Funciones Lineales Cuadraticas — Matematicas Grado 11, Guatemala

Bloom: Remember

Un estudiante de bachillerato en Guatemala analiza las ecuaciones de trayectoria de diferentes objetos en movimiento.

¿Cuál es el nombre de la representación gráfica de una función cuadrática de la forma

f(x) = ax^2 + bx + c

?

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Respuesta correcta: A) Parábola

A) ParábolaCorrecto. La gráfica de toda función de segundo grado es una parábola.
B) HipérbolaUna hipérbola es la gráfica de ciertas funciones racionales, no cuadráticas.
C) ElipseUna elipse es una curva cerrada; la función cuadrática produce una curva abierta.
D) RectaUna recta es la representación de una función lineal, no cuadrática.

💡 Explicación

La parábola es una curva simétrica cuyo eje de simetría pasa por el vértice. Su orientación depende del signo del coeficiente cuadrático

a

.

Bloom: Remember

En el estudio de las funciones lineales, la pendiente es el concepto clave para entender la inclinación.

En la función lineal

f(x) = mx + b

, ¿qué representa la letra

m

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) La pendiente de la recta.

A) El intercepto con el eje $y$ .Este es el valor de $b$ , no de $m$ .
B) El intercepto con el eje $x$ .El intercepto con $x$ se halla igualando la función a cero.
C) El área bajo la curva.Este concepto pertenece al cálculo integral, no a los parámetros básicos de la recta.
D) La pendiente de la recta.Correcto. $m$ indica la inclinación y el sentido (creciente o decreciente) de la recta.

💡 Explicación

La pendiente

m

se define como la razón del cambio en

y

respecto al cambio en

x

(

\Delta y / \Delta x

).

Bloom: Understand

Un estudiante observa una parábola y nota que se abre hacia abajo.

Si la gráfica de la función

f(x) = ax^2 + bx + c

abre hacia abajo (cóncava hacia abajo), ¿qué se puede afirmar sobre el coeficiente

a

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $a$ es menor que cero ( $a < 0$ ).

A) $a$ es igual a cero.Si $a=0$ , la función no sería cuadrática, sería lineal.
B) $a$ es mayor que cero ( $a > 0$ ).Si $a > 0$ , la parábola abre hacia arriba.
C) $a$ es un número imaginario.En funciones reales de variable real, los coeficientes deben ser reales.
D) $a$ es menor que cero ( $a < 0$ ).Correcto. Un coeficiente cuadrático negativo invierte la orientación de la parábola.

💡 Explicación

El signo del coeficiente principal

a

determina la concavidad de la parábola: positivo para arriba (mínimo) y negativo para abajo (máximo).

Bloom: Understand

Un emprendedor en Quetzaltenango modela sus costos fijos y variables mediante una función lineal.

Si el costo total es

C(x) = 25x + 500

, ¿qué representa el valor de

500

en el contexto del negocio?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) Los costos fijos (alquiler, servicios, etc.).

A) El costo variable por unidad producida.El costo variable es el coeficiente 25.
B) El número de unidades vendidas.Esto lo representa la variable $x$ .
C) Los costos fijos (alquiler, servicios, etc.).Correcto. Es el costo que se paga aunque la producción sea cero ( $x=0$ ).
D) La ganancia total obtenida.La ganancia requiere restar costos de los ingresos, no es un valor constante en esta función.

💡 Explicación

En modelos lineales de costo, el intercepto

b

representa el costo inicial o fijo, y la pendiente

m

representa el costo marginal o variable por unidad.

Bloom: Apply

Un ingeniero calcula la ubicación del punto más alto (vértice) de un puente con forma parabólica.

¿Cuál es la coordenada

x

del vértice de la parábola

f(x) = x^2 - 6x + 5

?

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Respuesta correcta: D) $x = 3$

A) $x = 6$ Aplicaste mal la fórmula $-b/2a$ .
B) $x = -3$ Olvidaste el signo negativo inicial de la fórmula.
C) $x = 5$ Este es el intercepto con el eje $y$ , no la coordenada del vértice.
D) $x = 3$ Correcto. $x_v = -(-6) / (2 \times 1) = 6 / 2 = 3$ .

💡 Explicación

La coordenada

x

del vértice se calcula con la fórmula

x = -b / 2a

. Este punto es el eje de simetría de la parábola.

Bloom: Apply

Un estudiante de bachillerato necesita hallar los puntos donde una trayectoria cruza el eje horizontal (raíces).

