 450 por pulsera para un total de 15.

💡 Explicación

El modelado de problemas reales mediante ecuaciones lineales requiere identificar la variable dependiente (ingresos) y la independiente (cantidad).

Bloom: Understand

Un estudiante revisa la clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales según el número de soluciones.

¿Cómo se clasifica un sistema de ecuaciones lineales que no tiene ninguna solución (sus gráficas son rectas paralelas)?

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Respuesta correcta: B) Sistema Incompatible

A) Sistema Compatible DeterminadoTiene una solución única (las rectas se cruzan).
B) Sistema IncompatibleCorrecto. No tiene solución porque las condiciones son contradictorias o las rectas nunca se tocan.
C) Sistema Compatible IndeterminadoTiene infinitas soluciones (las rectas son la misma).
D) Sistema Lineal SimpleNo es una clasificación estándar basada en el número de soluciones.

💡 Explicación

Los sistemas incompatibles carecen de puntos comunes entre las ecuaciones que los conforman, lo que gráficamente se traduce en rectas que nunca se intersectan.

Bloom: Apply

Un pequeño empresario en Mixco calcula sus costos fijos y variables.

Resuelve la siguiente ecuación para hallar el valor de

x

:

3x + 12 = 45

.

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Respuesta correcta: C) $x = 11$

A) $x = 19$ Error al realizar la resta $45 - 12$ .
B) $x = 15$ Error al dividir 45 entre 3 directamente sin restar el 12 primero.
C) $x = 11$ Correcto. $3x = 45 - 12 \Rightarrow 3x = 33 \Rightarrow x = 11$ .
D) $x = 21$ Error aritmético en el proceso de despeje.

💡 Explicación

El proceso de despeje implica realizar las operaciones inversas en el orden adecuado: primero sumas/restas y luego multiplicaciones/divisiones.

Bloom: Apply

En una tienda de deportes en Quetzaltenango, se venden balones de fútbol y básquetbol.

El doble de un número más 5 es igual a 21. ¿De qué número se trata?

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Respuesta correcta: A) $8$

A) $8$ Correcto. $2x + 5 = 21 \Rightarrow 2x = 16 \Rightarrow x = 8$ .
B) $13$ $2(13) + 5 = 26 + 5 = 31 \ne 21$ .
C) $10.5$ Error al plantear o resolver la ecuación.
D) $16$ Solo se restó 21 - 5, faltó dividir entre 2.

💡 Explicación

La resolución de problemas verbales implica traducir el enunciado a una ecuación simbólica y resolverla sistemáticamente.

Bloom: Apply

Un agricultor en Escuintla necesita cercar un terreno rectangular. El largo es el triple del ancho y el perímetro es de $160$ metros.

¿Cuál es la medida del ancho del terreno?

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Respuesta correcta: A) $20$ m

A) $20$ mCorrecto. Perímetro = $2(x + 3x) = 160 \Rightarrow 8x = 160 \Rightarrow x = 20$ .
B) $40$ mEste sería el valor si el perímetro fuera solo la suma de un largo y un ancho.
C) $60$ mEste es el valor del largo, no del ancho.
D) $10$ mError al plantear la ecuación del perímetro.

💡 Explicación

Para hallar dimensiones, se define una incógnita para la medida base (ancho) y se expresa la otra en términos de esta (largo = 3x), usando luego la fórmula del perímetro.

Bloom: Understand

Al resolver sistemas de ecuaciones, el método de sustitución es uno de los más utilizados por los estudiantes.

¿En qué consiste el primer paso del método de sustitución?

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Respuesta correcta: B) Despejar una de las variables en una de las ecuaciones.

A) Sumar las dos ecuaciones para eliminar una variable.Este es el método de reducción o eliminación.
B) Despejar una de las variables en una de las ecuaciones.Correcto. Se aísla una incógnita para luego reemplazarla en la otra ecuación.
C) Graficar ambas rectas para encontrar el punto de intersección.Este es el método gráfico.
D) Igualar las dos expresiones resultantes de despejar la misma variable.Este es el método de igualación.

💡 Explicación

Cada método algebraico tiene una estrategia distinta para reducir el sistema de dos variables a una sola ecuación con una variable.

Bloom: Apply

Un estudiante resuelve un sistema de ecuaciones para encontrar el punto de equilibrio en un modelo económico simple.

Dado el sistema:

x + y = 10

x - y = 2

¿Cuál es el valor de

x

?

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Respuesta correcta: D) $6$

A) $4$ Si $x=4$ , entonces $y=6$ para la primera, pero $4-6 = -2 \ne 2$ .
B) $8$ Incorrecto. No satisface ambas igualdades simultáneamente.
C) $5$ Incorrecto. Error en la aplicación del método de reducción.
D) $6$ Correcto. Sumando ambas: $2x = 12 \Rightarrow x = 6$ . Entonces $y = 4$ .

💡 Explicación

El método de reducción es ideal cuando los coeficientes de una variable son opuestos, permitiendo su eliminación inmediata al sumar las ecuaciones.

Bloom: Apply

En una cafetería de la Ciudad de Guatemala, se venden combos de desayuno.

