Funcion Lineal Afin — Matemáticas Grado 11, Guinea Ecuatorial

Bloom: Remember

Un estudiante en el Colegio Nacional Enrique Nvó Okenve de Malabo estudia la representacion algebraica de las funciones de primer grado.

¿Cual es la forma general de una funcion afin?

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Respuesta correcta: C) $f(x) = mx + n$

A) $f(x) = ax^2 + bx + c$ Esta es la forma de una funcion cuadratica, no afin.
B) $f(x) = a/x$ Esta es una funcion de proporcionalidad inversa.
C) $f(x) = mx + n$ ¡Correcto! Donde 'm' es la pendiente y 'n' es la ordenada en el origen.
D) $f(x) = \log(x)$ Esta es una funcion logaritmica.

💡 Explicación

Una funcion afin es una funcion polinómica de primer grado. Su representacion grafica es siempre una linea recta que no necesariamente pasa por el origen

(0,0)

. Los parametros

m

y

n

definen su inclinacion y su posicion vertical.

Bloom: Remember

Un profesor en Bata explica el significado geometrico de los coeficientes de la funcion lineal.

En la funcion

f(x) = mx + n

, ¿que indica el valor del parametro

m

?

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Respuesta correcta: D) La pendiente o inclinacion de la recta.

A) El punto donde la recta corta al eje Y.Eso lo indica la ordenada en el origen 'n'.
B) El punto donde la recta corta al eje X.El punto de corte con X se halla haciendo f(x)=0.
C) La curvatura de la grafica.Las rectas no tienen curvatura; son lineas con inclinacion constante.
D) La pendiente o inclinacion de la recta.¡Correcto! 'm' representa cuanto aumenta o disminuye 'y' por cada unidad que aumenta 'x'.

💡 Explicación

La pendiente

m

determina si la funcion es creciente (

m > 0

), decreciente (

m < 0

) o constante (

m = 0

). Es la razon de cambio entre las variables

y

y

x

.

Bloom: Understand

Un comerciante en Ebebiyin nota que sus ingresos siguen la funcion $I(x) = 2000x$ , donde $x$ es el numero de articulos vendidos.

¿Cual es el nombre especifico de una funcion como

I(x) = 2000x

que pasa por el origen

(0,0)

?

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Respuesta correcta: D) Funcion lineal (o de proporcionalidad directa)

A) Funcion constanteUna funcion constante tendria m = 0.
B) Funcion cuadraticaNo hay terminos elevados al cuadrado.
C) Funcion identidadLa identidad es f(x) = x, donde la pendiente es 1.
D) Funcion lineal (o de proporcionalidad directa)¡Correcto! Es un caso particular de funcion afin donde n = 0.

💡 Explicación

Aunque a menudo se usan como sinonimos, en rigor, una funcion lineal es la que pasa por el origen (

n=0

), representando una relacion de proporcionalidad directa entre las variables.

Bloom: Understand

Un estudiante identifica las caracteristicas de la funcion $f(x) = -3x + 5$ a partir de su ecuacion.

¿En que punto corta al eje Y la grafica de la funcion

f(x) = -3x + 5

?

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Respuesta correcta: C) $(0, 5)$

A) $(0, -3)$ -3 es la pendiente, no el punto de corte con Y.
B) $(5, 0)$ Este seria un punto sobre el eje X.
C) $(0, 5)$ ¡Correcto! La ordenada en el origen 'n' es 5, por lo que el punto es (0, 5).
D) $(0, 0)$ La funcion no pasa por el origen porque n es distinto de cero.

💡 Explicación

La ordenada en el origen

n

es el valor de la funcion cuando

x = 0

. Graficamente, corresponde al punto donde la recta cruza el eje vertical (Y).

Bloom: Understand

Un tecnico en Malabo analiza el consumo de combustible de un generador: $C(t) = 0.5t + 2$ , donde $t$ es el tiempo en horas y $C$ los litros.

¿Que significado tiene el numero

2

en el contexto del consumo de combustible?

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Respuesta correcta: D) Es el combustible inicial (litros) que ya habia en el deposito ( $t = 0$ ).

A) El generador consume 2 litros por cada hora.Esto lo indicaria la pendiente (0.5).
B) El generador se apaga a las 2 horas.No hay evidencia de eso en la formula lineal simple.
C) Es la capacidad maxima del deposito.La formula no indica un limite superior, solo el consumo actual.
D) Es el combustible inicial (litros) que ya habia en el deposito ( $t = 0$ ).¡Correcto! Es el valor inicial o condicion de partida de la funcion.

