Ecuaciones Lineales Primer Grado — Matemáticas Grado 11, Guinea Ecuatorial

Bloom: Remember

Un estudiante del Instituto Carlos Lwanga de Bata estudia las propiedades de la igualdad para resolver ecuaciones.

¿Cual es el objetivo principal al resolver una ecuacion de primer grado con una incognita?

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Respuesta correcta: B) Despejar la incognita para encontrar su valor numerico.

A) Eliminar todas las variables de la ecuacion.Si eliminamos las variables, no podemos encontrar su valor.
B) Despejar la incognita para encontrar su valor numerico.¡Correcto! Resolver una ecuacion consiste en encontrar el valor de la variable que hace verdadera la igualdad.
C) Sumar todos los numeros de la ecuacion.Sumar los numeros es solo un paso intermedio, no el objetivo final.
D) Convertir la ecuacion en un polinomio de segundo grado.Las ecuaciones de primer grado no deben convertirse en segundo grado para ser resueltas.

💡 Explicación

Resolver una ecuacion lineal es un proceso algebraico donde se aplican operaciones inversas en ambos lados de la igualdad para aislar (despejar) la incognita. El valor obtenido es la solucion o raiz de la ecuacion.

Bloom: Remember

Un comerciante en Malabo usa una ecuacion simple para equilibrar sus gastos diarios: $x + 1500 = 5000$ Francos CFA.

¿Cual es el primer paso correcto para despejar

x

en la ecuacion

x + 1500 = 5000

?

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Respuesta correcta: B) Restar 1500 a ambos lados.

A) Sumar 1500 a ambos lados.Sumar aumentaria el valor en el lado izquierdo ( $x + 3000$ ), no despejaria la x.
B) Restar 1500 a ambos lados.¡Correcto! La operacion inversa de la suma es la resta.
C) Multiplicar por 1500 ambos lados.La multiplicacion no es la operacion inversa de la suma.
D) Dividir entre 1500 ambos lados.La division no cancelaria el termino sumado.

💡 Explicación

Para despejar una incognita, debemos "deshacer" las operaciones que le afectan. Si un numero esta sumando a la incognita, aplicamos la resta en ambos miembros de la igualdad para mantener el equilibrio de la ecuacion.

Bloom: Understand

En una papelería de Ebebiyin, el precio de un cuaderno es $x$ y el de tres cuadernos es $2400$ Francos CFA.

¿Que ecuacion lineal representa correctamente la situacion anterior?

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Respuesta correcta: C) $3x = 2400$

A) $x + 3 = 2400$ Esto diria que un cuaderno mas 3 unidades cuesta 2400.
B) $x / 3 = 2400$ Esto diria que la tercera parte de un cuaderno cuesta 2400.
C) $3x = 2400$ ¡Correcto! El precio de 3 cuadernos es 3 veces el precio de uno solo.
D) $x - 3 = 2400$ Esto no tiene relacion con la compra de multiples articulos.

💡 Explicación

El lenguaje algebraico permite traducir situaciones cotidianas a expresiones matematicas. En este caso, el costo total es el producto de la cantidad de articulos por el precio unitario.

Bloom: Understand

Un estudiante resuelve la ecuacion $2x - 10 = 0$ para encontrar el punto donde una funcion corta al eje X.

¿Cual es el valor de

x

que satisface la ecuacion

2x - 10 = 0

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $x = 5$

A) $x = -5$ Si x = -5, entonces 2(-5) - 10 = -20, no 0.
B) $x = 2$ Si x = 2, entonces 2(2) - 10 = -6, no 0.
C) $x = 5$ ¡Correcto! $2(5) - 10 = 10 - 10 = 0$ .
D) $x = 10$ Si x = 10, entonces 2(10) - 10 = 10, no 0.

💡 Explicación

Primero sumamos 10 a ambos lados:

2x = 10

. Luego dividimos entre 2:

x = 10/2 = 5

. Es importante verificar siempre la solucion sustituyendola en la ecuacion original.

Bloom: Understand

Un agricultor en Mongomo tiene una parcela rectangular cuyo perimetro es de 100 metros. El largo es el triple del ancho.

Si representamos el ancho como

x

, ¿cual es la ecuacion que permite encontrar las dimensiones de la parcela?

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Respuesta correcta: B) $2(x + 3x) = 100$

A) $x + 3x = 100$ Esto solo suma un ancho y un largo, pero el perimetro incluye los cuatro lados.
B) $2(x + 3x) = 100$ ¡Correcto! El perimetro es 2 veces la suma del ancho (x) y el largo (3x).
C) $x \cdot 3x = 100$ Esto representaria el area, no el perimetro.
D) $x^2 + (3x)^2 = 100$ Esto no corresponde a la formula del perimetro.

