Trigonometria Triangulos Rectangulos

Respuesta correcta: A) Seno

• A) SenoCorrecto. El seno es la razón opuesto/hipotenusa.
• B) CosenoEl coseno es adyacente/hipotenusa.
• C) TangenteLa tangente es opuesto/adyacente.
• D) SecanteLa secante es hipotenusa/adyacente.

Respuesta correcta: B) $a^2 + b^2 = c^2$

• A) $a + b = c$Esta relación no es correcta para los lados de un triángulo rectángulo.
• B) $a^2 + b^2 = c^2$Correcto. El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
• C) $a^2 + c^2 = b^2$La hipotenusa $c$ debe ser el término aislado en el lado derecho de la igualdad (siendo el lado más largo).
• D) $ab = c^2$El producto de los catetos no es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Respuesta correcta: A) $45^\circ$

• A) $45^\circ$Correcto. En un triángulo rectángulo isósceles, los catetos son iguales y la tangente del ángulo de $45^\circ$ es 1.
• B) $30^\circ$$\tan(30^\circ) = 1/\sqrt{3} \approx 0.577$.
• C) $60^\circ$$\tan(60^\circ) = \sqrt{3} \approx 1.732$.
• D) $90^\circ$La tangente de $90^\circ$ no está definida (tiende a infinito).

Respuesta correcta: A) $1/2$

• A) $1/2$Correcto. $\sin(30^\circ) = 0.5$.
• B) $\sqrt{3} / 2$Este es el valor del $\cos(30^\circ)$ o $\sin(60^\circ)$.
• C) $\sqrt{2} / 2$Este es el valor para $45^\circ$.
• D) $1$Este es el seno de $90^\circ$.

Respuesta correcta: A) $5$ m

• A) $5$ mCorrecto. $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
• B) $7$ mSumaste los catetos directamente, ignorando el teorema de Pitágoras.
• C) $25$ mOlvidaste extraer la raíz cuadrada al final.
• D) $12$ mMultiplicaste los catetos en lugar de aplicar el teorema.

Respuesta correcta: D) $8.66$ m

• A) $5.00$ mEste sería el resultado si usaras el coseno (distancia a la base).
• B) $10.00$ mLa altura no puede ser igual a la hipotenusa si hay un ángulo de inclinación.
• C) $7.07$ mEste valor corresponde al seno de $45^\circ$.
• D) $8.66$ mCorrecto. Altura = Hipotenusa $\times \sin(60^\circ) = 10 \times 0.866 = 8.66$.

Respuesta correcta: B) $45^\circ$

• A) $30^\circ$Esto requeriría que la altura fuera menor que la distancia horizontal.
• B) $45^\circ$Correcto. Si el opuesto y el adyacente son iguales, la tangente es 1, lo que corresponde a $45^\circ$.
• C) $60^\circ$Esto requeriría que la altura fuera mayor que la distancia horizontal.
• D) $90^\circ$Un avión no puede ascender verticalmente con una distancia horizontal de 1,000 m.

Respuesta correcta: A) $12.18$ m

• A) $12.18$ mCorrecto. Hipotenusa = Adyacente / $\cos(10^\circ) = 12 / 0.985 \approx 12.18$.
• B) $11.82$ mMultiplicaste por el coseno en lugar de dividir. La hipotenusa debe ser mayor que el cateto.
• C) $14.20$ mError al realizar la división o uso de una razón trigonométrica incorrecta.
• D) $2.12$ mEste valor es demasiado pequeño para ser la hipotenusa de una base de 12 m.

Respuesta correcta: A) $28.85$ m

• A) $28.85$ mCorrecto. Altura = Distancia $\times \tan(30^\circ) = 50 \times 0.577 = 28.85$.
• B) $25.00$ mEste sería el valor si usaras el seno de $30^\circ$ con una hipotenusa de 50.
• C) $43.30$ mEste valor corresponde a $50 \times \cos(30^\circ)$.
• D) $50.00$ mLa altura no puede ser igual a la distancia horizontal si el ángulo es de $30^\circ$.

Respuesta correcta: B) $0.342$

• A) $0.940$Este es el valor del $\sin(70^\circ)$ o $\cos(20^\circ)$.
• B) $0.342$Correcto. Por la propiedad de co-funciones, $\sin(\theta) = \cos(90^\circ - \theta)$.
• C) $1.000$El coseno solo es 1 para $0^\circ$.
• D) $0.500$Este es el valor para $60^\circ$ (coseno) o $30^\circ$ (seno).

Respuesta correcta: C) $0.8$

• A) $0.6$Este es el valor del seno ($6/10$).
• B) $0.75$Este es el valor de la tangente ($6/8$).
• C) $0.8$Correcto. Diagonal = $10$. $\cos(\theta) = \text{Adyacente} / \text{Hipotenusa} = 8/10 = 0.8$.
• D) $1.25$El coseno nunca puede ser mayor que 1.

Respuesta correcta: B) $13/12$

• A) $13/5$Esta es la secante (recíproca del coseno).
• B) $13/12$Correcto. Si $\cos = 5/13$, el opuesto es $12$ (por Pitágoras). $\sin = 12/13$, entonces $\csc = 13/12$.
• C) $12/13$Este es el valor del seno.
• D) $5/12$Este es el valor de la cotangente.