¿Cuáles son los interceptos con el eje

x

de la función

f(x) = x^2 - 4

?

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Respuesta correcta: D) $x = 2$ y $x = -2$

A) Solo $x = 4$ No, se debe extraer raíz cuadrada de 4.
B) $x = 0$ y $x = 4$ Incorrecto. Al evaluar 0, el resultado es -4.
C) No tiene interceptos con el eje $x$ .Incorrecto. Como el término independiente es negativo y $a$ es positivo, la parábola cruza el eje $x$ .
D) $x = 2$ y $x = -2$ Correcto. $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .

💡 Explicación

Los interceptos con el eje

x

se obtienen igualando la función a cero y resolviendo la ecuación resultante.

Bloom: Understand

En un laboratorio en Ciudad de Guatemala se estudia la relación entre dos variables físicas que producen una línea recta.

¿Cuál es la ecuación de la recta que tiene una pendiente

m = 3

y pasa por el punto

(0, 5)

?

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Respuesta correcta: C) $y = 3x + 5$

A) $y = 5x + 3$ Aquí la pendiente es 5 y el intercepto es 3, al revés de lo solicitado.
B) $y = 3x - 5$ El intercepto es positivo según el punto dado $(0, 5)$ .
C) $y = 3x + 5$ Correcto. Usando la forma $y = mx + b$ , donde $b$ es el valor de $y$ cuando $x=0$ .
D) $y = -3x + 5$ La pendiente debe ser positiva ( $m = 3$ ).

💡 Explicación

Si el punto dado tiene

x=0

, su coordenada

y

es directamente el intercepto

b

. Basta con sustituir

m

y

b

en la ecuación canónica.

Bloom: Apply

Un taxista en Guatemala cobra una tarifa base más un costo por cada kilómetro recorrido.

La tarifa base es de GTQ

10.00

y el costo por kilómetro es de GTQ

6.00

. Si un pasajero paga GTQ

70.00

, ¿cuántos kilómetros recorrió?

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Respuesta correcta: B) $10$ km

A) $11.6$ kmError al plantear o resolver la ecuación lineal.
B) $10$ kmCorrecto. $6x + 10 = 70 \Rightarrow 6x = 60 \Rightarrow x = 10$ .
C) $12$ km $6(12) + 10 = 72 + 10 = 82 \ne 70$ .
D) $7$ kmIncorrecto. No satisface la relación de costos dada.

💡 Explicación

Este es un problema de aplicación de funciones lineales. Se resuelve una ecuación de la forma

mx + b = y

para encontrar el valor de

x

.

Bloom: Apply

Un estudiante compara dos funciones lineales para encontrar su punto de intersección.

¿En qué punto se cortan las rectas

y = 2x

y

y = -x + 6

?

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Respuesta correcta: D) $(2, 4)$

A) $(3, 6)$ Para la segunda se cumple, pero para la primera $2(3) = 6$ , no 6... espera, sí se cumple. Pero revisa el despeje. $2x = -x + 6 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$ .
B) $(4, 8)$ No satisface la segunda ecuación: $-4 + 6 = 2 \ne 8$ .
C) $(0, 0)$ Solo satisface la primera ecuación.
D) $(2, 4)$ Correcto. $2x = -x + 6 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$ . Luego $y = 2(2) = 4$ .

💡 Explicación

El punto de intersección de dos funciones es el punto donde sus valores son iguales. Se resuelve igualando ambas expresiones.

Bloom: Understand

Un profesor muestra cómo cambia la apertura de una parábola según el valor absoluto del coeficiente $a$ .

¿Cuál de las siguientes parábolas es más "cerrada" o estrecha respecto al eje

y

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $f(x) = 5x^2$

A) $f(x) = x^2$ Esta es la parábola estándar.
B) $f(x) = 5x^2$ Correcto. A mayor valor absoluto de $a$ , más rápido crece la función y más estrecha es la curva.
C) $f(x) = 0.2x^2$ A menor valor absoluto de $a$ (entre 0 y 1), más ancha o abierta es la parábola.
D) $f(x) = -x^2$ Solo cambia la dirección hacia abajo, pero mantiene el mismo ancho que $x^2$ .

💡 Explicación

El coeficiente

a

actúa como un factor de estiramiento o compresión vertical. Valores grandes de

|a|

estrechan la parábola.

Bloom: Apply

Un arquitecto necesita la ecuación de una recta que represente el borde de un techo inclinado en una casa de La Antigua.

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos

(1, 4)

y

(3, 10)

?