💡 Explicación

El perimetro de un rectangulo es

P = 2(largo + ancho)

. Al sustituir las relaciones dadas, obtenemos una ecuacion lineal de primer grado que describe la situacion geometrica.

Bloom: Apply

Un estudiante en Annobon resuelve la ecuacion $\frac{x}{2} + 5 = 11$ para calcular la cantidad de combustible necesaria para un bote.

Resuelve la ecuacion:

\frac{x}{2} + 5 = 11

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Respuesta correcta: C) $x = 12$

A) $x = 3$ Error al realizar las operaciones inversas.
B) $x = 6$ 6/2 + 5 = 3 + 5 = 8, no 11.
C) $x = 12$ ¡Correcto! $x/2 = 11 - 5 \rightarrow x/2 = 6 \rightarrow x = 12$ .
D) $x = 32$ Error en el orden de las operaciones al despejar.

💡 Explicación

Primero aislamos el termino que contiene la incognita restando 5 en ambos lados. Luego, como la

x

esta siendo dividida por 2, aplicamos la operacion inversa multiplicando ambos miembros por 2.

Bloom: Apply

Un tecnico en Ciudad de la Paz repara un sistema que sigue la ley $3(x - 4) = 18$ .

¿Cual es el valor de

x

en la ecuacion

3(x - 4) = 18

?

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Respuesta correcta: C) $x = 10$

A) $x = 6$ $3(6-4) = 3(2) = 6$ , no 18.
B) $x = 7.33$ Error al dividir o distribuir los terminos.
C) $x = 10$ ¡Correcto! $x - 4 = 18/3 \rightarrow x - 4 = 6 \rightarrow x = 10$ .
D) $x = 14$ $3(14-4) = 3(10) = 30$ , no 18.

💡 Explicación

Podemos resolverla de dos maneras: 1) Dividir todo entre 3 primero para simplificar el parentesis. 2) Aplicar la propiedad distributiva

3x - 12 = 18

y luego despejar. Ambos caminos llevan a

x = 10

.

Bloom: Apply

En una panaderia de Malabo, el costo de un pan mas $500$ Francos de envio es igual al doble del precio del pan.

Si

x

es el precio del pan, ¿cual es el valor de

x

segun la situacion planteada?

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Respuesta correcta: B) $500$ Francos

A) $250$ Francos $250 + 500 = 750$ , no es el doble de 250 ( $500$ ).
B) $500$ Francos¡Correcto! $500 + 500 = 1000$ , que es el doble de 500.
C) $1000$ Francos $1000 + 500 = 1500$ , no es el doble de 1000.
D) $750$ FrancosNo satisface la relacion de duplicidad planteada.

💡 Explicación

La ecuacion que modela el problema es

x + 500 = 2x

. Al restar

x

en ambos lados para despejar la incognita, obtenemos directamente que

500 = x

.

Bloom: Apply

Un estudiante en Evinayong resuelve la ecuacion $4x - 7 = x + 8$ .

¿Cual es el valor de

x

que satisface la ecuacion

4x - 7 = x + 8

?

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Respuesta correcta: C) $x = 5$

A) $x = 1$ $4(1)-7 = -3$ , mientras que $1+8=9$ . No coinciden.
B) $x = 3$ $4(3)-7 = 5$ , mientras que $3+8=11$ . No coinciden.
C) $x = 5$ ¡Correcto! $4(5)-7 = 13$ y $5+8=13$ .
D) $x = 15$ Error al realizar la division final tras agrupar terminos.

💡 Explicación

Agrupamos los terminos con

x

en el lado izquierdo:

4x - x = 3x

. Agrupamos los numeros en el derecho:

8 + 7 = 15

. Finalmente, dividimos

15/3

para obtener

x = 5

.

Bloom: Understand

Un profesor en Mongomo explica que algunas ecuaciones no tienen una sola solucion numerica simple.

¿Como se llama una ecuacion como

x + 1 = x + 1

, donde cualquier valor de

x

es una solucion valida?

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Respuesta correcta: C) Identidad

A) InecuacionUna inecuacion usa simbolos de desigualdad ( $<, >$ ).
B) ContradiccionUna contradiccion es una ecuacion que no tiene ninguna solucion.
C) Identidad¡Correcto! Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores de la variable.
D) Ecuacion cuadraticaEl grado de la variable es 1, no 2.

💡 Explicación

Las identidades son ecuaciones especiales donde ambos lados son expresiones equivalentes. Al intentar resolverlas, se llega a una afirmacion siempre verdadera como

0 = 0

o

1 = 1

.