Tres cafés y dos panes dulces cuestan GTQ

48.00

. Si un café cuesta GTQ

10.00

, ¿cuánto cuesta cada pan dulce?

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Respuesta correcta: B) GTQ $9.00$

A) GTQ $12.00$ Error al calcular el costo restante.
B) GTQ $9.00$ Correcto. $3(10) + 2x = 48 \Rightarrow 30 + 2x = 48 \Rightarrow 2x = 18 \Rightarrow x = 9$ .
C) GTQ $6.00$ Incorrecto. Error en el despeje de la variable $x$ .
D) GTQ $18.00$ Este es el costo total de los dos panes, falta dividir entre 2.

💡 Explicación

Sustituir valores conocidos en una ecuación lineal permite hallar el valor de la incógnita restante en situaciones de consumo cotidiano.

Bloom: Apply

Un ingeniero civil en Guatemala diseña una rampa y necesita hallar el punto de intersección de dos vigas de soporte.

Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de igualación:

y = 2x + 1

y = -x + 4

¿Cuál es el valor de la coordenada

x

del punto de intersección?

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Respuesta correcta: C) $x = 1$

A) $x = 3$ Error al agrupar los términos con la variable $x$ .
B) $x = 1.5$ Error aritmético durante la resolución de la igualdad.
C) $x = 1$ Correcto. $2x + 1 = -x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$ .
D) $x = 0$ Incorrecto. No satisface la igualdad de las dos expresiones.

💡 Explicación

El método de igualación es directo cuando ambas ecuaciones ya tienen despejada la misma variable. El resultado es el punto donde ambas condiciones se cumplen.

Bloom: Analyze

Un estudiante de bachillerato analiza ecuaciones con coeficientes fraccionarios para representar proporciones en mezclas químicas.

Resuelve la ecuación:

\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5

.

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Respuesta correcta: A) $x = 6$

A) $x = 6$ Correcto. Multiplicando por 6: $3x + 2x = 30 \Rightarrow 5x = 30 \Rightarrow x = 6$ .
B) $x = 3$ Error al operar con las fracciones.
C) $x = 10$ Error al buscar el mínimo común denominador.
D) $x = 1.2$ Error en el proceso de despeje final.

💡 Explicación

Para resolver ecuaciones con fracciones, es recomendable multiplicar todos los términos por el mínimo común múltiplo de los denominadores para trabajar con números enteros.

Bloom: Analyze

Un comerciante de telas en Sololá tiene dos tipos de algodón. Mezcla $x$ libras de algodón tipo A (GTQ $10.00$ /lb) con $y$ libras de tipo B (GTQ $15.00$ /lb) para obtener $50$ libras de mezcla que cuestan GTQ $650.00$ .

¿Cuál es el sistema de ecuaciones que representa este problema?

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Respuesta correcta: B) $x + y = 50$ ; $10x + 15y = 650$

A) $x + y = 650$ ; $10x + 15y = 50$ Se intercambiaron los totales de cantidad y costo.
B) $x + y = 50$ ; $10x + 15y = 650$ Correcto. Una ecuación para la cantidad total y otra para el costo total.
C) $10x + 15y = 50 \times 650$ Planteamiento incorrecto de las relaciones de costo.
D) $x - y = 50$ ; $10x - 15y = 650$ Se usaron restas en lugar de sumas para representar el total.

💡 Explicación

Los problemas de mezclas generan sistemas donde una ecuación representa las unidades físicas y la otra representa el valor monetario o concentración.

Bloom: Apply

Un analista de datos utiliza la regla de Cramer para resolver sistemas pequeños de manera mecánica.

En el sistema:

2x + 3y = 8

x - y = -1

¿Cuál es el valor del determinante principal (

\Delta

)?

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Respuesta correcta: D) $-5$

A) $-1$ Error al calcular el producto cruzado.
B) $5$ Error de signo en la resta del determinante.
C) $1$ Error en la identificación de los coeficientes.
D) $-5$ Correcto. $\Delta = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$ .

💡 Explicación

El determinante principal de un sistema

2 \times 2

se calcula restando el producto de la diagonal secundaria del producto de la diagonal principal de la matriz de coeficientes.

Bloom: Analyze

Un estudiante investiga por qué algunos sistemas no tienen solución o tienen soluciones infinitas.

¿Cuál de los siguientes sistemas es dependiente (Compatible Indeterminado), es decir, tiene infinitas soluciones?

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Respuesta correcta: B) $2x - 4y = 8$ ; $x - 2y = 4$

A) $x + y = 5$ ; $x - y = 5$ Es determinado (solución única $x=5, y=0$ ).
B) $2x - 4y = 8$ ; $x - 2y = 4$ Correcto. La primera ecuación es el doble de la segunda; son la misma recta.
C) $x + y = 3$ ; $x + y = 4$ Es incompatible (no tiene solución).
D) $3x + 2y = 6$ ; $x + y = 2$ Es determinado con solución única.

💡 Explicación

Un sistema es compatible indeterminado cuando las ecuaciones son equivalentes (proporcionales), lo que significa que representan la misma recta en el plano.