💡 Explicación

En modelos lineales, la ordenada en el origen representa el valor de la variable dependiente al inicio del proceso (cuando el tiempo o la cantidad base es cero). Es una constante de inicio.

Bloom: Apply

Un estudiante en Mongomo quiere hallar la pendiente de una recta que pasa por los puntos $A(1, 2)$ y $B(3, 8)$ .

¿Cual es el valor de la pendiente

m

para la recta que pasa por los puntos

(1, 2)

y

(3, 8)

?

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Respuesta correcta: B) $m = 3$

A) $m = 2$ Valor incorrecto tras aplicar la formula de la pendiente.
B) $m = 3$ ¡Correcto! $m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1) = (8 - 2) / (3 - 1) = 6 / 2 = 3$ .
C) $m = 6$ Olvido dividir por la diferencia de las x.
D) $m = 5$ No corresponde a la razon de cambio entre los puntos.

💡 Explicación

La pendiente se calcula como el cociente entre la variacion vertical (ordenadas) y la variacion horizontal (abcisas). Es la formula:

m = \frac{\Delta y}{\Delta x}

.

Bloom: Apply

Un topografo en Annobon determina que una rampa tiene una pendiente $m = -0.5$ y pasa por el punto $(0, 4)$ .

¿Cual es la ecuacion de la funcion que representa la rampa?

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Respuesta correcta: D) $f(x) = -0.5x + 4$

A) $f(x) = 4x - 0.5$ Se han intercambiado los valores de la pendiente y la ordenada.
B) $f(x) = -0.5x$ Esta funcion pasaria por el origen, pero la rampa empieza en 4.
C) $f(x) = 0.5x + 4$ La pendiente debe ser negativa segun el enunciado.
D) $f(x) = -0.5x + 4$ ¡Correcto! Sustituyendo m y n directamente en la forma general.

💡 Explicación

Conocer la pendiente y el punto de corte con el eje Y permite escribir directamente la ecuacion de la recta. Si el punto de corte es

(0, n)

, entonces

n

es la ordenada en el origen.

Bloom: Apply

Un analista en Malabo observa que la funcion $f(x) = 2x - 3$ aumenta sus valores a medida que $x$ crece.

¿Como se clasifica la funcion

f(x) = 2x - 3

segun su pendiente?

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Respuesta correcta: D) Estrictamente creciente

A) Estrictamente decrecienteEsto solo ocurriria si la pendiente fuera negativa.
B) Funcion constanteEsto requeriria una pendiente igual a cero.
C) Funcion cuadraticaEl exponente de la x es 1, no 2.
D) Estrictamente creciente¡Correcto! Al ser la pendiente m = 2 (positiva), la funcion siempre crece.

💡 Explicación

El signo de la pendiente determina la monotonia de la funcion lineal. Si

m > 0

, la funcion es creciente; si

m < 0

, es decreciente; y si

m = 0

, la funcion es constante y su grafica es una linea horizontal.

Bloom: Apply

Un estudiante en Evinayong resuelve la ecuacion $f(x) = 0$ para la funcion $f(x) = -2x + 10$ .

¿En que valor de

x

la funcion

f(x) = -2x + 10

corta al eje de las abcisas?

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Respuesta correcta: A) $x = 5$

A) $x = 5$ ¡Correcto! $-2(5) + 10 = 0$ .
B) $x = 10$ $f(10) = -20 + 10 = -10$ , no 0.
C) $x = -5$ $f(-5) = 10 + 10 = 20$ , no 0.
D) $x = 0$ En x=0 el valor de la funcion es 10.

💡 Explicación

El punto donde la funcion corta al eje X se halla igualando la expresion a cero. Este valor de

x

es la raiz de la funcion. Para funciones lineales, siempre existe una unica raiz (a menos que la funcion sea constante y no nula).

Bloom: Understand

Un profesor en Mongomo explica como identificar si un punto pertenece a una recta.

¿Cual de los siguientes puntos pertenece a la recta definida por

f(x) = 3x - 1

?

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Respuesta correcta: B) $(2, 5)$

A) $(1, 3)$ $3(1)-1 = 2$ , no 3.
B) $(2, 5)$ ¡Correcto! $3(2)-1 = 6-1 = 5$ .
C) $(0, 1)$ $3(0)-1 = -1$ , no 1.
D) $(3, 2)$ $3(3)-1 = 8$ , no 2.

💡 Explicación

Para verificar si un punto

(x, y)

pertenece a la grafica de una funcion, sustituimos la coordenada

x

en la formula y comprobamos si el resultado coincide con la coordenada

y

.

Bloom: Apply

Un ingeniero en el puerto de Malabo analiza dos cintas transportadoras cuyas trayectorias son $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = 2x + 5$ .

