Un estudiante de bachillerato en el Estado de México está aprendiendo a identificar los componentes de un término algebraico.
En la expresión algebraica -5x³y², ¿cuál es el coeficiente numérico?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: C)-5
💡 Explicación
Un término algebraico consta de cuatro elementos: signo, coeficiente, literal (base) y exponente. En el término -5x³y², el signo es "-", el coeficiente es 5 (tomados juntos como -5), las literales son x e y, y los exponentes son 3 y 2.
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Respuesta correcta: C)-5
A)5El coeficiente incluye el signo negativo.
B)3Este es el exponente de la literal x.
C)-5El coeficiente es el número con su respectivo signo que acompaña a las literales.
D)-5xEl coeficiente solo incluye la parte numérica, no las variables.
💡 Explicación
Un término algebraico consta de cuatro elementos: signo, coeficiente, literal (base) y exponente. En el término -5x³y², el signo es "-", el coeficiente es 5 (tomados juntos como -5), las literales son x e y, y los exponentes son 3 y 2.
Pregunta 2
Pregunta 2 · D4Bloom: Understand
Una papelería en Puebla vende cuadernos (c) a $25 pesos y lápices (l) a $5 pesos.
¿Qué expresión algebraica representa el costo total de comprar "x" cuadernos y "y" lápices?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)25x + 5y
💡 Explicación
Para expresar un costo total, multiplicamos el precio unitario de cada producto por la cantidad adquirida de dicho producto. En este caso, 25 pesos por x cuadernos (25x) más 5 pesos por y lápices (5y).
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Respuesta correcta: B)25x + 5y
A)25 + 5Esto solo suma los precios unitarios, no considera las cantidades.
B)25x + 5yMultiplicamos el precio de cada artículo por su cantidad respectiva y los sumamos.
C)30xyNo se deben multiplicar las variables entre sí ni por la suma de los precios.
D)(25+5)(x+y)Esto multiplicaría la suma de los precios por la suma de las cantidades, lo cual es incorrecto.
💡 Explicación
Para expresar un costo total, multiplicamos el precio unitario de cada producto por la cantidad adquirida de dicho producto. En este caso, 25 pesos por x cuadernos (25x) más 5 pesos por y lápices (5y).
Pregunta 3
Pregunta 3 · D4Bloom: Remember
Durante un concurso de conocimientos en Morelos, se pide clasificar expresiones según su número de términos.
¿Cómo se clasifica la expresión algebraica 3x² - 5x + 2?
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Respuesta correcta: D)Trinomio
💡 Explicación
Las expresiones algebraicas se clasifican por la cantidad de términos: Monomio (1), Binomio (2), Trinomio (3) y Polinomio (en general, pero suele usarse para 4 o más). Dado que 3x², -5x y +2 son tres términos distintos, es un trinomio.
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Respuesta correcta: D)Trinomio
A)MonomioUn monomio tiene un solo término.
B)BinomioUn binomio tiene exactamente dos términos.
C)Término independienteEsto solo se refiere al número que no tiene variable (el 2).
D)TrinomioLa expresión tiene tres términos separados por signos de suma o resta.
💡 Explicación
Las expresiones algebraicas se clasifican por la cantidad de términos: Monomio (1), Binomio (2), Trinomio (3) y Polinomio (en general, pero suele usarse para 4 o más). Dado que 3x², -5x y +2 son tres términos distintos, es un trinomio.
Pregunta 4
Pregunta 4 · D4Bloom: Understand
Un sastre en Tlaxcala utiliza una fórmula para calcular el perímetro de un terreno rectangular destinado a su taller.
Si el largo del terreno es "L" y el ancho es "A", ¿cuál es la expresión para el perímetro?
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Respuesta correcta: C)2L + 2A
💡 Explicación
El perímetro de cualquier figura es la suma de las longitudes de todos sus lados. Un rectángulo tiene dos lados iguales llamados largo y dos lados iguales llamados ancho. Por lo tanto, P = L + L + A + A = 2L + 2A.
