Ecuaciones Cuadraticas — Matemáticas Grado 11, Guinea Ecuatorial

Bloom: Remember

Un estudiante del Instituto Nacional Enrique Nvó Okenve de Malabo estudia la forma general de las ecuaciones de segundo grado.

¿Cual es la forma general de una ecuacion cuadratica con una incognita

x

?

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Respuesta correcta: A) $ax^2 + bx + c = 0$

A) $ax^2 + bx + c = 0$ ¡Correcto! Una ecuacion cuadratica tiene como mayor exponente el 2.
B) $ax + b = 0$ Esta es la forma general de una ecuacion lineal de primer grado.
C) $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ Esta es la forma de una ecuacion cubica o de tercer grado.
D) $a^2 + b^2 = c^2$ Este es el teorema de Pitagoras, no la forma de una ecuacion cuadratica.

💡 Explicación

Una ecuacion cuadratica o de segundo grado es aquella en la que el mayor exponente de la incognita es 2. Los coeficientes

a, b, c

son numeros reales y

a \neq 0

.

Bloom: Remember

Un profesor en Bata explica como determinar el numero de soluciones de una ecuacion cuadratica sin resolverla.

¿Como se llama la expresion

\Delta = b^2 - 4ac

que se encuentra dentro de la raiz en la formula general?

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Respuesta correcta: C) Discriminante

A) Coeficiente principalEl coeficiente principal es el numero 'a'.
B) Termino independienteEl termino independiente es la constante 'c'.
C) Discriminante¡Correcto! El discriminante determina la naturaleza de las raices de la ecuacion.
D) VerticeEl vertice es el punto maximo o minimo de la parabola asociada.

💡 Explicación

El discriminante (

\Delta

) es fundamental porque su signo nos indica cuantas soluciones reales tiene la ecuacion: si es positivo hay dos, si es cero hay una, y si es negativo no hay soluciones reales.

Bloom: Understand

Un arquitecto en Mongomo analiza la curvatura de un arco parabolico representado por $x^2 - 9 = 0$ .

¿Cuales son las raices o soluciones de la ecuacion incompleta

x^2 - 9 = 0

?

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Respuesta correcta: D) $x = 3$ y $x = -3$

A) $x = 3$ 3 es una solucion, pero falta la solucion negativa.
B) $x = 9$ y $x = -9$ El cuadrado de 9 es 81, no 9.
C) No tiene soluciones reales.Al ser un numero positivo bajo la raiz, si tiene soluciones.
D) $x = 3$ y $x = -3$ ¡Correcto! Al despejar queda $x^2 = 9$ , por lo que $x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$ .

💡 Explicación

Las ecuaciones de la forma

x^2 + c = 0

se pueden resolver despejando directamente la

x

y obteniendo la raiz cuadrada. Siempre generan dos soluciones de igual valor absoluto pero signo contrario (si

-c

es positivo).

Bloom: Understand

Un estudiante resuelve $x^2 + 5x = 0$ factorizando la incognita.

¿Cual es una de las soluciones de la ecuacion

x^2 + 5x = 0

?

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Respuesta correcta: D) $x = 0$

A) $x = 5$ Si x=5, tendriamos $25 + 25 = 50$ , no 0.
B) $x = 1$ Si x=1, tendriamos $1 + 5 = 6$ , no 0.
C) No tiene solucion.Esta ecuacion siempre tiene dos soluciones reales.
D) $x = 0$ ¡Correcto! Al factorizar $x(x+5)=0$ , una de las raices es siempre 0 en este tipo de ecuaciones.

💡 Explicación

En las ecuaciones incompletas de la forma

ax^2 + bx = 0

, siempre es posible extraer factor comun

x

, obteniendo

x(ax + b) = 0

. Esto implica que una solucion es

x = 0

y la otra es

x = -b/a

.

Bloom: Understand

Un tecnico en Malabo utiliza la formula general para resolver una ecuacion donde el discriminante es igual a cero.

Si el discriminante de una ecuacion cuadratica es

\Delta = 0

, ¿que podemos afirmar sobre sus soluciones?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) Tiene una unica solucion real (solucion doble).

A) Tiene dos soluciones reales y distintas.Esto ocurre si el discriminante es positivo.
B) Tiene una unica solucion real (solucion doble).¡Correcto! La parabola toca al eje X en un solo punto (el vertice).
C) No tiene ninguna solucion real.Esto ocurre si el discriminante es negativo.
D) Las soluciones son numeros imaginarios puros.Solo serian imaginarios si el discriminante fuera negativo.

💡 Explicación

Cuando

\Delta = 0

, en la formula general estamos sumando y restando cero, lo que produce el mismo resultado para ambas raices:

x = -b / (2a)

.

