Sucesiones Aritmeticas

Respuesta correcta: D) Es una secuencia de números tal que la diferencia entre dos términos sucesivos es constante.

• A) Es una secuencia de números donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante.Incorrecto. Esta es la definición de una sucesión geométrica, no aritmética.
• B) Es una lista de números primos ordenados de menor a mayor.Incorrecto. Aunque los números primos forman una secuencia, no necesariamente tienen una diferencia constante.
• C) Es un conjunto de números donde la suma de los términos anteriores da el siguiente término.Incorrecto. Esta descripción se asemeja más a la serie de Fibonacci, no a una sucesión aritmética general.
• D) Es una secuencia de números tal que la diferencia entre dos términos sucesivos es constante.Correcto. En una sucesión aritmética, la diferencia común 'd' se mantiene constante entre términos consecutivos.

Respuesta correcta: C) $a_n = a_1 + (n - 1)d$

• A) $a_n = a_1 \cdot d^{n-1}$Incorrecto. Esta fórmula corresponde a una sucesión geométrica.
• B) $a_n = a_1 + nd$Incorrecto. Esta fórmula omitiría el primer término al calcular $a_1$ (daría $a_1 + d$).
• C) $a_n = a_1 + (n - 1)d$Correcto. Esta es la expresión estándar para calcular cualquier término en una sucesión aritmética.
• D) $a_n = (a_1 + d)n$Incorrecto. Esta expresión no representa la estructura de una progresión aritmética.

Respuesta correcta: C) La sucesión es decreciente.

• A) La sucesión es creciente.Incorrecto. Para que sea creciente, la diferencia común debe ser positiva.
• B) La sucesión es constante.Incorrecto. Una sucesión es constante solo si la diferencia común es cero.
• C) La sucesión es decreciente.Correcto. Al restar una cantidad constante en cada paso, los términos sucesivos son cada vez menores.
• D) La sucesión oscila entre valores positivos y negativos.Incorrecto. El signo de los términos depende del valor inicial, pero la tendencia será estrictamente decreciente.

Respuesta correcta: A) 7

• A) 7Correcto. Al restar términos consecutivos (22-15, 29-22), obtenemos una diferencia constante de 7.
• B) 5Incorrecto. La diferencia entre 22 y 15 no es 5.
• C) 8Incorrecto. La diferencia entre los términos no es constante en 8.
• D) 15Incorrecto. Este es el valor del primer término ($a_1$), no la diferencia.

Respuesta correcta: D) 26

• A) 30Incorrecto. Se calculó sumando 4 cinco veces al 10, pero se debe sumar (n-1) veces.
• B) 22Incorrecto. Este es el valor del cuarto término ($a_4$).
• C) 14Incorrecto. Este es el valor del segundo término ($a_2$).
• D) 26Correcto. Aplicando $a_5 = 10 + (5-1)4 = 10 + 16 = 26$.

Respuesta correcta: D) $a_n = 3n + 2$

• A) $a_n = 5n + 3$Con $n=1$ daría $5(1)+3=8$, que es el segundo término y no el primero.
• B) $a_n = 3n + 5$Con $n=1$ daría $3(1)+5=8$ también, y la diferencia entre términos consecutivos sería $3$ en vez de la razón $3$ correcta: el primer término debe ser $5$.
• C) $a_n = 3n - 2$Incorrecto. Si n=1, daría 1, no 5.
• D) $a_n = 3n + 2$Correcto. $a_n = 5 + (n-1)3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2$. Al probar con n=1, $3(1)+2=5$.

Respuesta correcta: C) 3

• A) 4Incorrecto. Si d fuera 4, la diferencia entre $a_7$ y $a_3$ sería 16, no 12.
• B) 2Incorrecto. Si d fuera 2, la diferencia entre $a_7$ y $a_3$ sería 8, no 12.
• C) 3Correcto. Usando la fórmula $a_7 = a_3 + 4d$, tenemos $25 = 13 + 4d$, entonces $12 = 4d$ y $d = 3$.
• D) 6Incorrecto. Se dividió 12 entre 2 en lugar de entre la diferencia de posiciones (7-3=4).

Respuesta correcta: A) C$ 750

• A) C$ 750Correcto. $a_{12} = 200 + (12-1)50 = 200 + 550 = 750$.
• B) C$ 800Incorrecto. Se multiplicó 50 por 12 y se sumó a 200, pero debe ser por (n-1)=11.
• C) C$ 600Incorrecto. Error en el cálculo de la multiplicación o la suma.
• D) C$ 700Incorrecto. Este sería el ahorro en la semana 11.

Respuesta correcta: C) 16.5°C

• A) 18.0°CIncorrecto. Se calculó la baja para 4 horas, pero de 6 a 11 hay 5 horas.
• B) 15.0°CIncorrecto. Se restó una hora extra de descenso.
• C) 16.5°CCorrecto. $a_1=24$ (a las 6). A las 11 han pasado 5 intervalos. $T = 24 - (5 \times 1.5) = 24 - 7.5 = 16.5$.
• D) 19.5°CIncorrecto. Solo se restaron 3 horas de descenso.

Respuesta correcta: A) 13

• A) 13Correcto. $101 = 5 + (n-1)8 \Rightarrow 96 = (n-1)8 \Rightarrow 12 = n-1 \Rightarrow n = 13$.
• B) 12Incorrecto. Al despejar n de $101 = 5 + (n-1)8$, el resultado no es 12.
• C) 14Incorrecto. Se cometió un error en la división de 96 entre 8 o en el despeje final.
• D) 15Incorrecto. Error de cálculo en la resolución de la ecuación lineal.

