Potencias Raices Radicales

Respuesta correcta: C) $a^{m + n}$

• A) $a^{m \cdot n}$Esta propiedad corresponde a la potencia de una potencia, no al producto de potencias.
• B) $a^{m - n}$Esta propiedad corresponde al cociente de potencias de la misma base.
• C) $a^{m + n}$¡Correcto! Al multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes.
• D) $(2a)^{m+n}$La base se mantiene igual, no se multiplica por dos.

Respuesta correcta: C) $\frac{1}{a^n}$

• A) $-a^n$Un exponente negativo no hace que el resultado sea negativo, sino que indica un reciproco.
• B) $\sqrt[n]{a}$Esto representa una potencia con exponente fraccionario (1/n).
• C) $\frac{1}{a^n}$¡Correcto! El exponente negativo indica el inverso multiplicativo de la potencia con exponente positivo.
• D) $n \cdot a$Esto es una multiplicacion simple, no una operacion de potencia.

Respuesta correcta: D) $x$

• A) $\sqrt{x^2}$Aunque matematicamente es equivalente a x (para x positivo), la forma mas simplificada es x.
• B) $2\sqrt{x}$Esto representaria el doble del lado, no el area.
• C) $x^2$Esto seria el area si el lado midiera x, no la raiz de x.
• D) $x$¡Correcto! $(\sqrt{x})^2 = x$, asumiendo que x es un numero real no negativo.

Respuesta correcta: C) $3^n$

• A) $3 \cdot n$Esto representaria un crecimiento lineal, no exponencial.
• B) $n^3$Aqui la base varia, pero en el crecimiento bacteriano la base (tasa de crecimiento) es constante.
• C) $3^n$¡Correcto! Cada hora multiplicamos por 3, lo que genera una potencia de base 3.
• D) $\sqrt[3]{n}$Esto representaria un crecimiento extremadamente lento, no triplicado.

Respuesta correcta: B) $a^{2/3}$

• A) $a^{3/2}$El indice de la raiz va en el denominador, no en el numerador.
• B) $a^{2/3}$¡Correcto! El exponente del radicando es el numerador y el indice de la raiz el denominador.
• C) $a^6$Los exponentes no se multiplican de esta manera en las raices.
• D) $a^{1/3}$Se ha ignorado el exponente 2 que tiene la 'a' dentro de la raiz.

Respuesta correcta: D) $2^9$

• A) $2^6$Error al sumar exponentes en lugar de aplicar la potencia de una potencia correctamente.
• B) $2^{27}$Los exponentes se multiplican, no se elevan uno al otro ($3 \cdot 3 = 9$).
• C) $8^3$Aunque el valor es el mismo, la pregunta pide expresarlo como potencia de 2.
• D) $2^9$¡Correcto! El volumen es $(2^3)^3$. Multiplicando los exponentes tenemos $2^9$.

Respuesta correcta: A) $(1.1025)^t$

• A) $(1.1025)^t$¡Correcto! $(1.05)^2 = 1.1025$. La nueva base de la potencia es el cuadrado de la anterior.
• B) $(1.05)^4$Elevar la base al cuadrado no es lo mismo que duplicar el tiempo.
• C) $(2.10)^t$Duplicar la base no es lo mismo que elevarla al cuadrado.
• D) $1.05^{2t}$Esto seria equivalente si la base no cambiara, pero aqui se pide la nueva base.

Respuesta correcta: A) $a^2 b^3$

• A) $a^2 b^3$¡Correcto! Se divide cada exponente por el indice de la raiz (2).
• B) $a^2 b^2$El exponente de b deberia ser 3 (6 dividido por 2).
• C) $a^8 b^{12}$Los exponentes se dividen, no se multiplican por el indice.
• D) $a^4 b^6$No se ha aplicado la raiz cuadrada a los exponentes.

Respuesta correcta: B) 9

• A) 18Error al multiplicar la base por la fraccion.
• B) 9¡Correcto! La raiz cubica de 27 es 3, y 3 al cuadrado es 9.
• C) 3Este es solo el resultado de la raiz cubica de 27.
• D) 81Error al aplicar la potencia antes de la raiz de forma incorrecta.

Respuesta correcta: C) $8x^3$

• A) $2x^3$El coeficiente 2 tambien debe elevarse al cubo.
• B) $6x^3$Se ha multiplicado 2 por 3 en lugar de elevar 2 al cubo.
• C) $8x^3$¡Correcto! $2^3 = 8$ y $x^3 = x^3$.
• D) $8x$La variable x tambien debe mantener su exponente 3.

Respuesta correcta: B) $2\sqrt{5}$

• A) $2$No se puede dividir un entero por una raiz directamente de esta forma.
• B) $2\sqrt{5}$¡Correcto! Al multiplicar por $\sqrt{5}/\sqrt{5}$ queda $10\sqrt{5}/5$, que se simplifica a $2\sqrt{5}$.
• C) $10\sqrt{5}$Falta dividir por el denominador resultante tras la racionalizacion.
• D) $\sqrt{2}$Error en la simplificacion de los numeros enteros y la raiz.