¿Como son las graficas de estas dos funciones entre si?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Son paralelas.

A) Son paralelas.¡Correcto! Tienen la misma pendiente (2) pero distinta ordenada en el origen.
B) Son perpendiculares.Para ser perpendiculares, el producto de sus pendientes deberia ser -1.
C) Se cortan en el origen.Ninguna de las dos pasa por el origen (n es 1 y 5).
D) Son la misma recta.Tienen diferentes ordenadas en el origen, por lo que son rectas distintas.

💡 Explicación

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente. Esto significa que mantienen la misma inclinacion y nunca se cruzaran, sin importar cuanto se prolonguen.

Bloom: Apply

Un analista en Ciudad de la Paz quiere hallar el punto de corte con el eje X (la raiz) de la funcion $f(x) = 4x - 12$ .

¿En que valor de

x

la funcion

f(x) = 4x - 12

corta al eje horizontal?

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Respuesta correcta: A) $x = 3$

A) $x = 3$ ¡Correcto! Haciendo $4x - 12 = 0 \rightarrow 4x = 12 \rightarrow x = 3$ .
B) $x = 12$ $4(12) - 12 = 36$ , no 0.
C) $x = -3$ $4(-3) - 12 = -24$ , no 0.
D) $x = 0$ En x=0 la funcion vale -12.

💡 Explicación

Para hallar el corte con el eje X, debemos igualar la funcion a cero (

f(x) = 0

) y resolver la ecuacion lineal resultante para

x

. Este valor se denomina raiz o cero de la funcion.

Bloom: Analyze

En la UNGE se estudia la relacion entre dos rectas perpendiculares. Se tiene una recta con ecuacion $y = 3x - 1$ .

¿Cual debe ser la pendiente de una segunda recta para que sea perpendicular a la primera?

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Respuesta correcta: B) $m = -1/3$

A) $m = 3$ Esta seria la pendiente de una recta paralela.
B) $m = -1/3$ ¡Correcto! El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares debe ser -1 ( $3 \cdot -1/3 = -1$ ).
C) $m = -3$ La pendiente debe ser la opuesta e inversa.
D) $m = 1/3$ Falta el cambio de signo para cumplir la condicion de perpendicularidad.

💡 Explicación

Dos rectas son perpendiculares (forman un angulo de 90 grados) si sus pendientes son inversas y opuestas. Algebraicamente:

m_1 \cdot m_2 = -1

.

Bloom: Analyze

Un estudiante en Evinayong observa que una funcion lineal $f(x)$ cumple que $f(1) = 5$ y $f(2) = 7$ .

¿Cual es la expresion de la funcion

f(x)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $f(x) = 2x + 3$

A) $f(x) = 2x + 1$ f(1) seria 3, no 5.
B) $f(x) = 2x + 3$ ¡Correcto! La pendiente es $(7-5)/(2-1) = 2$ . Luego $5 = 2(1) + n \rightarrow n = 3$ .
C) $f(x) = 3x + 2$ f(1) seria 5, pero f(2) seria 8, no 7.
D) $f(x) = x + 4$ f(2) seria 6, no 7.

💡 Explicación

Para hallar la ecuacion a partir de dos puntos

(x_1, y_1)

y

(x_2, y_2)

, primero calculamos la pendiente

m

y luego sustituimos uno de los puntos en la forma

y = mx + n

para hallar la ordenada

n

.

Bloom: Analyze

Un analista en Luba estudia la funcion inversa de $f(x) = 2x - 4$ .

¿Cual es la expresion de la funcion inversa

f^{-1}(x)

?

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Respuesta correcta: D) $f^{-1}(x) = (x + 4) / 2$

A) $f^{-1}(x) = -2x + 4$ Esto es solo cambiar los signos, no hallar la inversa funcional.
B) $f^{-1}(x) = 2x + 4$ Solo se ha cambiado el signo de la ordenada.
C) $f^{-1}(x) = x / 2 - 4$ Falta dividir el termino independiente por 2.
D) $f^{-1}(x) = (x + 4) / 2$ ¡Correcto! Despejando x: $y+4 = 2x \rightarrow x = (y+4)/2$ . Luego se intercambian las variables.

💡 Explicación

La funcion inversa "deshace" la operacion de la funcion original. Para hallarla algebraicamente, escribimos

y = f(x)

, despejamos la variable

x

en funcion de

y

, y finalmente intercambiamos los nombres de las variables.

Bloom: Apply

En un taller en Bata se determina que el coste de producir $x$ camisas es $C(x) = 500x + 1000$ Francos CFA.

¿Cual es el coste marginal (coste de producir una unidad adicional) segun esta funcion?