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Respuesta correcta: B) $y = 3x + 1$

A) $y = 2x + 2$ La pendiente es $(10-4)/(3-1) = 6/2 = 3$ , no 2.
B) $y = 3x + 1$ Correcto. $m = 3$ . Sustituyendo $(1, 4)$ : $4 = 3(1) + b \Rightarrow b = 1$ .
C) $y = 3x + 7$ Error al calcular el intercepto $b$ .
D) $y = -3x + 13$ La pendiente es positiva.

💡 Explicación

Para hallar la ecuación entre dos puntos, primero se calcula la pendiente

m

y luego se usa la forma punto-pendiente o se despeja

b

sustituyendo un punto.

Bloom: Analyze

Un estudiante de física en Guatemala modela la altura de una pelota lanzada hacia arriba con la función $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ .

¿En qué tiempo

t

(en segundos) alcanza la pelota su altura máxima?

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Respuesta correcta: D) $2$ s

A) $4$ sEste es el tiempo total de vuelo aproximado, no el del punto máximo.
B) $10$ sError al aplicar la fórmula del vértice.
C) $1$ sIncorrecto. La altura sigue aumentando después de 1 segundo.
D) $2$ sCorrecto. $t_v = -20 / (2 \times -5) = -20 / -10 = 2$ .

💡 Explicación

En problemas de proyectiles, el tiempo para la altura máxima corresponde a la coordenada

t

del vértice de la parábola.

Bloom: Apply

Se estudian rectas paralelas en el diseño de una red eléctrica.

¿Cuál es la ecuación de la recta paralela a

y = 4x - 1

que pasa por el punto

(2, 5)

?

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Respuesta correcta: C) $y = 4x - 3$

A) $y = -1/4x + 5.5$ Esta sería una recta perpendicular, no paralela.
B) $y = 4x - 1$ Esta es la misma recta, no pasa por $(2, 5)$ .
C) $y = 4x - 3$ Correcto. Pendiente $m=4$ . $5 = 4(2) + b \Rightarrow 5 = 8 + b \Rightarrow b = -3$ .
D) $y = 4x + 3$ Error de signo al despejar el intercepto $b$ .

💡 Explicación

Rectas paralelas tienen la misma pendiente. Se utiliza la pendiente de la recta dada y el nuevo punto para hallar la ecuación de la nueva recta.

Bloom: Analyze

Un estudiante analiza el comportamiento de una función cuadrática para determinar su valor máximo.

¿Cuál es el valor máximo de la función

f(x) = -2x^2 + 8x - 3

?

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Respuesta correcta: D) $5$

A) $x = 2$ Este es el valor de $x$ donde ocurre el máximo, no el valor máximo de la función ( $y$ ).
B) $-3$ Este es el intercepto con $y$ , no el valor máximo.
C) $13$ Error en el cálculo al evaluar la función en el vértice.
D) $5$ Correcto. $x_v = -8 / (2 \times -2) = 2$ . Evaluando $f(2) = -2(4) + 8(2) - 3 = -8 + 16 - 3 = 5$ .

💡 Explicación

El valor máximo o mínimo de una función cuadrática es la coordenada

y

de su vértice (

y_v = f(x_v)

).

Bloom: Analyze

Un geómetra estudia la relación entre rectas perpendiculares en un plano de construcción.

Si la pendiente de una recta es

m_1 = -2/3

, ¿cuál es la pendiente de una recta perpendicular a ella?

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Respuesta correcta: A) $3/2$

A) $3/2$ Correcto. Las pendientes de rectas perpendiculares son recíprocas y opuestas ( $m_1 \cdot m_2 = -1$ ).
B) $-2/3$ Esta sería la pendiente de una recta paralela.
C) $2/3$ Solo se cambió el signo, no se invirtió la fracción.
D) $-3/2$ Se invirtió la fracción pero no se cambió el signo.

💡 Explicación

La condición de perpendicularidad entre dos rectas es que el producto de sus pendientes sea igual a

-1

.

Bloom: Apply

Un agrónomo en Guatemala utiliza una función cuadrática para modelar el rendimiento de una cosecha basado en la cantidad de fertilizante.

¿Cuáles son las raíces (ceros) de la función

f(x) = x^2 - 5x

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x = 0, x = 5$

A) $x = 0, x = 5$ Correcto. Factorizando $x(x - 5) = 0$ .
B) $x = 5, x = -5$ Esta es la solución de $x^2-25=0$ .
C) $x = 0, x = -5$ El factor es $(x-5)$ , por lo que la raíz es positiva.
D) $x = 1, x = 4$ Incorrecto. No satisfacen la ecuación.

