Sistemas Ecuaciones Lineales — Matemáticas Grado 11, Guinea Ecuatorial

Bloom: Remember

Un estudiante en el Colegio Nacional de Malabo repasa los conceptos sobre sistemas de ecuaciones.

¿Que representa la solucion de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas desde el punto de vista grafico?

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Respuesta correcta: A) El punto de interseccion entre las dos rectas.

A) El punto de interseccion entre las dos rectas.¡Correcto! Las coordenadas del punto donde se cruzan las rectas satisfacen ambas ecuaciones simultaneamente.
B) El area comprendida entre las dos rectas.El area no representa una solucion puntual (x, y) del sistema.
C) La suma de las pendientes de ambas rectas.Las pendientes determinan la inclinacion, pero su suma no es la solucion del sistema.
D) El punto donde ambas rectas cortan al eje Y.Esos son los terminos independientes, no necesariamente la solucion del sistema.

💡 Explicación

Cada ecuacion lineal en un sistema de

2 \times 2

representa una recta en el plano cartesiano. La solucion del sistema es el par ordenado

(x, y)

que pertenece a ambas rectas, es decir, su punto de contacto o interseccion.

Bloom: Remember

Un profesor en Bata explica los diferentes metodos algebraicos para resolver sistemas.

¿Cual de los siguientes NO es un metodo estandar para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

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Respuesta correcta: A) Metodo de Factorizacion por Termino Comun

A) Metodo de Factorizacion por Termino Comun¡Correcto! La factorizacion es una tecnica para simplificar expresiones o resolver ecuaciones de grado superior, no un metodo especifico de sistemas lineales.
B) Metodo de SustitucionEste es un metodo valido donde se despeja una variable y se sustituye en la otra.
C) Metodo de IgualacionEste es un metodo valido donde se despeja la misma variable en ambas ecuaciones.
D) Metodo de Reduccion (o Eliminacion)Este es un metodo valido donde se suman o restan las ecuaciones para eliminar una variable.

💡 Explicación

Existen varios metodos para resolver sistemas lineales: sustitucion, igualacion, reduccion y el metodo grafico. Tambien existen metodos matriciales como la Regla de Cramer. La factorizacion no es un metodo de resolucion de sistemas.

Bloom: Understand

Un comerciante en Ebebiyin vende arroz y azucar. Representa sus ventas con el sistema: $x + y = 10$ y $x - y = 2$ .

¿Cual es la solucion del sistema de ecuaciones

x + y = 10

y

x - y = 2

?

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Respuesta correcta: B) $x = 6, y = 4$

A) $x = 5, y = 5$ La resta seria 0, no 2.
B) $x = 6, y = 4$ ¡Correcto! $6+4=10$ y $6-4=2$ .
C) $x = 7, y = 3$ La resta seria 4, no 2.
D) $x = 8, y = 2$ La suma seria 10, pero la resta seria 6.

💡 Explicación

Este sistema es ideal para el metodo de reduccion. Al sumar ambas ecuaciones, la variable

y

se elimina:

2x = 12

, por tanto

x = 6

. Sustituyendo en la primera ecuacion, hallamos que

y = 4

.

Bloom: Understand

Un estudiante observa dos rectas paralelas graficadas en su cuaderno y se pregunta sobre su sistema de ecuaciones.

Si un sistema de ecuaciones lineales esta formado por dos rectas paralelas que nunca se cruzan, ¿cuantas soluciones tiene el sistema?

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Respuesta correcta: B) Ninguna solucion.

A) Una solucion unica.Para tener una solucion unica, las rectas deben cortarse en un punto.
B) Ninguna solucion.¡Correcto! Si no hay puntos de contacto, no hay valores que satisfagan ambas ecuaciones.
C) Infinitas soluciones.Esto ocurre si las rectas son coincidentes (una encima de la otra).
D) Dos soluciones.Dos rectas en un plano nunca pueden cortarse exactamente en dos puntos.