Bloom: Apply

Un jardinero en Ebebiyin quiere diseñar un cantero rectangular cuya area sea de $24$ $m^2$ y donde el largo sea $2$ metros mayor que el ancho.

Si el ancho es

x

, ¿cual es la ecuacion cuadratica que modela esta situacion?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x^2 + 2x - 24 = 0$

A) $x^2 + 2x - 24 = 0$ ¡Correcto! $x(x + 2) = 24 \rightarrow x^2 + 2x = 24$ .
B) $x + (x + 2) = 24$ Esto es una ecuacion lineal que suma dimensiones, no area.
C) $x^2 - 2x + 24 = 0$ Los signos del planteamiento son incorrectos.
D) $2x + 2 = 24$ Error en el planteamiento de la formula del area.

💡 Explicación

El area de un rectangulo es

base \cdot altura

. Al sustituir las condiciones dadas, obtenemos un trinomio de segundo grado igualado a una constante, que se reorganiza para quedar en su forma general.

Bloom: Apply

Un estudiante en Evinayong resuelve la ecuacion $x^2 - 5x + 6 = 0$ factorizando el trinomio.

¿Cuales son las soluciones de la ecuacion

x^2 - 5x + 6 = 0

?

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Respuesta correcta: B) $x = 2, x = 3$

A) $x = 1, x = 6$ Aunque 1*6=6, 1+6=7, no 5.
B) $x = 2, x = 3$ ¡Correcto! El trinomio se factoriza como $(x-2)(x-3)=0$ , por lo que x=2 y x=3.
C) $x = -2, x = -3$ Esto daria un termino central positivo (+5x).
D) $x = 0, x = 6$ No satisface la ecuacion original.

💡 Explicación

Para trinomios con coeficiente principal 1, buscamos dos numeros que multiplicados den el termino independiente (6) y sumados den el coeficiente central (-5). Luego, las soluciones son esos numeros con el signo cambiado.

Bloom: Apply

Se plantea la ecuacion $3x^2 - 12 = 0$ para encontrar los puntos criticos de un proceso en Malabo.

¿Cuales son las soluciones de la ecuacion

3x^2 - 12 = 0

?

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Respuesta correcta: D) $x = 2, x = -2$

A) $x = 4$ Falta la raiz negativa y extraer la raiz cuadrada de 4.
B) $x = 3, x = -3$ Error al dividir 12 entre 3.
C) $x = 12, x = -12$ No se ha despejado correctamente el coeficiente 3.
D) $x = 2, x = -2$ ¡Correcto! $3x^2 = 12 \rightarrow x^2 = 4 \rightarrow x = \pm 2$ .

💡 Explicación

Primero aislamos el termino con

x^2

dividiendo por 3. Obtenemos

x^2 = 4

. Al aplicar la raiz cuadrada en ambos lados, obtenemos dos valores reales que satisfacen la ecuacion.

Bloom: Apply

Un estudiante en Luba utiliza el metodo de completar el cuadrado para resolver $x^2 + 4x - 5 = 0$ .

Si escribimos

x^2 + 4x - 5 = 0

como

(x + 2)^2 - 9 = 0

, ¿cuales son las soluciones?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $x = 1, x = -5$

A) $x = 2, x = -2$ Error al despejar tras completar el cuadrado.
B) $x = 1, x = -5$ ¡Correcto! $(x+2)^2 = 9 \rightarrow x+2 = \pm 3$ . De ahi x=1 y x=-5.
C) $x = 3, x = -3$ Olvido considerar el desplazamiento +2 de la x.
D) $x = 5, x = -1$ Los signos estan invertidos.

💡 Explicación

Completar el cuadrado permite convertir un trinomio en una potencia perfecta igualada a una constante. Al despejar la base del parentesis mediante la raiz cuadrada, hallamos los dos posibles valores de la incognita.

Bloom: Understand

Un profesor en Mongomo explica que el producto de las raices de $ax^2 + bx + c = 0$ esta relacionado con el termino independiente.

¿Cual es el valor del producto de las raices (

x_1 \cdot x_2

) en una ecuacion cuadratica?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $c/a$

A) $-b/a$ Esta es la suma de las raices.
B) $-c/a$ No lleva signo negativo en la formula del producto.
C) $b/a$ Error conceptual en la relacion de coeficientes.
D) $c/a$ ¡Correcto! Segun las relaciones de Vieta, el producto es el termino independiente entre el principal.

💡 Explicación

Las formulas de Vieta vinculan las soluciones de un polinomio con sus coeficientes. Para una ecuacion de segundo grado, la suma es

-b/a

y el producto es

c/a

.