Bloom: Apply

Un comerciante de cacao en Luba tiene dos tipos de sacos. Uno pesa $x$ kg y el otro pesa $5$ kg mas. Si juntos pesan $45$ kg, ¿cuanto pesa el saco mas ligero?

Plantea y resuelve la ecuacion para encontrar el peso del saco mas ligero.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $20$ kg

A) $25$ kgSi el ligero fuera 25, el pesado seria 30, sumando 55 kg.
B) $20$ kg¡Correcto! $x + (x + 5) = 45 \rightarrow 2x = 40 \rightarrow x = 20$ .
C) $15$ kgSi el ligero fuera 15, el pesado seria 20, sumando 35 kg.
D) $40$ kgEste es casi el peso total de ambos sacos.

💡 Explicación

Definimos las variables segun el enunciado:

x

(ligero) y

x+5

(pesado). La suma de ambos es 45. Al resolver la ecuacion lineal resultante, hallamos el valor de la incognita.

Bloom: Apply

Un estudiante en Malabo resuelve una ecuacion con incognitas en ambos lados: $5x - 8 = 2x + 7$ .

Encuentra el valor de

x

en la ecuacion

5x - 8 = 2x + 7

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $x = 5$

A) $x = -3$ Si x = -3, el lado izquierdo seria -23 y el derecho 1. No coinciden.
B) $x = 3$ Si x = 3, el lado izquierdo seria 7 y el derecho 13. No coinciden.
C) $x = 5$ ¡Correcto! $5x - 2x = 7 + 8 \rightarrow 3x = 15 \rightarrow x = 5$ .
D) $x = 15$ Error al realizar la division final.

💡 Explicación

Para resolver ecuaciones con la incognita en ambos miembros, agrupamos los terminos con

x

en un lado y los terminos independientes (numeros) en el otro, aplicando las reglas de transposicion de terminos.

Bloom: Analyze

Un ingeniero en Guinea Ecuatorial analiza una viga donde la carga se distribuye segun $\frac{2x - 3}{4} = 5$ .

¿Cual es el valor de

x

en la ecuacion

\frac{2x - 3}{4} = 5

?

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Respuesta correcta: C) $x = 11.5$

A) $x = 4$ $(2*4 - 3)/4 = 5/4$ , no 5.
B) $x = 10$ $(2*10 - 3)/4 = 17/4 = 4.25$ , no 5.
C) $x = 11.5$ ¡Correcto! $2x - 3 = 20 \rightarrow 2x = 23 \rightarrow x = 11.5$ .
D) $x = 23$ Olvido dividir por el coeficiente 2 al final.

💡 Explicación

Primero eliminamos el denominador multiplicando ambos lados por 4. Luego sumamos 3 para aislar el termino con

x

y finalmente dividimos por el coeficiente 2.

Bloom: Analyze

En un examen de la UNGE, se plantea una ecuacion que resulta en una identidad: $2(x + 3) = 2x + 6$ .

¿Cual es el conjunto de soluciones para la ecuacion

2(x + 3) = 2x + 6

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) Todos los numeros reales ( $\mathbb{R}$ ).

A) $x = 0$ El 0 es una solucion, pero no la unica.
B) No tiene solucion.Al contrario, cualquier numero sirve.
C) Todos los numeros reales ( $\mathbb{R}$ ).¡Correcto! Al simplificar queda 6 = 6, lo que significa que la igualdad es siempre verdadera.
D) $x = 3$ El 3 es una solucion, pero no la unica.

💡 Explicación

Una ecuacion que es verdadera para cualquier valor de la incognita se llama identidad. Al intentar resolverla, la incognita desaparece y llegamos a una afirmacion del tipo

a = a

.

Bloom: Analyze

Un estudiante en Evinayong resuelve una ecuacion con parentesis anidados: $2[3 - (x - 1)] = 4$ .

Encuentra el valor de

x

en la ecuacion

2[3 - (x - 1)] = 4

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $x = 2$

A) $x = 1$ $2[3 - 0] = 6$ , no 4.
B) $x = 2$ ¡Correcto! $2[3 - (2-1)] = 2[3-1] = 2[2] = 4$ .
C) $x = 4$ $2[3 - 3] = 0$ , no 4.
D) $x = 0$ $2[3 - (-1)] = 2[4] = 8$ , no 4.

💡 Explicación

Para resolver ecuaciones con parentesis y corchetes, trabajamos desde adentro hacia afuera eliminando signos de agrupacion y luego aplicamos las reglas normales de despeje.

Bloom: Apply

En un taller en Bata se plantea la ecuacion $\frac{x+2}{3} = \frac{x-1}{2}$ .

