Funciones Concepto — Matemáticas Grado 11, México

Bloom: Remember

En un curso de matemáticas de una preparatoria en la Ciudad de México, se discuten las reglas para que una relación sea considerada una función.

¿Cuál es la condición fundamental para que una relación entre dos conjuntos,

A

y

B

, sea clasificada matemáticamente como una función?

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Respuesta correcta: B) Que a cada elemento del conjunto $A$ le corresponda exactamente un único elemento del conjunto $B$ .

A) Que todos los elementos del conjunto $B$ tengan una preimagen en el conjunto $A$ .Esta es la definición de función suprayectiva, no la condición básica de función.
B) Que a cada elemento del conjunto $A$ le corresponda exactamente un único elemento del conjunto $B$ .¡Correcto! Esta es la definición formal de función: unicidad de la imagen para cada elemento del dominio.
C) Que el conjunto $A$ y el conjunto $B$ tengan la misma cantidad de elementos.No es necesario que tengan el mismo tamaño; el dominio y el codominio pueden ser distintos.
D) Que la relación pueda representarse gráficamente mediante una línea recta que pase por el origen.Esto describe específicamente a una función lineal de proporcionalidad directa, no al concepto general de función.

💡 Explicación

Una función es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento del conjunto de partida (dominio) uno y solo un elemento del conjunto de llegada (codominio). La característica clave es la unicidad de la imagen.

Bloom: Understand

Un estudiante del IPN está analizando diversas gráficas en su cuaderno para identificar cuáles representan funciones reales de variable real.

Si se tiene la gráfica de una relación en el plano cartesiano, ¿qué método visual permite determinar de manera rápida si dicha gráfica corresponde a una función?

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Respuesta correcta: D) La prueba de la recta vertical.

A) La prueba de la recta horizontal.La prueba de la recta horizontal se usa para determinar si una función es inyectiva (uno a uno), no si es función.
B) Verificar si la gráfica cruza el eje de las abscisas en más de un punto.Esto determinaría la cantidad de raíces o ceros, pero no define si es función o no.
C) Comprobar si la gráfica es simétrica respecto al eje de las ordenadas.La simetría respecto al eje y define si una función es par, pero no es criterio de existencia de la función.
D) La prueba de la recta vertical.¡Exacto! Si cualquier recta vertical corta a la gráfica en más de un punto, significa que un valor de x tiene más de una imagen, por lo que no es función.

💡 Explicación

La prueba de la recta vertical establece que si es posible trazar una línea vertical que toque la gráfica en dos o más puntos, la relación no es una función, ya que violaría el principio de unicidad (un valor de entrada con múltiples salidas).

Bloom: Remember

En un examen simulacro tipo EXANI-II, se presenta una expresión matemática utilizando la notación de Euler.

Dada la expresión

f(x) = 2x^2 - 5

, ¿cuál de las siguientes opciones describe correctamente el significado de la letra

x

en este contexto?

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Respuesta correcta: D) Representa la variable independiente o elemento del dominio.

A) Representa el valor de la función o variable dependiente.El valor de la función está representado por f(x) o y, no por la x aislada.
B) Es una constante que determina la pendiente de la función.x es una variable, no una constante. Las constantes son valores fijos como el 2 o el -5.
C) Indica que la función es siempre positiva para cualquier valor real.La variable x por sí sola no indica el signo de la salida de la función.
D) Representa la variable independiente o elemento del dominio.Correcto. x es el argumento de la función, el valor que ingresa al proceso para obtener un resultado.

💡 Explicación

En la notación

f(x)

,

x

es la variable independiente (entrada), mientras que

f(x)

representa la variable dependiente (salida) que resulta de aplicar la regla

f

sobre

x

.

Bloom: Understand

Una empresa de software en Guadalajara desarrolla una aplicación que calcula costos basándose en el número de usuarios. El equipo técnico define los conjuntos de entrada y salida.

En el estudio de funciones, ¿cómo se le denomina técnicamente al conjunto de todos los valores de salida posibles que una función puede efectivamente tomar?

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Respuesta correcta: B) Rango o imagen.

A) Dominio.El dominio es el conjunto de valores de entrada, no de salida.
B) Rango o imagen.¡Correcto! El rango (también llamado imagen o recorrido) es el subconjunto del codominio formado por los valores que la función realmente alcanza.
C) Asíntota.Una asíntota es una recta a la que la gráfica se aproxima indefinidamente, no es un conjunto de valores.
D) Conjunto vacío.El conjunto vacío no contiene elementos; una función real estándar tiene valores de salida definidos.

