Geometria Analitica Recta

Respuesta correcta: B) $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

• A) $d = (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$Esta fórmula suma las diferencias lineales, no es la distancia euclidiana.
• B) $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$Correcto. Es la aplicación del teorema de Pitágoras en el plano cartesiano.
• C) $d = \frac{x_1 + x_2}{2} + \frac{y_1 + y_2}{2}$Esta fórmula se asemeja al cálculo del punto medio, no a la distancia.
• D) $d = (x_2 + x_1)^2 - (y_2 + y_1)^2$Fórmula incorrecta para el cálculo de distancias.

Respuesta correcta: A) $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$

• A) $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$Correcto. El punto medio es el promedio de las coordenadas de los extremos.
• B) $M = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$Esto representa los componentes de un vector, no el punto medio.
• C) $M = (x_1 x_2, y_1 y_2)$El producto de coordenadas no define el punto medio.
• D) $M = \left( \frac{x_2 - x_1}{2}, \frac{y_2 - y_1}{2} \right)$Se usó resta en lugar de suma para el promedio.

Respuesta correcta: D) $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

• A) $m = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$La pendiente es la variación en $y$ sobre la variación en $x$, no al revés.
• B) $m = (y_2 - y_1)(x_2 - x_1)$El producto de las diferencias no define la inclinación.
• C) $m = y_2 + y_1 + x_2 + x_1$Fórmula incorrecta para la pendiente.
• D) $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$Correcto. Representa la razón de cambio vertical respecto al cambio horizontal.

Respuesta correcta: A) Forma general o normal

• A) Forma general o normalCorrecto. En esta forma, todos los términos se igualan a cero.
• B) Forma punto-pendienteLa forma punto-pendiente es $y - y_1 = m(x - x_1)$.
• C) Forma pendiente-interceptoEsta forma es $y = mx + b$.
• D) Forma simétricaLa forma simétrica es $x/a + y/b = 1$.

Respuesta correcta: B) $5$ unidades

• A) $7$ unidadesSumaste las diferencias (3+4) en lugar de usar la raíz de la suma de cuadrados.
• B) $5$ unidadesCorrecto. $\sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.
• C) $\sqrt{7}$ unidadesOlvidaste elevar al cuadrado las diferencias de las coordenadas.
• D) $25$ unidadesOlvidaste extraer la raíz cuadrada al final del proceso.

Respuesta correcta: B) $(1, 3)$

• A) $(2, 6)$No dividiste entre 2 después de sumar.
• B) $(1, 3)$Correcto. $M = ((-2+4)/2, (5+1)/2) = (2/2, 6/2) = (1, 3)$.
• C) $(3, 3)$Error al promediar las coordenadas $x$.
• D) $(-1, 2)$Error en los signos al realizar la suma de las coordenadas.

Respuesta correcta: A) $3$

• A) $3$Correcto. $m = (6 - (-3)) / (5 - 2) = 9 / 3 = 3$.
• B) $1$$(6 - (-3)) / (5 - 2) = 9 / 3 = 3$.
• C) $1/3$Dividiste la variación de $x$ entre la de $y$.
• D) $-3$Error en el manejo de signos al restar $-3$ de $6$.

Respuesta correcta: B) $y = -2x + 7$

• A) $y = -2x + 1$Error al calcular el intercepto $b$. El punto dado no es el intercepto con el eje $y$.
• B) $y = -2x + 7$Correcto. $y - 1 = -2(x - 3) \Rightarrow y = -2x + 6 + 1 \Rightarrow y = -2x + 7$.
• C) $y = 2x - 5$Se cambió el signo de la pendiente y hubo error en el intercepto.
• D) $y = -2x - 5$Error de signos al despejar la ecuación.

Respuesta correcta: C) Sus pendientes deben ser iguales ($m_1 = m_2$).

• A) Sus pendientes deben ser recíprocas y opuestas.Esta es la condición para que sean perpendiculares.
• B) El producto de sus pendientes debe ser igual a $1$.El producto de pendientes no tiene una regla simple para el paralelismo.
• C) Sus pendientes deben ser iguales ($m_1 = m_2$).Correcto. Si tienen la misma inclinación y diferentes interceptos, nunca se cortarán.
• D) Una pendiente debe ser el doble de la otra.Esto causaría que las rectas se intersecten en algún punto.

Respuesta correcta: C) $y = 3x$

• A) $y = 4x$Si $x=4, y=16 \ne 12$.
• B) $y = x + 8$No pasa por el origen $(0,0)$.
• C) $y = 3x$Correcto. Pendiente $m = 12/4 = 3$. Como pasa por el origen, $b=0$.
• D) $y = 12x$Pendiente incorrecta.

Respuesta correcta: A) $-3$

• A) $-3$Correcto. $(1/3) \times (-3) = -1$.
• B) $1/3$Pendientes iguales significan paralelismo.
• C) $3$Falta el cambio de signo (debe ser la opuesta de la recíproca).
• D) $-1/3$Solo se cambió el signo, falta invertir la fracción.

Respuesta correcta: C) $m = 2, b = 5$

• A) $m = 4, b = 10$No se despejó la variable $y$.
• B) $m = -2, b = -5$Error al manejar los signos durante el despeje de $y$.
• C) $m = 2, b = 5$Correcto. $2y = 4x + 10 \Rightarrow y = 2x + 5$.
• D) $m = 2, b = 10$Olvidaste dividir el término independiente por el coeficiente de $y$.