💡 Explicación

Un sistema sin solucion se llama "Sistema Incompatible". Graficamente, esto corresponde a rectas con la misma pendiente pero diferente ordenada en el origen, lo que las hace paralelas.

Bloom: Understand

Un tecnico en Malabo debe elegir el metodo mas eficiente para resolver: $y = 2x + 1$ y $3x + 2y = 16$ .

¿Cual de los siguientes metodos es el mas directo para resolver este sistema especifico?

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Respuesta correcta: D) Sustitucion

A) IgualacionRequeriria despejar y en la segunda ecuacion primero.
B) ReduccionRequeriria reordenar los terminos de la primera ecuacion primero.
C) GraficoEl metodo grafico es menos preciso para obtener valores exactos rapidamente.
D) Sustitucion¡Correcto! Como la primera ecuacion ya tiene la 'y' despejada, podemos sustituirla directamente en la segunda.

💡 Explicación

El metodo de sustitucion es preferible cuando una de las incognitas ya esta despejada en una de las ecuaciones. Al sustituir

2x + 1

en lugar de

y

en la segunda ecuacion, obtenemos una ecuacion de primer grado con una sola incognita.

Bloom: Apply

Un granjero en Mongomo tiene gallinas y cerdos. En total hay 15 cabezas y 40 patas.

¿Cual es el sistema de ecuaciones que permite hallar el numero de gallinas (

G

) y cerdos (

C

)?

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Respuesta correcta: D) $G + C = 15$ y $2G + 4C = 40$

A) $G + C = 40$ y $2G + 4C = 15$ Las cabezas (15) y patas (40) estan intercambiadas en la ecuacion.
B) $G + C = 15$ y $G + C = 40$ Esta contradiccion no tiene sentido biologico ni matematico.
C) $2G + 2C = 15$ y $4G + 4C = 40$ Error al asignar el numero de patas por animal.
D) $G + C = 15$ y $2G + 4C = 40$ ¡Correcto! Cada animal tiene 1 cabeza; las gallinas tienen 2 patas y los cerdos 4.

💡 Explicación

Este es un problema clasico de sistemas de ecuaciones. La primera ecuacion representa la cantidad total de individuos (cabezas) y la segunda representa la suma de una caracteristica diferenciada (patas).

Bloom: Apply

Un estudiante en Annobon resuelve el sistema $2x + 3y = 12$ y $x - y = 1$ mediante el metodo de igualacion.

Resuelve el sistema y encuentra el valor de

y

.

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Respuesta correcta: D) $y = 2$

A) $y = 1$ Si y=1, entonces x=2 (de la 2da eq). Probando en la 1ra: 2(2)+3(1)=7, no 12.
B) $y = 3$ Si y=3, entonces x=4. Probando en la 1ra: 2(4)+3(3)=17, no 12.
C) $y = 0$ No satisface ambas ecuaciones simultaneamente.
D) $y = 2$ ¡Correcto! Si y=2, entonces x=3. Probando en la 1ra: 2(3)+3(2)=6+6=12.

💡 Explicación

Al despejar

x

en la segunda ecuacion (

x = y + 1

) y sustituir en la primera:

2(y + 1) + 3y = 12 \rightarrow 2y + 2 + 3y = 12 \rightarrow 5y = 10 \rightarrow y = 2

. Luego

x = 2 + 1 = 3

.

Bloom: Understand

En un analisis de mercado en Luba, se encuentra que $2x + y = 20$ y $x + y = 15$ .

¿Cual es el valor de

x

que resuelve el sistema?

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Respuesta correcta: C) $x = 5$

A) $x = 10$ Si x=10, y seria 5 (de x+y=15), pero 2(10)+5=25, no 20.
B) $x = 15$ No satisface la primera ecuacion.
C) $x = 5$ ¡Correcto! Al restar las ecuaciones: (2x+y)-(x+y) = 20-15, por tanto x=5.
D) $x = 0$ No satisface ninguna de las dos ecuaciones.