💡 Explicación

El dominio son los valores permitidos de entrada (

x

), y el rango o imagen son los valores resultantes de salida (

y

o

f(x)

).

Bloom: Apply

Un ingeniero ambiental en Monterrey utiliza la función $C(t) = 3t^2 - 2t + 10$ para modelar la concentración de un contaminante en el aire tras $t$ horas.

Si el ingeniero desea conocer la concentración exactamente a las 3 horas (

t=3

), ¿cuál es el valor de

C(3)

?

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Respuesta correcta: B) 31

A) 25Revisa el cálculo: 3(3^2) - 2(3) + 10 = 3(9) - 6 + 10 = 27 - 6 + 10 = 31.
B) 31¡Correcto! Al sustituir t=3 obtenemos 3(9) - 6 + 10 = 27 - 6 + 10 = 31.
C) 37Error en la resta o suma final. 27 - 6 + 10 es 31, no 37.
D) 19Probablemente no elevaste el 3 al cuadrado correctamente o hubo un error de signos.

💡 Explicación

Evaluar una función consiste en sustituir la variable independiente por el valor dado y realizar las operaciones aritméticas respetando la jerarquía: potencias primero, luego multiplicaciones y finalmente sumas/restas.

Bloom: Apply

En un laboratorio de física de la UNAM, se analiza la función $g(x) = \frac{5}{x - 4}$ . El profesor pide identificar los valores de $x$ que no pueden ser procesados por la función.

¿Cuál es el dominio de la función real

g(x) = \frac{5}{x - 4}

?

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Respuesta correcta: B) $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 4\}$ .

A) Todos los números reales.No puede ser todo R porque hay un valor que causa una división entre cero.
B) $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 4\}$ .¡Correcto! En una función racional, el denominador no puede ser cero. x-4=0 cuando x=4, por lo que este valor debe excluirse.
C) $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 4\}$ .Los valores menores a 4 también son válidos; el único problema es el 4 exacto.
D) $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0\}$ .El cero es un valor válido (g(0) = 5/-4). El problema ocurre cuando el denominador completo se hace cero.

💡 Explicación

Para funciones racionales (fracciones), el dominio consiste en todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero, ya que la división entre cero no está definida en los reales.

Bloom: Apply

Un estudiante de preparatoria técnica está resolviendo problemas de composición básica. Se le dan dos funciones: $f(x) = x + 3$ y $g(x) = 2x$ .

¿Cuál es el valor resultante de evaluar

f(g(4))

?

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Respuesta correcta: D) 11

A) 14Calculaste g(f(4)): f(4)=7, g(7)=14. Se pidió f(g(4)).
B) 10Revisa los pasos. g(4)=8, f(8)=11.
C) 77 es el resultado de f(4), pero falta aplicar g o el orden es inverso.
D) 11¡Correcto! Primero calculamos g(4) = 2(4) = 8. Luego evaluamos f(8) = 8 + 3 = 11.

💡 Explicación

En la evaluación de funciones compuestas

f(g(x))

, se resuelve de adentro hacia afuera: primero se obtiene el valor de la función interna

g(4)

y ese resultado se usa como entrada para la función externa

f

.

Bloom: Apply

Un comerciante en un mercado de Puebla registra sus ventas. El ingreso $I$ depende de la cantidad de kilogramos vendidos $k$ según la siguiente tabla:

| $k$ (kg) | 1 | 2 | 3 | 4 |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| $I$ ($) | 45 | 90 | 135 | 180 |

Si esta relación se comporta como una función lineal

I(k) = mk

, ¿cuál es el valor de

I(10)

?

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Respuesta correcta: B) \$450

A) \$360Este sería el valor para 8 kg. Para 10 kg se requiere multiplicar 45 por 10.
B) \$450¡Correcto! La razón de cambio (precio por kg) es 45. Por lo tanto, I(10) = 45 * 10 = 450.
C) \$405Este valor corresponde a 9 kg.
D) \$500Revisa la constante de proporcionalidad (45/1 = 45).

💡 Explicación

A partir de la tabla se identifica la regla de correspondencia. En este caso,

I(k) = 45k

. Evaluar para

k=10

implica una multiplicación directa.

