Ecuaciones Cuadraticas

Respuesta correcta: A) $ax^2 + bx + c = 0$

• A) $ax^2 + bx + c = 0$Correcto. Esta forma incluye el término cuadrático, el lineal y el independiente, con $a \ne 0$.
• B) $ax + b = 0$Esta es la forma general de una ecuación lineal o de primer grado.
• C) $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$Esta es la forma general de una ecuación cúbica o de tercer grado.
• D) $y = mx + b$Esta es la ecuación de una línea recta en su forma pendiente-intercepto.

Respuesta correcta: C) Discriminante

• A) Radicando simpleAunque está dentro de una raíz, tiene un nombre específico en álgebra.
• B) Coeficiente principalEl coeficiente principal es el valor de $a$.
• C) DiscriminanteCorrecto. El discriminante determina la naturaleza y cantidad de las soluciones.
• D) Binomio de NewtonEl binomio de Newton se refiere a la expansión de $(a+b)^n$.

Respuesta correcta: C) $x^2 = 144$

• A) $2x = 144$Esto representaría el doble del lado, no el área.
• B) $4x = 144$Esto representaría el perímetro del cuadrado.
• C) $x^2 = 144$Correcto. El área de un cuadrado es el lado al cuadrado.
• D) $x + x = 144$Esto es equivalente a $2x$, lo cual es incorrecto.

Respuesta correcta: D) Una única solución real (o dos soluciones iguales).

• A) Dos soluciones reales distintas.Esto ocurre cuando el discriminante es mayor que cero.
• B) Ninguna solución real.Esto ocurre cuando el discriminante es menor que cero.
• C) Infinitas soluciones reales.Una ecuación cuadrática nunca puede tener infinitas soluciones.
• D) Una única solución real (o dos soluciones iguales).Correcto. Si el discriminante es cero, la raíz desaparece y queda solo un valor.

Respuesta correcta: C) $x = 5, x = -5$

• A) $x = 5$Falta la solución negativa. Toda raíz cuadrada en una ecuación tiene dos valores posibles.
• B) $x = 12.5$Se dividió 25 entre 2 en lugar de extraer la raíz cuadrada.
• C) $x = 5, x = -5$Correcto. $x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm \sqrt{25} \Rightarrow x = \pm 5$.
• D) No tiene solución real.Incorrecto. Dado que 25 es positivo, tiene dos raíces reales.

Respuesta correcta: A) $20$ árboles

• A) $20$ árbolesCorrecto. $x^2 = 400 \Rightarrow x = 20$.
• B) $10$ árboles$10 \times 10 = 100$, no es suficiente.
• C) $40$ árboles$40 \times 40 = 1,600$, se excede.
• D) $200$ árbolesError al dividir por 2 en lugar de extraer raíz cuadrada.

Respuesta correcta: B) $x = 4, x = 2$

• A) $x = 1, x = 8$Los factores de 8 cuya suma sea 6 son 4 y 2.
• B) $x = 4, x = 2$Correcto. $(x-4)(x-2) = 0 \Rightarrow x = 4, x = 2$.
• C) $x = -4, x = -2$Si los factores son $(x-4)$ y $(x-2)$, al igualar a cero los signos cambian a positivo.
• D) $x = 3, x = 3$Incorrecto. $3+3=6$ pero $3 \times 3 = 9$, no 8.

Respuesta correcta: D) $x = 0$

• A) $x = 1$No necesariamente; depende de los valores de $a$ y $b$.
• B) $x = -1$No es una solución general para este tipo de ecuaciones.
• C) No tiene soluciones reales.Este tipo de ecuaciones siempre tiene al menos una solución real.
• D) $x = 0$Correcto. Al factorizar $x(ax + b) = 0$, una solución siempre es $x = 0$.

Respuesta correcta: A) $x = 0, x = 5$

• A) $x = 0, x = 5$Correcto. $2x(x - 5) = 0 \Rightarrow 2x = 0$ o $x - 5 = 0$.
• B) $x = 0, x = 2$El segundo factor es $2x-10$, cuya raíz es 5.
• C) $x = 5, x = -5$Esta sería la solución para una ecuación pura como $x^2-25=0$.
• D) $x = 0, x = 10$Se olvidó dividir 10 entre el coeficiente 2.

Respuesta correcta: A) $12$

• A) $12$Correcto. $(-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12$.
• B) $20$Error al aplicar la fórmula $b^2 - 4ac$.
• C) $0$Incorrecto. $b^2$ es 16, no 4.
• D) $-12$Error de signos en el cálculo de $b^2$.

Respuesta correcta: A) $x = 2, x = 3$

• A) $x = 2, x = 3$Correcto. $x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$.
• B) $x = -2, x = -3$Error en el signo final de las soluciones.
• C) $x = 1, x = 6$Estos valores no satisfacen la ecuación original.
• D) $x = 2.5 \pm 1$Aunque el proceso es correcto, las soluciones finales deben ser valores discretos.