💡 Explicación

Restar directamente las ecuaciones es un atajo del metodo de reduccion muy util cuando una variable tiene el mismo coeficiente en ambas (en este caso, la

y

tiene coeficiente 1).

Bloom: Apply

Un estudiante en Evinayong resuelve $x + 2y = 8$ y $x = y + 2$ .

¿Cuales son los valores de

(x, y)

que satisfacen el sistema?

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Respuesta correcta: B) $(4, 2)$

A) $(2, 0)$ 2+2(0)=2, no 8.
B) $(4, 2)$ ¡Correcto! 4+2(2)=8 y 4=2+2.
C) $(6, 1)$ 6+2=8, pero 6 no es 1+2.
D) $(2, 2)$ No satisface la primera ecuacion.

💡 Explicación

Sustituimos

x = y + 2

en la primera ecuacion:

(y + 2) + 2y = 8 \rightarrow 3y + 2 = 8 \rightarrow 3y = 6 \rightarrow y = 2

. Luego

x = 2 + 2 = 4

.

Bloom: Understand

Un profesor en Mongomo muestra un sistema donde $x + y = 5$ y $x + y = 7$ .

¿Como se describe este sistema de ecuaciones?

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Respuesta correcta: D) Incompatible

A) Compatible DeterminadoUn sistema determinado tiene una solucion única.
B) Compatible IndeterminadoUn sistema indeterminado tiene infinitas soluciones.
C) Linealmente dependienteLas ecuaciones son contradictorias, no dependientes una de la otra.
D) Incompatible¡Correcto! Es imposible que la misma suma de dos numeros de dos resultados distintos al mismo tiempo.

💡 Explicación

Un sistema incompatible ocurre cuando las condiciones son mutuamente excluyentes. Graficamente representa dos rectas paralelas que tienen la misma inclinacion pero nunca se tocan.

Bloom: Apply

Un ingeniero en el puerto de Malabo analiza dos flujos de carga: $3x + 2y = 18$ y $5x - 2y = 14$ .

¿Cual es el valor de

x

resultante de aplicar el metodo de reduccion a este sistema?

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Respuesta correcta: B) $x = 4$

A) $x = 2$ Error en la suma de las ecuaciones.
B) $x = 4$ ¡Correcto! Al sumar las ecuaciones las 'y' se cancelan: $8x = 32 \rightarrow x = 4$ .
C) $x = 8$ Error al realizar la division final.
D) $x = 1$ Valor muy alejado del resultado correcto.

💡 Explicación

El metodo de reduccion es muy eficiente cuando los coeficientes de una de las variables son opuestos (en este caso

+2

y

-2

). Al sumar las ecuaciones miembro a miembro, esa variable se elimina automaticamente.

Bloom: Apply

Un analista en Ciudad de la Paz estudia la oferta y demanda de un producto: $P = 50 - 2Q$ y $P = 10 + 3Q$ .

Encuentra el valor de equilibrio

Q

(cantidad) igualando ambas expresiones de precio

P

.

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Respuesta correcta: D) $Q = 8$

A) $Q = 10$ $50 - 20 = 30$ , pero $10 + 30 = 40$ . No coinciden.
B) $Q = 12$ Con Q = 12 la oferta da 50 - 2(12) = 26 mientras la demanda da 10 + 3(12) = 46. Los precios no coinciden, así que no hay equilibrio.
C) $Q = 5$ Con Q = 5 la oferta da 50 - 2(5) = 40 y la demanda 10 + 3(5) = 25. Como 40 no es igual a 25, tampoco hay equilibrio.
D) $Q = 8$ ¡Correcto! $50 - 2Q = 10 + 3Q \rightarrow 40 = 5Q \rightarrow Q = 8$ .