Bloom: Apply

En un software de diseño gráfico, se aplican transformaciones. Un diseñador observa la función $f(x) = |x|$ .

¿Cómo se conoce comúnmente a la función

f(x) = |x|

y cuál es su característica principal respecto al rango?

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Respuesta correcta: C) Función valor absoluto; su rango son todos los números reales no negativos ( $y \geq 0$ ).

A) Función identidad; su rango son todos los reales negativos.La función identidad es f(x)=x. f(x)=|x| es valor absoluto.
B) Función constante; su rango es siempre cero.No es constante; el valor cambia según x, aunque siempre sea no negativo.
C) Función valor absoluto; su rango son todos los números reales no negativos ( $y \geq 0$ ).¡Correcto! El valor absoluto de cualquier número real es siempre positivo o cero.
D) Función cuadrática; su rango es idéntico al de $x^2$ .Aunque comparten el rango (y >= 0), f(x)=|x| no es una función cuadrática (polinomio de grado 2).

💡 Explicación

La función valor absoluto transforma cualquier entrada en su magnitud positiva. Gráficamente tiene forma de "V" con el vértice en el origen, y su rango está limitado al intervalo

[0, \infty)

.

Bloom: Apply

Un estudiante analiza la función $h(x) = x^2 + 5$ . Sabe que el término $x^2$ nunca es negativo.

¿Cuál es el rango de la función

h(x) = x^2 + 5

si el dominio son todos los números reales?

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Respuesta correcta: D) $[5, \infty)$

A) $[0, \infty)$ Este sería el rango de f(x)=x^2. Al sumar 5, toda la gráfica se desplaza hacia arriba.
B) $(-\infty, \infty)$ Las funciones cuadráticas con coeficiente principal positivo tienen un valor mínimo, por lo que el rango no es todo R.
C) $(-\infty, 5]$ Esto sería si el coeficiente de x^2 fuera negativo (parábola abriendo hacia abajo).
D) $[5, \infty)$ ¡Correcto! Como x^2 es mínimo 0, el valor más pequeño de h(x) es 0 + 5 = 5.

💡 Explicación

El rango se determina analizando los valores posibles de salida. Dado que

x^2 \geq 0

para todo

x

real, entonces

x^2 + 5 \geq 5

. El valor mínimo es 5.

Bloom: Analyze

En un examen parcial de cálculo en el Estado de México, se pide hallar el dominio de validez de una función que involucra una raíz cuadrada.

Determine el dominio de la función real

f(x) = \sqrt{2x - 6}

.

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Respuesta correcta: D) $x \geq 3$

A) $x \neq 3$ Esto aplica para denominadores, no para raíces cuadradas en el numerador.
B) $x > 3$ El valor 3 es permitido, ya que la raíz de cero es cero (un número real válido).
C) $x \leq 3$ Si x < 3, por ejemplo x=0, el radicando sería negativo (-6), lo cual no da un resultado real.
D) $x \geq 3$ ¡Correcto! Para que la raíz sea real, el radicando debe ser no negativo: 2x - 6 >= 0 => 2x >= 6 => x >= 3.

💡 Explicación

En funciones con raíces de índice par (como la raíz cuadrada), el dominio está restringido a los valores que hacen que el contenido de la raíz (radicando) sea mayor o igual a cero.

Bloom: Analyze

Se presenta la gráfica de una función que consiste en una semicircunferencia superior de radio 2 centrada en el origen: $y = \sqrt{4 - x^2}$ .

A partir de la expresión

y = \sqrt{4 - x^2}

, identifique correctamente el dominio y el rango de esta función.

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Respuesta correcta: D) Dominio: $[-2, 2]$ , Rango: $[0, 2]$

A) Dominio: $[-4, 4]$ , Rango: $[0, 4]$ El radio es 2, por lo que el dominio es [-2, 2].
B) Dominio: $(-\infty, \infty)$ , Rango: $[0, \infty)$ La función solo está definida donde 4-x^2 >= 0. No es todo R.
C) Dominio: $[0, 2]$ , Rango: $[-2, 2]$ Los conceptos de dominio y rango están invertidos o mal calculados.
D) Dominio: $[-2, 2]$ , Rango: $[0, 2]$ ¡Correcto! x^2 no puede exceder a 4, por lo que x está entre -2 y 2. El valor máximo de y es sqrt(4)=2 y el mínimo sqrt(0)=0.