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Respuesta correcta: C)2L + 2A
A)L * AEsto representa el área del rectángulo, no el perímetro.
B)L + AEsto es solo la suma de dos lados (semiperímetro).
C)2L + 2AEl perímetro es la suma de los cuatro lados: L + L + A + A.
D)L² + A²Esto se relaciona con el teorema de Pitágoras, no con el perímetro.
💡 Explicación
El perímetro de cualquier figura es la suma de las longitudes de todos sus lados. Un rectángulo tiene dos lados iguales llamados largo y dos lados iguales llamados ancho. Por lo tanto, P = L + L + A + A = 2L + 2A.
Pregunta 5
Pregunta 5 · D6Bloom: Apply
Un estudiante en un examen en Querétaro debe simplificar una expresión reduciendo términos semejantes.
Para reducir términos semejantes, sumamos o restamos los coeficientes de los términos que tienen exactamente las mismas literales con los mismos exponentes. 4x² y 2x² son semejantes (6x²). -3y y 7y son semejantes (4y). El término constante -5 no tiene semejantes.
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Respuesta correcta: B)6x² + 4y - 5
A)6x⁴ + 4y² - 5Los exponentes no se suman al reducir términos semejantes.
B)6x² + 4y - 5(4x² + 2x²) = 6x²; (-3y + 7y) = 4y; el -5 se mantiene igual.
C)10x²y - 5No se pueden sumar términos con diferentes literales (x² y y).
D)6x² - 10y - 5Error al operar los signos: -3 + 7 es 4 positivo.
💡 Explicación
Para reducir términos semejantes, sumamos o restamos los coeficientes de los términos que tienen exactamente las mismas literales con los mismos exponentes. 4x² y 2x² son semejantes (6x²). -3y y 7y son semejantes (4y). El término constante -5 no tiene semejantes.
Pregunta 6
Pregunta 6 · D6Bloom: Apply
Se requiere calcular el valor numérico de una expresión que modela la ganancia de una microempresa en Hidalgo.
¿Cuál es el valor numérico de la expresión 2a² - 3b + 5 cuando a = 3 y b = -2?
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Respuesta correcta: A)29
💡 Explicación
Sustituimos los valores: 2(3)² - 3(-2) + 5. Primero elevamos al cuadrado: 2(9) - 3(-2) + 5. Realizamos las multiplicaciones: 18 + 6 + 5. Finalmente sumamos: 29. Es crucial recordar que menos por menos da más.
C)11Error al no elevar al cuadrado o al manejar los signos negativos.
D)7Error en el orden de las operaciones o en la sustitución.
💡 Explicación
Sustituimos los valores: 2(3)² - 3(-2) + 5. Primero elevamos al cuadrado: 2(9) - 3(-2) + 5. Realizamos las multiplicaciones: 18 + 6 + 5. Finalmente sumamos: 29. Es crucial recordar que menos por menos da más.
Pregunta 7
Pregunta 7 · D6Bloom: Apply
Un ingeniero agrícola en Sinaloa calcula el área de una sección de cultivo expresada como el producto de dos binomios.
Realiza la multiplicación de los siguientes binomios: (x + 3)(x - 5)
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Respuesta correcta: C)x² - 2x - 15
💡 Explicación
Usamos la propiedad distributiva (método FOIL): multiplicamos los primeros términos (x \times x = x²), los externos (x \times -5 = -5x), los internos (3 \times x = 3x) y los últimos (3 \times -5 = -15). Reducimos términos semejantes: -5x + 3x = -2x. El resultado es x² - 2x - 15.
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Respuesta correcta: C)x² - 2x - 15
A)x² - 15Falta el término lineal obtenido al multiplicar los términos medios y extremos.
D)2x - 2No se realizó la multiplicación correctamente, esto parece una suma.