Respuesta correcta: D) $8\sqrt{2}$

• A) $\sqrt{52}$No se pueden sumar los radicandos directamente.
• B) $8\sqrt{4}$Error al intentar sumar las raices y sus indices.
• C) $15\sqrt{2}$Se han multiplicado los coeficientes en lugar de sumarlos.
• D) $8\sqrt{2}$¡Correcto! $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Al sumar $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$ obtenemos $8\sqrt{2}$.

Respuesta correcta: C) $x^4$

• A) $x^2$Error al aplicar las potencias sucesivas.
• B) $x^3$Error en el calculo de la fraccion resultante.
• C) $x^4$¡Correcto! La expresion es $(x^{2/3})^6 = x^{(2/3) \cdot 6} = x^4$.
• D) $x^{12}$Se han multiplicado los exponentes internos sin considerar la raiz.

Respuesta correcta: A) 10 años

• A) 10 años¡Correcto! Al sustituir 10 queda $2^{-10/5} = 2^{-2} = 1/4$.
• B) 5 añosAl sustituir 5 queda 2^-1, que es la mitad, no la cuarta parte.
• C) 2 añosEste valor no produce una fraccion de potencia de 2 simple.
• D) 20 añosAl sustituir 20 queda 2^-4 = 1/16, mucho menor que la cuarta parte.

Respuesta correcta: C) $B > A$

• A) $A > B$$\sqrt{12}$ no es mayor que $\sqrt{18}$.
• B) $A = B$Los numeros dentro y fuera de la raiz no compensan exactamente la igualdad.
• C) $B > A$¡Correcto! $B = \sqrt{18}$ y $A = \sqrt{12}$. Claramente 18 > 12.
• D) No se pueden comparar porque son irracionales.Todos los numeros reales son comparables segun la ley de tricotomia.

Respuesta correcta: B) $3x \sqrt[3]{2x}$

• A) $3x \sqrt[3]{6}$Se ha olvidado la x que queda dentro de la raiz.
• B) $3x \sqrt[3]{2x}$¡Correcto! $54 = 27 \cdot 2$. $\sqrt[3]{27}=3$ y $\sqrt[3]{x^3}=x$. Quedan 2 y x dentro.
• C) $6x \sqrt[3]{2x}$La raiz cubica de 54 no es 6.
• D) $3 \sqrt[3]{2x^4}$No se ha extraído la variable x de la raiz.

Respuesta correcta: D) Siempre que $n$ sea impar.

• A) Siempre que $n$ sea par.Las raices de indice par de numeros negativos no son reales.
• B) Nunca, los numeros reales no pueden tener raices de numeros negativos.Esto solo es cierto para indices pares.
• C) Solo si $x$ es mayor que $-1$.El valor de x no importa, lo que importa es la paridad del indice n.
• D) Siempre que $n$ sea impar.¡Correcto! Las raices impares de numeros negativos existen en el conjunto de los reales (ej. raiz cubica de -8 es -2).

Respuesta correcta: C) $x^{7/8}$

• A) $x^{1/8}$Error al no acumular las potencias internas.
• B) $x^{3/2}$Error al sumar exponentes de forma incorrecta.
• C) $x^{7/8}$¡Correcto! Resolviendo de adentro hacia afuera: $(x \cdot x^{1/2})^{1/2} = (x^{3/2})^{1/2} = x^{3/4}$. Luego $(x \cdot x^{3/4})^{1/2} = (x^{7/4})^{1/2} = x^{7/8}$.
• D) $x^{1/2}$Se ha ignorado la estructura anidada de la expresion.

Respuesta correcta: B) La potencia se cuadruplica.

• A) La potencia se mantiene igual.Los cambios en V y R no se cancelan de esta manera.
• B) La potencia se cuadruplica.¡Correcto! $(\sqrt{2})^2 = 2$ (por el voltaje). Al dividir por $1/2$ (resistencia), el resultado total es $2 \cdot 2 = 4$.
• C) La potencia se duplica.Falta considerar el efecto de la reduccion de la resistencia.
• D) La potencia se reduce a la cuarta parte.Los factores de aumento y reduccion se han aplicado de forma invertida.

Respuesta correcta: A) $x = 5/3$

• A) $x = 5/3$¡Correcto! $2^x \cdot 2^{2(x-1)} = 2^3 \rightarrow x + 2x - 2 = 3 \rightarrow 3x = 5 \rightarrow x = 5/3$.
• B) $x = 1$$2^1 \cdot 4^0 = 2 \cdot 1 = 2$, no 8.
• C) $x = 2$$2^2 \cdot 4^1 = 4 \cdot 4 = 16$, no 8.
• D) $x = 3$$2^3 \cdot 4^2 = 8 \cdot 16 = 128$, no 8.