Respuesta correcta: B) $6$ cm

• A) $8$ cmSi el menor es 8, el mayor sería 10, y $\sqrt{8^2+10^2} \ne 10$.
• B) $6$ cmCorrecto. $x^2 + (x+2)^2 = 10^2 \Rightarrow x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100 \Rightarrow 2x^2 + 4x - 96 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 48 = 0$. Factores: $(x+8)(x-6)=0$. El lado debe ser positivo, $x=6$.
• C) $4$ cmNo satisface la relación del teorema de Pitágoras para este problema.
• D) $5$ cmNo cumple con la condición de los cuadrados de los lados.

Respuesta correcta: B) $25$

• A) $10$Se debe usar la mitad del coeficiente lineal elevada al cuadrado.
• B) $25$Correcto. $(10/2)^2 = 5^2 = 25$.
• C) $100$Este es el cuadrado de 10, pero se necesita el cuadrado de la mitad de 10.
• D) $5$Este es el valor de la mitad, pero falta elevarlo al cuadrado.

Respuesta correcta: C) $x = 4$ (solución doble)

• A) $x = 4, x = -4$Esta sería la solución de $x^2-16=0$.
• B) $x = 8, x = 2$El producto de estos valores es 16, pero su suma es 10, no 8.
• C) $x = 4$ (solución doble)Correcto. Es un trinomio cuadrado perfecto $(x-4)^2 = 0$.
• D) No tiene solución real.Incorrecto. El discriminante es cero, por lo que tiene una solución real.

Respuesta correcta: C) Dos raíces complejas (no reales).

• A) Dos raíces reales distintas.Esto requiere un discriminante positivo.
• B) Una raíz real doble.Esto requiere un discriminante igual a cero.
• C) Dos raíces complejas (no reales).Correcto. $b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$. Al ser negativo, las raíces son complejas.
• D) Una raíz racional y otra irracional.Las raíces en una ecuación cuadrática con coeficientes racionales siempre son ambas de la misma naturaleza (racionales o ambas irracionales/complejas).

Respuesta correcta: A) $4$ s

• A) $4$ sCorrecto. $5t^2 = 80 \Rightarrow t^2 = 16 \Rightarrow t = 4$.
• B) $16$ sEste es el valor de $t^2$, falta extraer la raíz cuadrada.
• C) $8$ sError al realizar la división o la extracción de la raíz.
• D) $5$ sIncorrecto. No satisface la ecuación de caída libre.

Respuesta correcta: C) $x^2 + 2x - 15 = 0$

• A) $x^2 - 2x - 15 = 0$Aquí la suma de raíces sería 2, pero $3 + (-5) = -2$.
• B) $x^2 + 8x + 15 = 0$Error en los signos de las raíces al reconstruir la ecuación.
• C) $x^2 + 2x - 15 = 0$Correcto. $(x-3)(x+5) = x^2 + 2x - 15$. La suma de raíces es $-b/a$ y el producto es $c/a$.
• D) $x^2 - 8x - 15 = 0$Los términos no coinciden con las raíces dadas.

Respuesta correcta: B) $x = a$ (solución doble)

• A) $x = a, x = -a$Esto sería si la ecuación fuera $x^2 - a^2 = 0$.
• B) $x = a$ (solución doble)Correcto. La expresión es el desarrollo del cuadrado de un binomio $(x - a)^2 = 0$.
• C) $x = 2a$Incorrecto. No satisface la ecuación.
• D) $x = a^2$Error al interpretar los coeficientes de la ecuación.

Respuesta correcta: B) $x = 10$ (solución única en este intervalo)

• A) $x = 10$$10^2 - 20(10) + 150 = 100 - 200 + 150 = 50$. Es una solución. ¿Hay otra?
• B) $x = 10$ (solución única en este intervalo)Correcto. $x^2 - 20x + 150 = 50 \Rightarrow x^2 - 20x + 100 = 0 \Rightarrow (x-10)^2 = 0$.
• C) $x = 5, x = 15$Incorrecto. Estos valores no igualan el costo a 50.
• D) No tiene solución real para ese costo.Falso. El discriminante de la ecuación resultante es cero.

Respuesta correcta: A) $7/10$

• A) $7/10$Correcto. $1/x_1 + 1/x_2 = (x_1 + x_2) / (x_1 \cdot x_2) = S/P = 7/10$.
• B) $10/7$Esto es producto dividido entre suma. Se requiere suma dividida entre producto.
• C) $7$Esta es solo la suma de las raíces.
• D) $1/10$Incorrecto. Solo consideraste el producto de las raíces.