💡 Explicación
Usamos la propiedad distributiva (método FOIL): multiplicamos los primeros términos (x \times x = x²), los externos (x \times -5 = -5x), los internos (3 \times x = 3x) y los últimos (3 \times -5 = -15). Reducimos términos semejantes: -5x + 3x = -2x. El resultado es x² - 2x - 15.
Pregunta 8
Pregunta 8 · D6Bloom: Apply
Un estudiante en Chiapas practica la división de un polinomio entre un monomio.
¿Cuál es el resultado de dividir (12x⁴ - 8x³ + 4x²) entre 4x²?
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Respuesta correcta: A)3x² - 2x + 1
💡 Explicación
Dividimos cada término del polinomio por el monomio 4x². Para los coeficientes: 12/4=3, -8/4=-2, 4/4=1. Para las literales, restamos los exponentes: x⁴⁻²=x², x³⁻²=x, x²⁻²=x⁰=1. El resultado es 3x² - 2x + 1.
B)3x⁶ - 2x⁵ + 1En la división los exponentes se restan, no se suman.
C)3x² - 2xSe olvidó incluir el resultado de 4x² / 4x², que es 1.
D)8x² - 4x + 0Error al restar los coeficientes en lugar de dividirlos.
💡 Explicación
Dividimos cada término del polinomio por el monomio 4x². Para los coeficientes: 12/4=3, -8/4=-2, 4/4=1. Para las literales, restamos los exponentes: x⁴⁻²=x², x³⁻²=x, x²⁻²=x⁰=1. El resultado es 3x² - 2x + 1.
Pregunta 9
Pregunta 9 · D6Bloom: Understand
En un taller de robótica en la CDMX, se utiliza una expresión para describir la velocidad de un motor.
Identifica el grado absoluto del siguiente polinomio: 5x³y⁴ - 2x⁵y + 8x²y⁶
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Respuesta correcta: A)8
💡 Explicación
El grado absoluto de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos. Calculamos el grado de cada término sumando sus exponentes: T1 (3+4=7), T2 (5+1=6), T3 (2+6=8). El grado absoluto es 8.
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Respuesta correcta: A)8
A)8El tercer término tiene una suma de exponentes de 2+6=8, que es la mayor.
B)5Este es el grado respecto a la variable x.
C)6Este es el mayor exponente individual de la variable y.
D)7Es la suma de exponentes del primer y segundo término, pero no el mayor.
💡 Explicación
El grado absoluto de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos. Calculamos el grado de cada término sumando sus exponentes: T1 (3+4=7), T2 (5+1=6), T3 (2+6=8). El grado absoluto es 8.
Pregunta 10
Pregunta 10 · D6Bloom: Apply
Se requiere elevar un binomio al cuadrado para calcular el área de una plaza circular en Villahermosa.
Desarrolla el siguiente binomio al cuadrado: (2x + 3)²
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Respuesta correcta: A)4x² + 12x + 9
💡 Explicación
Usamos la regla del binomio al cuadrado: (a + b)² = a² + 2ab + b². Aquí a = 2x y b = 3. Por lo tanto: (2x)² = 4x², el doble producto es 2(2x)(3) = 12x, y 3² = 9. Sumando todo: 4x² + 12x + 9.
B)4x² + 9Falta el término del doble producto del primero por el segundo.
C)4x² + 6x + 9El doble producto es 2*2x*3 = 12x, no 6x.
D)2x² + 12x + 6Error al elevar al cuadrado los términos del binomio.
💡 Explicación
Usamos la regla del binomio al cuadrado: (a + b)² = a² + 2ab + b². Aquí a = 2x y b = 3. Por lo tanto: (2x)² = 4x², el doble producto es 2(2x)(3) = 12x, y 3² = 9. Sumando todo: 4x² + 12x + 9.
Pregunta 11
Pregunta 11 · D8Bloom: Analyze
Un analista financiero en Monterrey simplifica una expresión racional que representa el costo promedio de producción.