Bloom: Apply

Un ingeniero en el puerto de Malabo calcula la trayectoria de una pieza lanzada por una catapulta industrial, dada por $h(t) = -5t^2 + 20t$ .

¿En que tiempos

t

(en segundos) la altura

h

es igual a cero (el objeto esta en el suelo)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) A los $0$ y a los $4$ segundos.

A) Solo a los $4$ segundos.Falta el tiempo inicial del lanzamiento.
B) A los $0$ y a los $20$ segundos.Error al factorizar el coeficiente 5.
C) A los $0$ y a los $4$ segundos.¡Correcto! Al factorizar $-5t(t-4)=0$ , obtenemos t=0 y t=4.
D) A los $2$ segundos.Este es el tiempo donde alcanza la altura maxima, no donde cae.

💡 Explicación

Resolver para

h=0

en un modelo de proyectiles significa encontrar los puntos de contacto con el suelo. Es una ecuacion cuadratica incompleta que se resuelve facilmente por factorizacion.

Bloom: Apply

Un estudiante en Annobon usa la formula general para resolver $2x^2 - 4x - 6 = 0$ .

Encuentra las soluciones de la ecuacion

2x^2 - 4x - 6 = 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x = 3, x = -1$

A) $x = 3, x = -1$ ¡Correcto! Tras simplificar la ecuacion a $x^2 - 2x - 3 = 0$ , obtenemos (x-3)(x+1)=0.
B) $x = 1, x = -3$ Los signos estan invertidos.
C) $x = 2, x = -1$ No satisfacen la igualdad.
D) $x = 3, x = 1$ Error en el signo de una de las raices.

💡 Explicación

Es util simplificar la ecuacion dividiendo por el factor comun (2) antes de aplicar la formula general o factorizar. Esto reduce la magnitud de los numeros y facilita el calculo mental.

Bloom: Analyze

En la UNGE se estudia la naturaleza de las soluciones. Se sabe que una ecuacion cuadratica tiene soluciones reales si el discriminante no es negativo.

Para la ecuacion

x^2 - kx + 4 = 0

, ¿para que valor de

k

la ecuacion tiene una UNICA solucion real?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $k = 4$ (o $k = -4$ )

A) $k = 0$ El discriminante seria -16, no tendria soluciones reales.
B) $k = 2$ El discriminante seria $4 - 16 = -12$ .
C) $k = 4$ (o $k = -4$ )¡Correcto! El discriminante es $k^2 - 16$ . Para tener una sola solucion, $k^2 - 16 = 0$ .
D) $k = 16$ El discriminante seria positivo, dando dos soluciones.

💡 Explicación

Una ecuacion cuadratica tiene una solucion unica (doble) si su discriminante es exactamente cero. Resolviendo la ecuacion para el parametro

k

, determinamos bajo que condiciones ocurre esta situacion.

Bloom: Analyze

Un fisico en Guinea Ecuatorial analiza una onda sonora cuya presion varia como $P(t) = t^2 - 6t + 10$ .

¿Cuantas veces cruza la presion el valor cero (eje del tiempo)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Ninguna vez.

A) Ninguna vez.¡Correcto! El discriminante es $36 - 40 = -4$ . Al ser negativo, no hay raices reales.
B) Dos veces.No, el discriminante no es positivo.
C) Una vez.No, el discriminante no es cero.
D) Infinitas veces.Una parabola solo puede cruzar el eje un maximo de dos veces.

💡 Explicación

Al evaluar el discriminante de

t^2 - 6t + 10

, obtenemos

-4

. Como no se puede extraer la raiz cuadrada de un numero negativo en el campo de los reales, la funcion nunca llega a valer cero.

Bloom: Analyze

Un estudiante en Evinayong resuelve la ecuacion $\frac{x^2}{2} = 8$ para encontrar el lado de un triangulo.

¿Cual es el valor positivo de

x

en la ecuacion

\frac{x^2}{2} = 8

?

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Respuesta correcta: C) $x = 4$

A) $x = 16$ 16 es el valor de x^2, falta la raiz cuadrada.
B) $x = 8$ 8^2 / 2 = 32, no 8.
C) $x = 4$ ¡Correcto! $x^2 = 16 \rightarrow x = 4$ .
D) $x = \sqrt{8}$ Olvido multiplicar por 2 antes de extraer la raiz.

💡 Explicación

Primero despejamos

x^2

multiplicando por 2 en ambos lados. Luego aplicamos la raiz cuadrada. Como el contexto pide un valor positivo (lado de una figura), descartamos la solucion negativa.

Bloom: Apply

En un taller en Bata se factoriza la expresion $x^2 + 10x + 25 = 0$ para encontrar el punto de equilibrio.