💡 Explicación

El punto de equilibrio en economia se halla resolviendo un sistema de ecuaciones por igualacion. Al igualar las dos expresiones del precio, determinamos la cantidad necesaria para que oferta y demanda coincidan.

Bloom: Analyze

En la UNGE se discute la clasificacion de sistemas. Se tiene el sistema: $x + y = 5$ y $2x + 2y = 10$ .

¿Como se clasifica este sistema de ecuaciones?

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Respuesta correcta: B) Sistema Indeterminado (infinitas soluciones).

A) Sistema Determinado (solucion unica).No tiene solucion unica porque las ecuaciones son dependientes.
B) Sistema Indeterminado (infinitas soluciones).¡Correcto! La segunda ecuacion es el doble de la primera; representan la misma recta.
C) Sistema Incompatible (sin solucion).Si tiene soluciones, de hecho, tiene infinitas.
D) Sistema No Lineal.Ambas ecuaciones son de primer grado, por lo que el sistema es lineal.

💡 Explicación

Cuando una ecuacion de un sistema es multiplo de la otra, el sistema tiene infinitas soluciones. Graficamente, las dos rectas estan una sobre otra (coincidentes). Se denomina Sistema Compatible Indeterminado.

Bloom: Analyze

Un estudiante en Evinayong resuelve un sistema de $3 \times 3$ mediante sustitucion progresiva.

Si

x = 2, y = 3z

y

x + y + z = 10

, ¿cual es el valor de

z

?

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Respuesta correcta: C) $z = 2$

A) $z = 1$ Al sustituir quedaria 2+3+1 = 6, no 10.
B) $z = 3$ Al sustituir quedaria 2+9+3 = 14, no 10.
C) $z = 2$ ¡Correcto! $2 + 3z + z = 10 \rightarrow 4z = 8 \rightarrow z = 2$ .
D) $z = 5$ Al sustituir quedaria 2+15+5 = 22, no 10.

💡 Explicación

Aunque es un sistema de tres variables, la estructura permite una resolucion rapida por sustitucion. Reemplazamos los valores conocidos o las relaciones en la ecuacion principal para reducirla a una sola variable.

Bloom: Analyze

Se plantea el sistema $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$ y $x + y = 10$ .

¿Cual es el valor de

y

que resuelve este sistema?

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Respuesta correcta: A) $y = 6$

A) $y = 6$ ¡Correcto! Si y=6, x=4. 4/2 + 6/3 = 2 + 2 = 4.
B) $y = 3$ x seria 7, 7/2 + 3/3 = 4.5, no 4.
C) $y = 9$ x seria 1, 0.5 + 3 = 3.5, no 4.
D) $y = 0$ x seria 10, 10/2 + 0 = 5, no 4.

💡 Explicación

Multiplicamos la primera ecuacion por el mcm (6) para obtener

3x + 2y = 24

. Usando la segunda

x = 10 - y

, sustituimos:

3(10 - y) + 2y = 24 \rightarrow 30 - 3y + 2y = 24 \rightarrow -y = -6 \rightarrow y = 6

.

Bloom: Apply

En un taller en Bata se usa el metodo grafico para aproximar la solucion de $y = x + 1$ y $y = -x + 5$ .

¿Cuales son las coordenadas del punto donde se cruzan estas dos rectas?

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Respuesta correcta: A) $(2, 3)$

A) $(2, 3)$ ¡Correcto! $3 = 2+1$ y $3 = -2+5$ .
B) $(1, 2)$ Satisface la 1ra pero no la 2da ( $2 \neq 4$ ).
C) $(3, 4)$ Satisface la 1ra pero no la 2da ( $4 \neq 2$ ).
D) $(0, 5)$ Satisface la 2da pero no la 1ra ( $5 \neq 1$ ).

💡 Explicación

Igualando las expresiones para

y

:

x + 1 = -x + 5 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2

. Sustituyendo en cualquiera de las originales hallamos

y = 3

.