Bloom: Apply

Un grupo de estudiantes de Huehuetenango participa en un rally matemático resolviendo acertijos numéricos.

La suma de dos números es

30

y su diferencia es

10

. ¿Cuáles son los números?

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Respuesta correcta: D) $20$ y $10$

A) $15$ y $15$ La suma es 30, pero la diferencia es 0.
B) $25$ y $5$ La suma es 30, pero la diferencia es 20.
C) $18$ y $12$ La suma es 30, pero la diferencia es 6.
D) $20$ y $10$ Correcto. $20 + 10 = 30$ y $20 - 10 = 10$ .

💡 Explicación

Este problema clásico se resuelve planteando un sistema de suma y resta:

x+y=30

y

x-y=10

. Sumando ambas ecuaciones se obtiene

2x=40

.

Bloom: Evaluate

Un economista en el Banco de Guatemala analiza el equilibrio de mercado donde la demanda $Q_d = 100 - 2P$ y la oferta $Q_s = 20 + 3P$ .

¿Cuál es el precio de equilibrio (

P

) donde la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida?

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Respuesta correcta: D) $P = 16$

A) $P = 20$ $Q_d = 60, Q_s = 80$ . No hay equilibrio.
B) $P = 24$ Error al despejar la variable $P$ de la igualdad.
C) $P = 12$ Error en el proceso de agrupación de términos semejantes.
D) $P = 16$ Correcto. $100 - 2P = 20 + 3P \Rightarrow 80 = 5P \Rightarrow P = 16$ .

💡 Explicación

El equilibrio se halla igualando las funciones de oferta y demanda, lo cual resulta en una ecuación lineal de una variable para el precio.

Bloom: Evaluate

Un estudiante de ingeniería utiliza el método de reducción para resolver un sistema con coeficientes decimales.

Resuelve el sistema:

0.5x + 0.2y = 1.3

0.3x - 0.4y = 0.0

¿Cuál es la solución para el par

(x, y)

?

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Respuesta correcta: D) $(2, 1.5)$

A) $(1, 4)$ $0.5(1) + 0.2(4) = 0.5 + 0.8 = 1.3$ (cumple), pero $0.3(1) - 0.4(4) = -1.3 \ne 0$ .
B) $(3, 2)$ Incorrecto. No satisface ambas igualdades simultáneamente.
C) $(2, 2.5)$ Error en el cálculo de la variable dependiente $y$ .
D) $(2, 1.5)$ Correcto. De la segunda: $0.3x = 0.4y \Rightarrow 3x = 4y \Rightarrow y = 0.75x$ . Sustituyendo: $0.5x + 0.2(0.75x) = 1.3 \Rightarrow 0.5x + 0.15x = 1.3 \Rightarrow 0.65x = 1.3 \Rightarrow x = 2, y = 1.5$ .

💡 Explicación

Para simplificar sistemas con decimales, es útil multiplicar cada ecuación por una potencia de 10 antes de aplicar cualquier método de resolución.

Bloom: Analyze

En un laboratorio en la Universidad de San Carlos, se analizan las soluciones de sistemas mediante el rango de matrices.

¿Bajo qué condición el sistema

kx + 2y = 5

;

2x + y = 4

tiene una solución única?

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Respuesta correcta: C) Para cualquier valor de $k$ excepto $k = 4$

A) Solo si $k = 4$ Si $k=4$ , las rectas son paralelas (incompatible), no tiene solución única.
B) Solo si $k = 1$ Si $k=1$ hay solución única, pero no es el único valor posible.
C) Para cualquier valor de $k$ excepto $k = 4$ Correcto. El determinante es $k(1) - 2(2) = k - 4$ . Para solución única $\Delta \ne 0$ , por lo que $k \ne 4$ .
D) Nunca puede tener solución única.Falso. Casi todos los valores de $k$ permiten una intersección.

💡 Explicación

Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única si y solo si el determinante de su matriz de coeficientes es diferente de cero.

Bloom: Evaluate

Un estudiante resuelve un problema de edades que involucra un sistema de ecuaciones.

La edad de un padre es el triple de la de su hijo. Hace 10 años, la edad del padre era el quíntuple de la de su hijo. ¿Cuántos años tiene el hijo actualmente?

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Respuesta correcta: B) $20$ años

A) $15$ añosPadre tendría 45. Hace 10: 35 y 5. 35 es 7 veces 5, no 5 veces.
B) $20$ añosCorrecto. Padre = 60. Hace 10: Padre = 50, Hijo = 10. 50 es el quíntuple de 10.
C) $25$ añosPadre tendría 75. Hace 10: 65 y 15. No cumple la relación.
D) $10$ añosPadre tendría 30. Hace 10: 20 y 0. No es posible según el enunciado.

💡 Explicación

Los problemas de edades requieren plantear ecuaciones para el presente y para el pasado/futuro, recordando que el paso del tiempo afecta a ambos sujetos por igual.

P = 3H

P - 10 = 5(H - 10)

Sustituyendo:

3H - 10 = 5H - 50 \Rightarrow 40 = 2H \Rightarrow H = 20

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?