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Respuesta correcta: A) 500 Francos

A) 500 Francos¡Correcto! El coste marginal en una funcion lineal es el valor de la pendiente.
B) 1000 FrancosEste es el coste fijo, independiente de la produccion.
C) 1500 FrancosEsto es la suma de coste marginal y coste fijo.
D) 501 FrancosError conceptual sobre la pendiente.

💡 Explicación

En funciones de costo lineales, la pendiente representa el costo marginal, es decir, cuanto aumenta el costo total por cada unidad extra producida. La ordenada en el origen representa los costos fijos.

Bloom: Evaluate

Un analista financiero en Bata compara dos planes de telefonia. El Plan A cuesta $10$ Francos por minuto. El Plan B tiene un costo fijo de $1000$ Francos mas $5$ Francos por minuto.

¿A partir de cuantos minutos de conversacion empieza a ser mas barato el Plan B?

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Respuesta correcta: C) 200 minutos

A) 100 minutosA los 100 min ambos cuestan 1000. Pero el Plan A no tiene costo fijo.
B) 150 minutosA los 150 min el Plan A es mas barato (1500 vs 1750).
C) 200 minutos¡Correcto! $10x = 1000 + 5x \rightarrow 5x = 1000 \rightarrow x = 200$ .
D) 500 minutosEl ahorro comienza mucho antes.

💡 Explicación

Este es un problema clasico de comparacion de funciones afines. Igualamos las dos funciones (

10x

y

5x + 1000

) para encontrar el "punto de equilibrio". Superado ese valor, la funcion con menor pendiente (Plan B) resulta mas economica.

Bloom: Evaluate

Se analiza el dominio y el recorrido (rango) de las funciones afines en el conjunto de los numeros reales.

¿Cual es el recorrido de cualquier funcion afin

f(x) = mx + n

siempre que

m \neq 0

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) El conjunto de todos los numeros reales ( $\mathbb{R}$ ).

A) El conjunto de todos los numeros reales ( $\mathbb{R}$ ).¡Correcto! Una recta con pendiente no nula se extiende infinitamente en ambas direcciones del eje Y.
B) Solo los numeros reales positivos.Las rectas pueden tomar valores negativos.
C) El intervalo $[n, \infty)$ .Esto seria para algunas funciones cuadraticas, no para rectas.
D) Un solo numero real.Esto solo ocurriria si m = 0 (funcion constante).

💡 Explicación

Las funciones afines no constantes son funciones biyectivas de

\mathbb{R}

en

\mathbb{R}

. Esto significa que para cualquier valor de

x

hay un

y

, y que todos los valores de

y

son alcanzados por algun

x

.

Bloom: Analyze

Un estudiante en Malabo estudia la composicion de funciones: $f(x) = 2x + 3$ y $g(x) = x - 1$ .

¿Cual es la expresion resultante de la funcion compuesta

(f \circ g)(x)

?

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Respuesta correcta: B) $2x + 1$

A) $2x + 2$ Error al realizar la sustitucion o simplificacion.
B) $2x + 1$ ¡Correcto! $f(g(x)) = f(x - 1) = 2(x - 1) + 3 = 2x - 2 + 3 = 2x + 1$ .
C) $2x - 1$ Error de signo en la operacion final.
D) $3x + 2$ Se han sumado las funciones en lugar de componerlas.

💡 Explicación

La composicion de funciones

(f \circ g)(x)

consiste en aplicar la funcion

f

al resultado de la funcion

g

. En el caso de funciones afines, el resultado de la composicion es siempre otra funcion afin.

Bloom: Evaluate

Un geólogo mide la temperatura del suelo en una mina de Guinea Ecuatorial. A nivel de superficie ( $0$ m) es de $25^\circ C$ , y aumenta $3^\circ C$ por cada $100$ metros de profundidad.

¿Que profundidad se ha alcanzado si la temperatura medida es de

40^\circ C

?

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Respuesta correcta: A) 500 metros

A) 500 metros¡Correcto! $T(d) = 25 + (3/100)d$ . Si $40 = 25 + 0.03d \rightarrow 15 = 0.03d \rightarrow d = 500$ .
B) 300 metrosEl aumento seria de 9 grados, totalizando 34.
C) 400 metrosEl aumento seria de 12 grados, totalizando 37.
D) 1000 metrosLa temperatura seria de 55 grados.

💡 Explicación

Este problema requiere modelar una situacion fisica mediante una funcion afin, donde la temperatura inicial es la ordenada en el origen y la tasa de aumento es la pendiente. Luego se resuelve la ecuacion para hallar el valor de la variable independiente (profundidad).

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?