💡 Explicación

Al faltar el término independiente, la función se factoriza fácilmente por factor común, indicando que una de las raíces es siempre cero.

Bloom: Evaluate

Un economista analiza el equilibrio entre la oferta (lineal) y el beneficio (cuadrático) de una empresa en Guatemala.

Dada la función de beneficio

B(x) = -x^2 + 10x - 16

, ¿en qué rango de producción

x

la empresa obtiene ganancias (beneficio

> 0

)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) Entre $x = 2$ y $x = 8$

A) Entre $x = 0$ y $x = 10$ Incorrecto. Se deben hallar las raíces de la función.
B) Para cualquier $x$ mayor que $8$ .Para $x > 8$ , el beneficio es negativo.
C) Solo para $x = 5$ .En $x=5$ se obtiene el beneficio máximo, pero hay ganancias en todo el intervalo $(2, 8)$ .
D) Entre $x = 2$ y $x = 8$ Correcto. Raíces: $-(x-2)(x-8) = 0 \Rightarrow x=2, x=8$ . Como abre hacia abajo, los valores positivos están entre las raíces.

💡 Explicación

La resolución de desigualdades cuadráticas se apoya en el hallazgo de las raíces y el análisis de la concavidad de la parábola.

Bloom: Evaluate

Un estudiante de ingeniería utiliza la forma canónica (vértice) de la parábola para identificar sus propiedades rápidamente.

¿Cuál es el vértice y el sentido de la parábola dada por

f(x) = 3(x - 4)^2 + 7

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) Vértice $(4, 7)$ , abre hacia arriba.

A) Vértice $(-4, 7)$ , abre hacia arriba.El signo dentro del paréntesis se invierte para el vértice.
B) Vértice $(4, 7)$ , abre hacia abajo. $a$ es positivo, debe abrir hacia arriba.
C) Vértice $(4, 7)$ , abre hacia arriba.Correcto. En la forma $a(x-h)^2 + k$ , el vértice es $(h, k)$ . Como $a=3 > 0$ , abre hacia arriba.
D) Vértice $(4, -7)$ , abre hacia arriba.El valor de $k$ conserva su signo en la coordenada del vértice.

💡 Explicación

La forma vértice de una función cuadrática permite identificar el punto extremo y la concavidad de manera inmediata sin necesidad de cálculos adicionales.

Bloom: Analyze

Un analista financiero estudia la intersección entre una función lineal de ingresos y una función cuadrática de costos.

¿En qué puntos se intersectan la recta

y = 2x + 1

y la parábola

y = x^2 - 2x + 4

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) En $(1, 3)$ y $(3, 7)$

A) Solo en $(1, 3)$ $x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x-1) = 0$ . Hay dos puntos.
B) En $(0, 1)$ y $(2, 5)$ Estos puntos no satisfacen la ecuación de la parábola.
C) En $(1, 3)$ y $(3, 7)$ Correcto. $x^2 - 2x + 4 = 2x + 1 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x=1, x=3$ . Evaluando en la recta: $y(1)=3, y(3)=7$ .
D) No se intersectan.Falso. El discriminante de la ecuación resultante es positivo ( $16 - 12 = 4$ ).

💡 Explicación

La intersección de funciones de distinto tipo se halla igualando sus expresiones y resolviendo la ecuación resultante (en este caso, cuadrática).

Bloom: Evaluate

Se plantea un problema sobre la determinación de una función cuadrática a partir de puntos específicos en su gráfica.

¿Cuál es la función cuadrática que tiene su vértice en

(0, 0)

y pasa por el punto

(2, 12)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $f(x) = 3x^2$

A) $f(x) = 6x^2$ $6(2)^2 = 6(4) = 24 \ne 12$ .
B) $f(x) = x^2 + 8$ El vértice de esta función no está en el origen.
C) $f(x) = 3x^2$ Correcto. Como el vértice es $(0,0)$ , la forma es $ax^2$ . $12 = a(2)^2 \Rightarrow 12 = 4a \Rightarrow a = 3$ .
D) $f(x) = 2x^2 + 4$ No cumple ninguna de las dos condiciones dadas.

💡 Explicación

Para determinar los coeficientes de una función, se utiliza la forma canónica o general y se sustituyen las coordenadas de los puntos conocidos para despejar las incógnitas.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?