El numerador x² - 9 es una diferencia de cuadrados perfectos. Se factoriza como el producto de binomios conjugados: (x + 3)(x - 3). Al dividir esta expresión por el denominador (x + 3), los términos iguales se cancelan, dejando como resultado x - 3.
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Respuesta correcta: B)x - 3
A)x + 3x² - 9 es una diferencia de cuadrados que resulta en (x+3)(x-3). Al dividir por (x+3) queda (x-3).
B)x - 3(x+3)(x-3) / (x+3) = x - 3.
C)x - 9No se puede simplificar restando términos directamente.
D)x² - 3Error en el proceso de simplificación algebraica.
💡 Explicación
El numerador x² - 9 es una diferencia de cuadrados perfectos. Se factoriza como el producto de binomios conjugados: (x + 3)(x - 3). Al dividir esta expresión por el denominador (x + 3), los términos iguales se cancelan, dejando como resultado x - 3.
Pregunta 12
Pregunta 12 · D8Bloom: Analyze
Se presenta un reto matemático sobre la factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
¿Cuál es la factorización correcta de x² - 10x + 25?
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Respuesta correcta: C)(x - 5)²
💡 Explicación
Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma a² ± 2ab + b². Aquí a² = x² (a = x) y b² = 25 (b = 5). El término medio es -10x, que corresponde a -2ab (-2 x 5). Por lo tanto, la factorización es (a - b)², es decir, (x - 5)².
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Respuesta correcta: C)(x - 5)²
A)(x + 5)²Esto resultaría en x² + 10x + 25.
B)(x + 5)(x - 5)Esto resultaría en x² - 25.
C)(x - 5)²Es un trinomio cuadrado perfecto donde el término medio es negativo.
D)(x - 10)(x - 2.5)No corresponde a la factorización de un trinomio cuadrado perfecto.
💡 Explicación
Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma a² ± 2ab + b². Aquí a² = x² (a = x) y b² = 25 (b = 5). El término medio es -10x, que corresponde a -2ab (-2 x 5). Por lo tanto, la factorización es (a - b)², es decir, (x - 5)².
Pregunta 13
Pregunta 13 · D8Bloom: Analyze
En un curso de cálculo en la UNAM, se requiere factorizar por término común para resolver un límite.
Factoriza completamente la expresión: 6x³y² - 9x²y³ + 3x²y²
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: D)3x²y²(2x - 3y + 1)
💡 Explicación
Buscamos el Máximo Común Factor (MCF). Para los coeficientes (6, 9, 3) es 3. Para las literales, tomamos el menor exponente: x² y y². El MCF es 3x²y². Dividimos cada término original por este MCF para obtener los términos dentro del paréntesis.
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Respuesta correcta: D)3x²y²(2x - 3y + 1)
A)3xy(2x²y - 3xy² + xy)El factor común puede ser mayor (3x²y²).
B)3x²y²(2x - 3y)Se olvidó incluir el +1 resultante de dividir el último término por el factor común.
C)x²y²(6x - 9y + 3)El coeficiente 3 también es un factor común.
D)3x²y²(2x - 3y + 1)El Máximo Común Factor es 3x²y².
💡 Explicación
Buscamos el Máximo Común Factor (MCF). Para los coeficientes (6, 9, 3) es 3. Para las literales, tomamos el menor exponente: x² y y². El MCF es 3x²y². Dividimos cada término original por este MCF para obtener los términos dentro del paréntesis.
Pregunta 14
Pregunta 14 · D8Bloom: Apply
Un arquitecto en Guadalajara diseña un jardín cuya área está dada por A = x² + 7x + 10.
Si el área se expresa como el producto de (base * altura), ¿cuáles son las expresiones para el largo y el ancho del jardín?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: D)(x + 5) y (x + 2)
💡 Explicación
Factorizamos el trinomio de la forma x² + bx + c. Buscamos dos números que multiplicados den 10 (término constante) y sumados den 7 (coeficiente del término lineal). Esos números son 5 y 2. Por tanto, la expresión factorizada es (x + 5)(x + 2).