Respuesta correcta: B) $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

• A) $S_n = \frac{n(a_1 - a_n)}{2}$Incorrecto. Se debe sumar el primer y el último término, no restarlos.
• B) $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$Correcto. La suma es el número de términos multiplicado por el promedio del primero y el último.
• C) $S_n = n(a_1 + d)$Incorrecto. Esta fórmula no representa la suma acumulada de una progresión.
• D) $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$Incorrecto. Esta es la fórmula para la suma de una sucesión geométrica.

Respuesta correcta: A) 190 quintales

• A) 190 quintalesCorrecto. $a_1=10$, $a_{10}=10+9(2)=28$. $S_{10} = \frac{10(10+28)}{2} = 5 \times 38 = 190$.
• B) 110 quintalesIncorrecto. Se calculó $10 \times 11$, pero no sigue la fórmula de la suma.
• C) 200 quintalesIncorrecto. Se multiplicó el término final por 10, sin promediar.
• D) 145 quintalesIncorrecto. Error en la aplicación de la fórmula de la suma de términos.

Respuesta correcta: A) 4

• A) 4Correcto. $S_5 = \frac{5(2 + a_5)}{2} = 50 \Rightarrow 2 + a_5 = 20 \Rightarrow a_5 = 18$. Luego $18 = 2 + 4d \Rightarrow 16 = 4d \Rightarrow d = 4$.
• B) 2Incorrecto. Si d=2, la suma sería 2+4+6+8+10 = 30, no 50.
• C) 5Incorrecto. Error en el despeje de la ecuación de la suma.
• D) 3Incorrecto. Valor obtenido por una interpretación errónea de los datos proporcionados.

Respuesta correcta: B) $n^2$

• A) $2n - 1$Incorrecto. Este es el término general del enésimo número impar, no la suma.
• B) $n^2$Correcto. Los números impares forman una sucesión aritmética con $a_1=1$ y $d=2$. $S_n = \frac{n(1 + (2n-1))}{2} = \frac{n(2n)}{2} = n^2$.
• C) $n(n+1)$Incorrecto. Esta es la suma de los primeros $n$ números pares.
• D) $\frac{n(n+1)}{2}$Incorrecto. Esta es la suma de los primeros $n$ números naturales.

Respuesta correcta: A) 980 asientos

• A) 980 asientosCorrecto. $a_{20} = 30 + 19(2) = 68$. $S_{20} = \frac{20(30 + 68)}{2} = 10 \times 98 = 980$.
• B) 900 asientosIncorrecto. Se calculó $20 \times 45$ (promedio de 30 y 60), pero la última fila no tiene 60.
• C) 1,000 asientosIncorrecto. Error en el cálculo de la última fila o la suma final.
• D) 1,020 asientosIncorrecto. Se sumó un término extra o se usó un valor de $d$ mayor.

Respuesta correcta: A) -235

• A) -235Correcto. $a_1 = 4-5(1)=-1$. $a_{10} = 4-5(10)=-46$. $S_{10} = \frac{10(-1 - 46)}{2} = 5(-47) = -235$.
• B) -275Incorrecto. Error en el cálculo de $a_{10}$ o en la multiplicación por 5.
• C) -210Incorrecto. Valor obtenido por errores aritméticos en la suma de términos negativos.
• D) 235Incorrecto. El resultado debe ser negativo ya que la mayoría de los términos lo son.

Respuesta correcta: C) 25 filas

• A) 20 filasIncorrecto. $20^2 = 400$, sobran muchos árboles.
• B) 30 filasIncorrecto. $30^2 = 900$, faltarían árboles.
• C) 25 filasCorrecto. La suma de los primeros $n$ impares es $n^2$. Así, $n^2 = 625$, por lo tanto $n = \sqrt{625} = 25$.
• D) 15 filasIncorrecto. $15^2 = 225$, sobran más de la mitad.

Respuesta correcta: B) 4

• A) 5.33Incorrecto. Se dividió la diferencia (16) entre 3, pero al insertar 3 términos resultan 4 intervalos.
• B) 4Correcto. Al insertar 3 términos entre 4 y 20, el 20 pasa a ser el quinto término ($a_5$). $20 = 4 + 4d \Rightarrow 16 = 4d \Rightarrow d = 4$.
• C) 5Incorrecto. Error al contar el número de intervalos creados.
• D) 3Incorrecto. Valor que no satisface la condición de llegar a 20 en la posición indicada.

Respuesta correcta: D) $a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$

• A) $a_k = \sqrt{a_{k-1} \cdot a_{k+1}}$Incorrecto. Esta es la propiedad de la media geométrica para sucesiones geométricas.
• B) $a_k = a_{k+1} - a_{k-1}$Incorrecto. La diferencia entre términos alternos es $2d$, no el valor del término central.
• C) $a_k = a_{k-1} + a_{k+1}$Incorrecto. No existe tal relación aditiva simple en una sucesión aritmética general.
• D) $a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$Correcto. Cada término (excepto los extremos) es la media aritmética de sus términos adyacentes.

Respuesta correcta: A) 1,683

• A) 1,683Correcto. El primer múltiplo es 3 y el último 99. Número de términos $n = (99-3)/3 + 1 = 33$. Suma $S_{33} = \frac{33(3 + 99)}{2} = \frac{33 \times 102}{2} = 33 \times 51 = 1,683$.
• B) 1,515Incorrecto. Este es el resultado de sumar los múltiplos de 3 si hubiera 33 términos y el último fuera 90.
• C) 1,650Incorrecto. Error en el conteo de términos o en la aplicación de la fórmula de la suma.
• D) 1,732Incorrecto. Valor excedido por errores de cálculo manual.