Bloom: Evaluate

Se analiza el determinante de un sistema de $2 \times 2$ para predecir su comportamiento: $ax + by = e$ y $cx + dy = f$ .

¿Que condicion debe cumplir el determinante del sistema (

\Delta = ad - bc

) para que el sistema tenga una SOLUCION UNICA?

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Respuesta correcta: B) $\Delta \neq 0$

A) $\Delta = 0$ Si el determinante es cero, el sistema no tiene solucion unica (puede no tener ninguna o infinitas).
B) $\Delta \neq 0$ ¡Correcto! Un determinante distinto de cero garantiza que las rectas no son paralelas y por tanto se cortan en un punto.
C) $\Delta > 1$ No necesita ser mayor que 1, solo diferente de cero.
D) $\Delta$ debe ser un numero entero positivo.El determinante puede ser cualquier numero real excepto cero.

💡 Explicación

El determinante de la matriz de coeficientes es una herramienta poderosa. Si es diferente de cero, el sistema es "Compatible Determinado" y tiene una solucion unica que se puede hallar, por ejemplo, mediante la Regla de Cramer.

Bloom: Evaluate

Un sistema de riego en Guinea Ecuatorial se controla con las ecuaciones $x + ky = 4$ y $2x + 4y = 8$ .

¿Para que valor de

k

el sistema tiene infinitas soluciones?

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Respuesta correcta: A) $k = 2$

A) $k = 2$ ¡Correcto! Si k=2, la segunda ecuacion es exactamente el doble de la primera.
B) $k = 4$ Las rectas no serian proporcionales.
C) $k = 0$ Las rectas serian x=4 y 2x+4y=8, que se cortan en un solo punto.
D) $k = 1$ El sistema tendria una solucion unica.

💡 Explicación

Para que haya infinitas soluciones, los coeficientes de las variables y el termino independiente deben guardar la misma proporcion. Comparando los coeficientes de

x

(1 y 2) y los terminos independientes (4 y 8), vemos que la razon es 2. Por tanto,

4/k

debe ser 2, lo que implica

k=2

.

Bloom: Analyze

Un estudiante avanzado utiliza la Regla de Cramer para resolver: $x + 2y = 5$ y $3x - y = 1$ .

¿Cual es el valor del determinante principal del sistema (

\Delta

) para este sistema?

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Respuesta correcta: C) -7

A) 5Valor incorrecto del determinante.
B) 7Error de signo en el calculo de los productos cruzados.
C) -7¡Correcto! $\Delta = (1 \cdot -1) - (3 \cdot 2) = -1 - 6 = -7$ .
D) 0El determinante no es nulo, el sistema tiene solucion unica.

💡 Explicación

El determinante principal se calcula con los coeficientes de las incognitas:

\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

. Se multiplican los elementos de la diagonal principal y se resta el producto de la diagonal secundaria.

Bloom: Evaluate

Un problema de mezcla: En una refineria en Malabo se mezclan dos tipos de crudo, uno con $2\%$ de azufre y otro con $5\%$ , para obtener 100 barriles con $3\%$ de azufre.

¿Cuantos barriles del crudo al

2\%

(

x

) se necesitan?

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Respuesta correcta: D) 66.7 barriles

A) 33.3 barrilesError en el planteamiento de la proporcion.
B) 50 barrilesMezclar partes iguales de 2% y 5% daria 3.5%, no 3%.
C) 75 barrilesProduciria un crudo con menos del 3% de azufre.
D) 66.7 barriles¡Correcto! El sistema es $x + y = 100$ y $0.02x + 0.05y = 3$ . Al resolver, $x \approx 66.7$ .

💡 Explicación

Este problema requiere un sistema de dos ecuaciones: una para la cantidad total de barriles y otra para la cantidad total de azufre. Al resolverlo, determinamos la proporcion exacta de cada componente para lograr la mezcla deseada.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?