Respuesta correcta: D) $2$ unidades

• A) $10$ unidadesOlvidaste dividir por la magnitud del vector normal ($\sqrt{A^2+B^2}$).
• B) $1.5$ unidadesError en el cálculo aritmético del numerador o denominador.
• C) $5$ unidadesError al aplicar la fórmula de distancia de un punto a una recta.
• D) $2$ unidadesCorrecto. $d = |3(2) + 4(3) - 8| / \sqrt{3^2 + 4^2} = |6 + 12 - 8| / 5 = 10 / 5 = 2$.

Respuesta correcta: A) $1$

• A) $1$Correcto. La pendiente es igual a la tangente del ángulo de inclinación: $\tan(45^\circ) = 1$.
• B) $0$Esta sería la pendiente si el ángulo fuera $0^\circ$ (horizontal).
• C) $\sqrt{2}$Confundiste la tangente con el valor de las funciones seno o coseno evaluadas en otros ángulos.
• D) InfinitoEsta sería la pendiente si el ángulo fuera $90^\circ$ (vertical).

Respuesta correcta: A) $4x + 3y - 12 = 0$

• A) $4x + 3y - 12 = 0$Correcto. Multiplicando por 12: $4x + 3y = 12 \Rightarrow 4x + 3y - 12 = 0$.
• B) $3x + 4y - 1 = 0$No se realizó correctamente el producto por el mínimo común múltiplo.
• C) $4x + 3y - 1 = 0$Olvidaste multiplicar el término de la derecha por el denominador común.
• D) $3x + 4y - 12 = 0$Se intercambiaron los coeficientes de las variables.

Respuesta correcta: D) Sí, porque la pendiente entre $A$ y $B$ es igual a la pendiente entre $B$ y $C$.

• A) No, porque forman un triángulo de área pequeña.Si las pendientes son iguales, el área del triángulo formado por ellos es exactamente cero.
• B) Sí, porque las coordenadas $x$ aumentan de 1 en 1.Esto no garantiza colinealidad si las coordenadas $y$ no aumentan de manera proporcional.
• C) No, porque no hay una recta que pase por el origen.La colinealidad no depende de si la recta pasa o no por el origen.
• D) Sí, porque la pendiente entre $A$ y $B$ es igual a la pendiente entre $B$ y $C$.Correcto. $m_{AB} = (4-2)/(2-1) = 2$ y $m_{BC} = (6-4)/(3-2) = 2$.

Respuesta correcta: A) $(5, 3)$

• A) $(5, 3)$Correcto. $x_p = (1 + 2 \times 7) / (1 + 2) = 15/3 = 5$; $y_p = (1 + 2 \times 4) / (1 + 2) = 9/3 = 3$.
• B) $(4, 2.5)$Este es el punto medio (razón 1).
• C) $(3, 2)$Error al aplicar la fórmula de división de un segmento en una razón dada.
• D) $(4, 3)$Incorrecto. No satisface la razón de distancias requerida.

Respuesta correcta: D) $45^\circ$

• A) $30^\circ$30 grados exigiría que la tangente del ángulo fuera aproximadamente 0,58. Aquí |(m₂ - m₁)/(1 + m₁m₂)| = |(-3 - 2)/(1 + 2·(-3))| = |-5/-5| = 1, y el ángulo cuya tangente es 1 es 45 grados.
• B) $60^\circ$60 grados tiene tangente √3, y ese valor no aparece al aplicar la fórmula del ángulo entre rectas a estas dos pendientes.
• C) $90^\circ$Solo si el producto de pendientes fuera $-1$, pero $2 \times (-3) = -6$.
• D) $45^\circ$Correcto. $\tan(\theta) = |(m_2 - m_1) / (1 + m_1 m_2)| = |(-3 - 2) / (1 + (2)(-3))| = |-5 / -5| = 1$. $\arctan(1) = 45^\circ$.

Respuesta correcta: C) $(2, 1)$

• A) $(2.5, 0)$Este es el intercepto con $x$, no necesariamente el más cercano al origen.
• B) $(1, 3)$Este punto está en la recta, pero su distancia al origen ($\sqrt{10}$) es mayor que la de $(2,1)$ que es $\sqrt{5}$.
• C) $(2, 1)$Correcto. El punto más cercano está en la recta perpendicular que pasa por el origen ($y = 0.5x$). Intersección: $2x + 0.5x = 5 \Rightarrow 2.5x = 5 \Rightarrow x=2, y=1$.
• D) $(0, 5)$Este es el intercepto con $y$, más alejado que el punto perpendicular.

Respuesta correcta: C) $x + 2y - 9 = 0$

• A) $y = 2x - 3$Esta recta pasa por los puntos, no es la mediatriz.
• B) $2x + y - 9 = 0$Error al calcular la pendiente perpendicular.
• C) $x + 2y - 9 = 0$Correcto. Punto medio $M(3, 3)$. Pendiente $AB = 4/2 = 2$. Pendiente mediatriz $m = -1/2$. Ecuación: $y - 3 = -1/2(x - 3) \Rightarrow 2y - 6 = -x + 3 \Rightarrow x + 2y - 9 = 0$.
• D) $x - 2y + 3 = 0$Error en los signos de la ecuación general resultante.