💡 Explicación

Para el dominio: \

4 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 4 \Rightarrow |x| \leq 2 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2

. Para el rango: el valor mínimo ocurre en los extremos del dominio (

y=0

) y el máximo en

x=0

(

y=2

).

Bloom: Analyze

El servicio de mensajería en Querétaro cobra según el peso $w$ en kg: $C(w) = 50$ si \ $0 < w \leq 1$ , y $C(w) = 50 + 20(w-1)$ si $w > 1$ .

Si un cliente envía un paquete que pesa 3.5 kg, ¿cuál es el costo total del servicio?

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Respuesta correcta: B) \$100

A) \$70Olvidaste sumar la cuota base de los primeros kg o aplicaste mal la fórmula.
B) \$100¡Correcto! Como 3.5 > 1, usamos la segunda regla: 50 + 20(3.5 - 1) = 50 + 20(2.5) = 50 + 50 = 100.
C) \$120Revisa la resta (3.5 - 1) = 2.5. 20 * 2.5 = 50.
D) \$50Este es el costo solo si el paquete pesara 1 kg o menos.

💡 Explicación

Las funciones definidas por partes requieren identificar primero en qué intervalo se encuentra el valor de entrada para aplicar la regla de correspondencia correcta.

Bloom: Analyze

Un analista de datos está clasificando funciones según sus propiedades de simetría respecto al origen o al eje Y.

¿Cuál de las siguientes funciones se clasifica como una función par?

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Respuesta correcta: B) $f(x) = x^2 - 4$

A) $f(x) = x^3$ Esta es una función impar, ya que f(-x) = -f(x). Tiene simetría respecto al origen.
B) $f(x) = x^2 - 4$ ¡Correcto! Una función es par si f(-x) = f(x). Al elevar (-x)^2 obtenemos x^2, por lo que el valor no cambia.
C) $f(x) = x + 1$ No es par ni impar. f(-x) = -x + 1, que no es igual a f(x) ni a -f(x).
D) $f(x) = \frac{1}{x}$ Es una función impar.

💡 Explicación

Una función es par si presenta simetría respecto al eje vertical (Y). Algebraicamente, se cumple que

f(x) = f(-x)

para todo

x

en su dominio.

Bloom: Analyze

Se observa la gráfica de la función $f(x) = -x^2 + 6x$ . Los estudiantes deben identificar en qué intervalo la función es creciente.

Dada la función

f(x) = -x^2 + 6x

, ¿en qué intervalo de su dominio la función presenta un comportamiento creciente?

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Respuesta correcta: B) $(-\infty, 3)$

A) $(-\infty, \infty)$ Las parábolas cambian de dirección en su vértice; no pueden ser siempre crecientes.
B) $(-\infty, 3)$ ¡Correcto! El vértice está en x = -b/(2a) = -6/(-2) = 3. Antes del 3, la parábola sube.
C) $(3, \infty)$ En este intervalo, al ser el coeficiente de x^2 negativo, la función está bajando (decreciente).
D) $[0, 6]$ En este intervalo la función sube y luego baja (cruza el vértice).

💡 Explicación

Para una parábola que abre hacia abajo (

a < 0

), la función es creciente desde

-\infty

hasta la coordenada

x

del vértice, y decreciente de ahí en adelante.

Bloom: Analyze

En un ejercicio de preparación avanzada, se pide hallar la expresión para $f(x+h)$ dada una función cuadrática.

Si

f(x) = x^2 + 2x

, ¿cuál es la expresión simplificada para

f(x+h)

?

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Respuesta correcta: A) $x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h$

A) $x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h$ ¡Correcto! f(x+h) = (x+h)^2 + 2(x+h) = x^2 + 2xh + h^2 + 2x + 2h.
B) $x^2 + 2x + h$ Solo sumaste h al final, no sustituiste x por (x+h) en todos los términos.
C) $x^2 + h^2 + 2x + 2h$ Olvidaste el término cruzado 2xh que surge al desarrollar el binomio al cuadrado.
D) $x^2 + 2x + 2h$ Desarrollo incompleto de la función.

💡 Explicación

Evaluar

f(x+h)

implica reemplazar cada instancia de la variable

x

en la regla original por el binomio

(x+h)

y luego simplificar los términos resultantes.

Bloom: Evaluate

Un fabricante de cajas en Tijuana utiliza láminas cuadradas de 20 cm por lado. Corta cuadrados de lado $x$ en las esquinas para doblar las pestañas y formar la caja.