Ver respuesta
Respuesta correcta: D)(x + 5) y (x + 2)
A)(x + 10) y (x + 1)El producto es correcto pero la suma daría 11x, no 7x.
B)(x - 5) y (x - 2)La suma daría -7x y el producto +10.
C)(x + 7) y (x + 10)Error en la lógica de factorización.
D)(x + 5) y (x + 2)5 * 2 = 10 y 5 + 2 = 7. Cumple con la forma x² + (a+b)x + ab.
💡 Explicación
Factorizamos el trinomio de la forma x² + bx + c. Buscamos dos números que multiplicados den 10 (término constante) y sumados den 7 (coeficiente del término lineal). Esos números son 5 y 2. Por tanto, la expresión factorizada es (x + 5)(x + 2).
Pregunta 15
Pregunta 15 · D8Bloom: Analyze
Un estudiante de preparatoria en San Luis Potosí debe simplificar una suma de fracciones algebraicas.
Simplifica la expresión: (2 / x) + (3 / 2x)
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)7 / 2x
💡 Explicación
Para sumar fracciones con distinto denominador, buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores x y 2x, que es 2x. Convertimos la primera fracción: 2/x = 4/2x. Ahora sumamos: 4/2x + 3/2x = 7/2x.
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)7 / 2x
A)5 / 2xError al sumar numeradores sin tener el mismo denominador común.
B)7 / 2xDenominador común es 2x. (4/2x) + (3/2x) = 7/2x.
C)5 / 3xNo se pueden sumar denominadores directamente.
D)6 / 2x²Error en el proceso de suma de fracciones.
💡 Explicación
Para sumar fracciones con distinto denominador, buscamos el mínimo común múltiplo de los denominadores x y 2x, que es 2x. Convertimos la primera fracción: 2/x = 4/2x. Ahora sumamos: 4/2x + 3/2x = 7/2x.
Pregunta 16
Pregunta 16 · D8Bloom: Analyze
Se plantea un problema sobre la diferencia de cubos para un examen avanzado en la CDMX.
¿Cuál es la factorización de la expresión x³ - 8?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: D)(x - 2)(x² + 2x + 4)
💡 Explicación
Usamos la fórmula para la diferencia de cubos: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). Aquí a = x y b = 2 (ya que 2³ = 8). Sustituyendo obtenemos: (x - 2)(x² + x(2) + 2²), que simplificado es (x - 2)(x² + 2x + 4).
Ver respuesta
Respuesta correcta: D)(x - 2)(x² + 2x + 4)
A)(x - 2)³El desarrollo de un cubo de un binomio es más complejo.
B)(x - 2)(x² - 2x + 4)El signo del segundo término del trinomio debe ser positivo.
C)(x + 2)(x² - 2x + 4)Esta es la factorización de x³ + 8.
D)(x - 2)(x² + 2x + 4)Aplicación correcta de la fórmula a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
💡 Explicación
Usamos la fórmula para la diferencia de cubos: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²). Aquí a = x y b = 2 (ya que 2³ = 8). Sustituyendo obtenemos: (x - 2)(x² + x(2) + 2²), que simplificado es (x - 2)(x² + 2x + 4).
Pregunta 17
Pregunta 17 · D10Bloom: Analyze
Un programador en una empresa de software en Monterrey optimiza una expresión algebraica compleja para un motor gráfico.
Factorizamos todas las partes: x² - 4 = (x - 2)(x + 2) y x² - 4x + 4 = (x - 2)². La expresión queda: [ (x - 2)(x + 2) / (x - 2)² ] * [ (x - 2) / (x + 2) ]. Cancelamos términos arriba y abajo: un (x+2) con un (x+2), y los dos (x-2) de arriba con el (x-2)² de abajo. El resultado final es 1.
B)x + 2No es el resultado final tras todas las cancelaciones.
C)(x - 2) / (x + 2)Error en la simplificación de los términos factorizados.
D)(x² - 4)Resultado incorrecto.