Respuesta correcta: A) $20$ m

• A) $20$ mComo $\tan 45^\circ = 1$, el cateto opuesto es igual al adyacente, así que la altura del árbol es $20$ m.
• B) $10$ mEl $10$ m sale de tomar la mitad de los $20$ m, pero en un ángulo de $45^\circ$ los catetos son iguales.
• C) $20\sqrt{2}$ mEl $20\sqrt{2}$ m es la hipotenusa, o sea la distancia visual desde el observador, no la altura.
• D) $14.14$ mEl $14.14$ m corresponde a $\tan 35^\circ$, no a un ángulo de $45^\circ$.

Respuesta correcta: B) $1$

• A) $0$La suma de cuadrados de seno y coseno vale $1$, nunca $0$; $0$ sólo saldría de $\sin \theta = \cos \theta = 0$, lo cual es imposible.
• B) $1$Por la identidad fundamental $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, sin importar el valor de $\theta$.
• C) $\tan^2(35^\circ)$$\tan^2\theta$ no es constante: para $\theta = 35^\circ$ vale aproximadamente $0.49$, y para $\theta = 0$ vale $0$.
• D) $2$El $2$ saldría de sumar los dos términos sin normalizarlos, pero los valores van de $0$ a $1$ y su suma es $1$.

Respuesta correcta: D) $\theta = \tan^{-1}(5/12)$

• A) $\theta = \sin^{-1}(5/12)$El seno usa la hipotenusa, no el cateto adyacente.
• B) $\theta = \cos^{-1}(12/5)$El argumento del coseno inverso no puede ser mayor que 1.
• C) $\theta = \tan(12/5)$Esto calcularía la tangente de un número, no el ángulo.
• D) $\theta = \tan^{-1}(5/12)$Correcto. La tangente relaciona opuesto y adyacente; se usa la función inversa para hallar el ángulo.

Respuesta correcta: A) $109.89$ m

• A) $109.89$ mEn el triángulo rectángulo, $\tan 20^\circ = \frac{40}{d}$, de donde $d = \frac{40}{0.364} \approx 109.89$ m.
• B) $14.56$ mEl $14.56$ m resulta de multiplicar $40 \times 0.364$, pero como $\tan 20^\circ < 1$ la distancia horizontal debe ser mayor que la altura.
• C) $80.20$ mLos $80.20$ m salen de una división mal calculada; $40 / 0.364$ no da ese resultado.
• D) $42.50$ mLos $42.50$ m no salen de $\frac{40}{0.364}$, que es la operación que impone el enunciado.

Respuesta correcta: C) $60$ m

• A) $30$ mEn un triángulo rectángulo la hipotenusa es siempre el lado mayor, así que no puede medir lo mismo que un cateto de $30$ m.
• B) $30\sqrt{3}$ mEl $30\sqrt{3}$ m es el cateto horizontal sobre el suelo, calculado como $30 / \tan 30^\circ$.
• C) $60$ mEl ángulo de Riga basta: $\sin 30^\circ = \frac{30}{H}$, luego $0.5 = 30/H$ y $H = 60$ m.
• D) $45$ mLos $45$ m no salen de $\frac{30}{\sin 30^\circ}$, que da $60$ m.

Respuesta correcta: C) Hipotenusa = $2x$, Cateto mayor = $x\sqrt{3}$

• A) Hipotenusa = $x\sqrt{2}$, Cateto mayor = $x$Estos valores corresponden al triángulo de $45^\circ$.
• B) Hipotenusa = $x+2$, Cateto mayor = $x+1$Las relaciones en trigonometría son multiplicativas, no aditivas.
• C) Hipotenusa = $2x$, Cateto mayor = $x\sqrt{3}$Correcto. En el triángulo 30-60-90, los lados guardan la proporción $1 : \sqrt{3} : 2$.
• D) Hipotenusa = $3x$, Cateto mayor = $2x$Incorrecto. No satisface el teorema de Pitágoras ni las razones trigonométricas.

Respuesta correcta: D) $30^\circ$

• A) $60^\circ$Para $60^\circ$ la sombra tendría que medir $\frac{2}{\sqrt{3}}$ m, y aquí mide más que la altura.
• B) $45^\circ$Para $45^\circ$ la sombra y la altura serían iguales, y aquí la sombra es mayor que el poste.
• C) $15^\circ$El $15^\circ$ corresponde a una tangente de unos $0.27$, mientras que aquí la razón es $0.577$.
• D) $30^\circ$$\tan \theta = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, y el ángulo cuya tangente es $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mide $30^\circ$.

Respuesta correcta: C) $6$ cm y $8$ cm

• A) $5$ cm y $5$ cmEl área sería 12.5 y la hipotenusa $\sqrt{50}$.
• B) $4$ cm y $12$ cmEl área es 24, pero la hipotenusa es $\sqrt{16+144} \ne 10$.
• C) $6$ cm y $8$ cmCorrecto. Área = $(6 \times 8) / 2 = 24$. Hipotenusa = $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$.
• D) $7$ cm y $7$ cmEl área sería 24.5 y la hipotenusa $\sqrt{98}$.