¿Cual es la solucion de la ecuacion

x^2 + 10x + 25 = 0

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $x = -5$

A) $x = 5$ Al sustituir $x = 5$ : $25 + 50 + 25 = 100 \neq 0$ .
B) $x = 0$ Al sustituir $x = 0$ : $0 + 0 + 25 = 25 \neq 0$ .
C) $x = -10$ Al sustituir $x = -10$ : $100 - 100 + 25 = 25 \neq 0$ .
D) $x = -5$ $x^2 + 10x + 25$ es un trinomio cuadrado perfecto, $(x+5)^2 = 0$ , de donde $x = -5$ .

💡 Explicación

Cuando un trinomio es un cuadrado perfecto (como

x^2 + 10x + 25

), el discriminante es siempre cero y la ecuacion tiene una solucion unica que se halla directamente factorizando el binomio al cuadrado.

Bloom: Evaluate

Se plantea encontrar una ecuacion cuadratica a partir de sus soluciones conocidas.

¿Cual es la ecuacion cuadratica que tiene por soluciones

x_1 = 5

y

x_2 = -2

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x^2 - 3x - 10 = 0$

A) $x^2 - 3x - 10 = 0$ ¡Correcto! $(x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10$ .
B) $x^2 + 3x - 10 = 0$ Esta daria soluciones -5 y 2.
C) $x^2 - 10x + 3 = 0$ El producto de las raices debe ser -10.
D) $x^2 + 7x + 10 = 0$ Los signos no coinciden con las soluciones dadas.

💡 Explicación

Si conocemos las raices

r_1

y

r_2

, la ecuacion es

(x - r_1)(x - r_2) = 0

. Al expandir:

x^2 - (r_1 + r_2)x + (r_1 \cdot r_2) = 0

.

Bloom: Evaluate

Un analista en Ciudad de la Paz resuelve la ecuacion $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ , que es de cuarto grado pero reducible a cuadratica.

¿Cual es el conjunto de todas las soluciones reales de la ecuacion bicuadrada

x^4 - 5x^2 + 4 = 0

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $\{1, -1, 2, -2\}$

A) $\{1, 4\}$ Estas son las soluciones para x^2, falta extraer la raiz.
B) $\{1, 2\}$ Faltan las soluciones negativas.
C) $\{1, -1, 2, -2\}$ ¡Correcto! Haciendo $u=x^2$ queda $u^2-5u+4=0 \rightarrow u=1, u=4$ . Entonces $x=\pm 1, x=\pm 2$ .
D) No tiene soluciones reales.Si tiene, ya que los valores intermedios de u son positivos.

💡 Explicación

Las ecuaciones bicuadradas se resuelven mediante un cambio de variable

u = x^2

. Esto las transforma en una ecuacion cuadratica estandar. Tras hallar

u

, se deshace el cambio obteniendo las raices cuadradas.

Bloom: Analyze

Un arquitecto diseña un marco para una ventana en Malabo. El marco exterior mide $10 \times 8$ m y tiene un borde de ancho uniforme $x$ . El area del vidrio interior es de $48$ $m^2$ .

¿Cual es el ancho

x

del borde del marco?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $1$ metro

A) $1$ metro¡Correcto! $(10-2x)(8-2x) = 48 \rightarrow (8)(6) = 48$ .
B) $2$ metros $(10-4)(8-4) = 6 \cdot 4 = 24$ , no 48.
C) $0.5$ metrosEl area interior seria demasiado grande.
D) $1.5$ metrosNo satisface la ecuacion resultante.

💡 Explicación

Planteamos la ecuacion restando dos veces el ancho

x

a cada dimension exterior. Esto genera una ecuacion cuadratica

4x^2 - 36x + 32 = 0

. Resolviendo, obtenemos

x=1

(la otra solucion

x=8

es logicamente imposible).

Bloom: Evaluate

Un problema de numeros: La suma de los cuadrados de dos numeros naturales consecutivos es $25$ .

¿Cuales son esos dos numeros?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $3$ y $4$

A) $3$ y $4$ ¡Correcto! $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ .
B) $1$ y $2$ $1 + 4 = 5$ , no 25.
C) $2$ y $3$ $4 + 9 = 13$ , no 25.
D) $4$ y $5$ $16 + 25 = 41$ , no 25.

💡 Explicación

Sea

n

el primer numero. La ecuacion es

n^2 + (n+1)^2 = 25

. Al expandir:

2n^2 + 2n - 24 = 0 \rightarrow n^2 + n - 12 = 0

. Factorizando

(n+4)(n-3)=0

. Como son naturales,

n=3

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?