💡 Explicación
Factorizamos todas las partes: x² - 4 = (x - 2)(x + 2) y x² - 4x + 4 = (x - 2)². La expresión queda: [ (x - 2)(x + 2) / (x - 2)² ] * [ (x - 2) / (x + 2) ]. Cancelamos términos arriba y abajo: un (x+2) con un (x+2), y los dos (x-2) de arriba con el (x-2)² de abajo. El resultado final es 1.
Pregunta 18
Pregunta 18 · D10Bloom: Evaluate
Se evalúa la habilidad para completar un trinomio cuadrado perfecto, una técnica esencial para la geometría analítica.
Para que la expresión x² + 12x + k sea un trinomio cuadrado perfecto, ¿cuál debe ser el valor de la constante k?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: D)36
💡 Explicación
Para completar un trinomio cuadrado perfecto de la forma x² + bx + c, el valor de c debe ser (b/2)². En este caso, b = 12. Calculamos (12 / 2)² = 6² = 36. Así, x² + 12x + 36 = (x + 6)².
Ver respuesta
Respuesta correcta: D)36
A)6Se debe elevar a la mitad del coeficiente lineal al cuadrado, no solo dividirlo.
B)12El valor de k no es igual al coeficiente de x.
C)24Error en el cálculo.
D)36(12/2)² = 6² = 36.
💡 Explicación
Para completar un trinomio cuadrado perfecto de la forma x² + bx + c, el valor de c debe ser (b/2)². En este caso, b = 12. Calculamos (12 / 2)² = 6² = 36. Así, x² + 12x + 36 = (x + 6)².
Pregunta 19
Pregunta 19 · D10Bloom: Analyze
Un estudiante de ingeniería en el IPN resuelve una división de polinomios usando la división sintética.
¿Cuál es el residuo de dividir el polinomio P(x) = x³ - 2x² + x - 5 entre (x - 2)?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)-3
💡 Explicación
Según el Teorema del Residuo, el residuo de dividir un polinomio P(x) entre (x - a) es igual a P(a). En este caso, a = 2. Sustituimos x=2 en x³ - 2x² + x - 5: (2)³ - 2(2)² + (2) - 5 = 8 - 8 + 2 - 5 = -3.
D)7Error al sustituir el valor en el teorema del residuo.
💡 Explicación
Según el Teorema del Residuo, el residuo de dividir un polinomio P(x) entre (x - a) es igual a P(a). En este caso, a = 2. Sustituimos x=2 en x³ - 2x² + x - 5: (2)³ - 2(2)² + (2) - 5 = 8 - 8 + 2 - 5 = -3.
Pregunta 20
Pregunta 20 · D10Bloom: Evaluate
Se requiere demostrar el dominio sobre la racionalización de denominadores con expresiones algebraicas.
Racionaliza el denominador de la siguiente expresión: 1 / (√x - 2)
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)(√x + 2) / (x - 4)
💡 Explicación
Para racionalizar un denominador binomio con raíces cuadradas, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de (√x - 2) es (√x + 2). Numerador: 1 * (√x + 2) = √x + 2. Denominador: (√x - 2)(√x + 2) = (√x)² - 2² = x - 4. El resultado es (√x + 2) / (x - 4).
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)(√x + 2) / (x - 4)
A)(√x + 2) / xAl multiplicar el denominador por su conjugado queda x - 4, no x.
B)(√x + 2) / (x - 4)Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado (√x + 2).
C)√x + 2Falta el denominador resultante del producto de binomios conjugados.
D)(√x - 2) / (x + 4)Se usó el signo incorrecto en el conjugado y el denominador.
💡 Explicación
Para racionalizar un denominador binomio con raíces cuadradas, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de (√x - 2) es (√x + 2). Numerador: 1 * (√x + 2) = √x + 2. Denominador: (√x - 2)(√x + 2) = (√x)² - 2² = x - 4. El resultado es (√x + 2) / (x - 4).
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