¿Cuál es la función

V(x)

que representa el volumen de la caja resultante en términos de la altura

x

?

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Respuesta correcta: B) $V(x) = (20 - 2x)^2 x$

A) $V(x) = (20 - x)^2 x$ Al cortar dos esquinas, se resta x de cada lado, por lo que la base es (20 - 2x).
B) $V(x) = (20 - 2x)^2 x$ ¡Correcto! El largo y ancho de la base son (20 - 2x) y la altura es x. Volumen = base * altura.
C) $V(x) = 400x - 4x^3$ Revisa el desarrollo: (20-2x)^2 x = (400 - 80x + 4x^2) x = 400x - 80x^2 + 4x^3.
D) $V(x) = 20x^2$ Esta fórmula no considera el recorte de las esquinas para formar la profundidad.

💡 Explicación

La modelación requiere traducir condiciones físicas a expresiones algebraicas. Aquí, el recorte reduce las dimensiones originales en dos veces el valor de

x

(una por cada extremo).

Bloom: Evaluate

Un estudiante de ingeniería necesita encontrar la función inversa de un proceso de enfriamiento modelado por $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$ .

Dada la función

f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}

con

x \neq -2

, ¿cuál es su función inversa

f^{-1}(x)

?

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Respuesta correcta: D) $f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{3 - x}$

A) $f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3x - 1}$ Esto es el recíproco, no la inversa. La inversa requiere despejar x.
B) $f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$ Error en el manejo de signos durante el despeje algebraico.
C) $f^{-1}(x) = \frac{2x - 1}{3 + x}$ Revisa los signos al trasponer términos de un lado a otro de la igualdad.
D) $f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{3 - x}$ ¡Correcto! Si y = (3x-1)/(x+2), entonces y(x+2) = 3x-1 => yx + 2y = 3x - 1 => 2y + 1 = 3x - yx => x = (2y+1)/(3-y).

💡 Explicación

Para hallar la inversa: 1) Escribir

y = f(x)

. 2) Intercambiar

x

e

y

. 3) Despejar la nueva

y

. Este proceso deshace la operación original de la función.

Bloom: Evaluate

En un estudio sobre crecimiento poblacional en el Estado de Yucatán, se utiliza la función $L(x) = \log_{10}(x^2 - 9)$ .

¿Cuál es el dominio de la función real

L(x) = \log_{10}(x^2 - 9)

?

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Respuesta correcta: C) $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$

A) $(3, \infty)$ Los valores negativos menores a -3 también son válidos porque al elevarlos al cuadrado resultan mayores a 9.
B) $[-3, 3]$ En este intervalo x^2 - 9 es cero o negativo, y el logaritmo no está definido para esos valores.
C) $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$ ¡Correcto! El argumento del logaritmo debe ser estrictamente mayor a cero: x^2 - 9 > 0 => x^2 > 9 => |x| > 3.
D) $\mathbb{R} \setminus \{3, -3\}$ No basta con excluir el 3 y -3; los valores intermedios (como x=0) también deben excluirse.

💡 Explicación

El dominio de una función logarítmica está restringido a que su argumento sea positivo (

> 0

). Resolver la desigualdad cuadrática resultante define los intervalos permitidos.

Bloom: Evaluate

Un investigador observa que la gráfica de una función base $g(x)$ ha sido reflejada respecto al eje X, desplazada 3 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia abajo.

Si la función original es

g(x)

, ¿cuál es la expresión de la nueva función

h(x)

tras aplicar las tres transformaciones mencionadas?

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Respuesta correcta: B) $h(x) = -g(x + 3) - 2$

A) $h(x) = g(x + 3) - 2$ Falta aplicar la reflexión respecto al eje X (signo negativo externo).
B) $h(x) = -g(x + 3) - 2$ ¡Correcto! El "-" exterior refleja en X, el "+3" interno desplaza a la izquierda y el "-2" externo desplaza hacia abajo.
C) $h(x) = -g(x - 3) + 2$ El "-3" interno desplaza a la derecha y el "+2" desplaza hacia arriba.
D) $h(x) = g(-x + 3) - 2$ El "-" interno refleja respecto al eje Y, no respecto al eje X.

💡 Explicación

Las transformaciones de gráficas se aplican mediante cambios en la ecuación:

-f(x)

refleja en X,

f(x+c)

desplaza a la izquierda, y

f(x)-d

desplaza hacia abajo.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?