¿Cual es el valor de

x

en la ecuacion

\frac{x+2}{3} = \frac{x-1}{2}

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $x = 7$

A) $x = 1$ El lado derecho seria 0, pero el izquierdo 1.
B) $x = 5$ $7/3$ no es igual a $4/2$ .
C) $x = -1$ Los resultados de las fracciones no coinciden.
D) $x = 7$ ¡Correcto! $2(x+2) = 3(x-1) \rightarrow 2x+4 = 3x-3 \rightarrow x = 7$ .

💡 Explicación

Cuando tenemos una igualdad de dos razones (proporcion), podemos aplicar el producto cruzado: el numerador de una fraccion por el denominador de la otra. Esto convierte la ecuacion fraccionaria en una lineal entera.

Bloom: Evaluate

Se plantea una ecuacion contradictoria para analizar el pensamiento logico: $x + 5 = x + 10$ .

¿Cual es la interpretacion correcta de la ecuacion

x + 5 = x + 10

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) La ecuacion no tiene solucion (conjunto vacio).

A) $x = 5$ Si x = 5, tendriamos 10 = 15, lo cual es falso.
B) La ecuacion no tiene solucion (conjunto vacio).¡Correcto! Al restar x en ambos lados queda 5 = 10, una contradiccion imposible.
C) $x = 0$ Si x = 0, tendriamos 5 = 10, lo cual es falso.
D) $x = \infty$ El infinito no es un numero real que solucione esta contradiccion aritmetica.

💡 Explicación

Existen ecuaciones que no tienen solucion. Estas ocurren cuando la estructura de la ecuacion lleva a una contradiccion logica (como

5 = 10

). Esto indica que no hay ningun numero real que pueda satisfacer la igualdad.

Bloom: Evaluate

Un analista financiero en Bata estudia la depreciacion de una maquinaria que cuesta $10,000,000$ Francos CFA y pierde $500,000$ al año.

¿Despues de cuantos años el valor de la maquinaria sera de

2,500,000

Francos CFA?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 15 años

A) 10 añosPerderia 5 millones, quedando en 5 millones.
B) 15 años¡Correcto! $10M - 0.5M \cdot t = 2.5M \rightarrow 7.5M = 0.5M \cdot t \rightarrow t = 15$ .
C) 20 añosEl valor llegaria a cero despues de 20 años.
D) 5 añosDespues de 5 años valdria 7.5 millones.

💡 Explicación

Modelamos el valor final como una funcion lineal del tiempo:

V(t) = V_0 - d \cdot t

. Al igualar al valor deseado y resolver la ecuacion para

t

, obtenemos el tiempo transcurrido.

Bloom: Analyze

Un estudiante avanzado resuelve una ecuacion con multiples denominadores: $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ .

¿Cual es el valor de

x

en la ecuacion

\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10

?

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Respuesta correcta: B) $x = 12$

A) $x = 6$ $6/2 + 6/3 = 3 + 2 = 5$ , no 10.
B) $x = 12$ ¡Correcto! Multiplicando por el mcm (6): $3x + 2x = 60 \rightarrow 5x = 60 \rightarrow x = 12$ .
C) $x = 20$ $20/2 + 20/3 = 10 + 6.66 = 16.66$ , no 10.
D) $x = 5$ Error al sumar las fracciones de forma incorrecta.

💡 Explicación

Para resolver ecuaciones con fracciones, el metodo mas eficiente es multiplicar toda la ecuacion por el Minimo Comun Multiplo (MCM) de los denominadores. Esto elimina las fracciones y permite trabajar con numeros enteros.

Bloom: Evaluate

Un problema clasico de edades: La edad de Juan es el doble que la de Maria, y hace 5 años la suma de sus edades era 20.

¿Cual es la edad actual de Maria?

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Respuesta correcta: A) 10 años

A) 10 años¡Correcto! Si Maria tiene 10, Juan tiene 20. Hace 5 años tenian 5 y 15. $5 + 15 = 20$ .
B) 5 añosSi Maria tiene 5, Juan tiene 10. Hace 5 años Maria tendria 0 y Juan 5. La suma seria 5, no 20.
C) 15 añosSi Maria tiene 15, Juan tiene 30. Hace 5 años sumarian $10 + 25 = 35$ , no 20.
D) 20 añosEsto excede los valores de la suma dada.

💡 Explicación

Sea

x

la edad de Maria. Juan tiene

2x

. Hace 5 años: Maria

(x-5)

, Juan

(2x-5)

. La ecuacion es:

(x-5) + (2x-5) = 20

. Resolviendo:

3x - 10 = 20 \rightarrow 3x = 30 \rightarrow x = 10

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?