Sucesiones Geometricas

Respuesta correcta: C) Cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón común.

• A) La diferencia entre dos términos consecutivos es constante.Incorrecto. Esta es la definición de una sucesión aritmética.
• B) Los términos siempre son números enteros positivos.Incorrecto. Los términos pueden ser fraccionarios, negativos o incluso cero en ciertos contextos.
• C) Cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón común.Correcto. En una sucesión geométrica, el cociente entre términos sucesivos es constante (r).
• D) La suma de dos términos consecutivos es siempre igual a la razón.Incorrecto. La relación es multiplicativa, no aditiva.

Respuesta correcta: D) $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

• A) $a_n = a_1 + (n - 1)r$Incorrecto. Esta fórmula corresponde a una progresión aritmética.
• B) $a_n = a_1 \cdot r^n$Incorrecto. Esta fórmula daría $a_1 \cdot r$ para el primer término ($n=1$), lo cual es incorrecto.
• C) $a_n = \frac{a_1}{r^{n-1}}$Incorrecto. Esta fórmula representaría un decrecimiento inverso, no la forma estándar de la sucesión.
• D) $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$Correcto. Esta expresión permite calcular cualquier término basándose en el crecimiento exponencial de la razón.

Respuesta correcta: C) Los términos decrecen hacia cero.

• A) Los términos crecen indefinidamente.Incorrecto. Esto sucedería si $r > 1$.
• B) Los términos permanecen constantes.Incorrecto. Solo serían constantes si $r = 1$.
• C) Los términos decrecen hacia cero.Correcto. Al multiplicar repetidamente por un valor menor a la unidad, el producto se hace cada vez más pequeño.
• D) Los términos alternan entre positivos y negativos.Incorrecto. Esto sucedería si la razón fuera negativa ($r < 0$).

Respuesta correcta: D) 2

• A) 3Incorrecto. 3 es el primer término, no la razón.
• B) 4Incorrecto. El salto entre 3 y 6 no es por factor 4.
• C) 1.5Incorrecto. Al multiplicar 3 por 1.5 no obtenemos 6.
• D) 2Correcto. Dividiendo cualquier término entre el anterior ($6/3=2, 12/6=2$) obtenemos la razón constante 2.

Respuesta correcta: C) 135

• A) 45Incorrecto. Este es el tercer término ($5 \times 3^2$).
• B) 405Incorrecto. Este es el quinto término ($5 \times 3^4$).
• C) 135Correcto. $a_4 = 5 \times 3^{4-1} = 5 \times 3^3 = 5 \times 27 = 135$.
• D) 20Incorrecto. Se sumó $5 + 3 \times 5$, error de concepto.

Respuesta correcta: A) $a_n = 10,000 \cdot (0.8)^{n-1}$

• A) $a_n = 10,000 \cdot (0.8)^{n-1}$Correcto. La razón es 0.8, representando el valor que se conserva cada periodo.
• B) $a_n = 10,000 \cdot (0.2)^{n-1}$Incorrecto. 0.2 es la pérdida, no el valor remanente.
• C) $a_n = 10,000 - 800(n-1)$Incorrecto. Esto representaría una depreciación lineal (aritmética).
• D) $a_n = 10,000 \cdot (1.8)^{n-1}$Incorrecto. Esto representaría un crecimiento del 80%, no una depreciación.

Respuesta correcta: B) 6.75 metros

• A) 12 metrosIncorrecto. Esta es la altura del primer rebote.
• B) 6.75 metrosCorrecto. $a_1=16 \times 0.75 = 12$. Luego $a_3 = 12 \times (0.75)^{3-1} = 12 \times 0.5625 = 6.75$. (O $16 \times (0.75)^3 = 6.75$).
• C) 9 metrosIncorrecto. Esta es la altura del segundo rebote.
• D) 5.06 metrosIncorrecto. Esta sería la altura del cuarto rebote.

Respuesta correcta: A) 2

• A) 2Correcto. $a_5 = a_2 \cdot r^3 \Rightarrow 80 = 10 \cdot r^3 \Rightarrow 8 = r^3 \Rightarrow r = 2$.
• B) 4Incorrecto. Si r=4, $a_5$ sería mucho mayor.
• C) 3Incorrecto. $3^3 = 27$, no coincide con el factor de crecimiento 8.
• D) 8Incorrecto. Este es el factor total entre $a_5$ y $a_2$, no la razón individual por paso.

Respuesta correcta: A) Los términos alternan entre 5 y -5.

• A) Los términos alternan entre 5 y -5.Correcto. Multiplicar por -1 cambia el signo de cada término sucesivo.
• B) Todos los términos son 5.Incorrecto. Eso sería si r fuera 1.
• C) Los términos decrecen hacia el infinito negativo.Incorrecto. La magnitud se mantiene constante en 5.
• D) Los términos se vuelven cero eventualmente.Incorrecto. El cero solo se alcanza si r=0 o si partimos de cero.

Respuesta correcta: D) 7

• A) 6Incorrecto. $2^6 = 64$.
• B) 8Incorrecto. $2^8 = 256$.
• C) 64Incorrecto. Se dividió el último término entre el primero sin usar logaritmos o potencias.
• D) 7Correcto. $128 = 2 \cdot 2^{n-1} \Rightarrow 64 = 2^{n-1} \Rightarrow 2^6 = 2^{n-1} \Rightarrow 6 = n-1 \Rightarrow n = 7$.

Respuesta correcta: B) $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$

• A) $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$Incorrecto. Esta fórmula es exclusiva para sucesiones aritméticas.
• B) $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$Correcto. Esta es la expresión cerrada para la sumatoria de una progresión geométrica.
• C) $S_n = a_1 \cdot r^n$Incorrecto. Esta expresión solo calcula el término siguiente, no la suma acumulada.
• D) $S_n = \frac{a_1}{1 - r}$Incorrecto. Esta es la fórmula para la suma infinita de una serie convergente.

Respuesta correcta: C) C$ 6,300

• A) C$ 3,200Incorrecto. Este es solo el valor del sexto depósito ($a_6$).
• B) C$ 6,400Incorrecto. Olvidó restar 1 en el numerador de la fórmula.
• C) C$ 6,300Correcto. $a_1=100, r=2, n=6$. $S_6 = \frac{100(2^6 - 1)}{2 - 1} = 100(64 - 1) = 6,300$.
• D) C$ 12,700Incorrecto. Se calculó para 7 meses en lugar de 6.

Respuesta correcta: B) C$ 729

• A) C$ 700Incorrecto. Esto sería si el descuento fuera del 30% una sola vez (aritmético).
• B) C$ 729Correcto. Se modela como una sucesión geométrica: $1,000 \times (0.9)^3 = 1,000 \times 0.729 = 729$.
• C) C$ 810Incorrecto. Este es el precio después de dos descuentos.
• D) C$ 750Incorrecto. Error de cálculo en la aplicación de los porcentajes sucesivos.

Respuesta correcta: B) 200

• A) 150Incorrecto. La suma de los dos primeros términos ya es 150.
• B) 200Correcto. Para una serie infinita con $|r| < 1$, $S = \frac{a_1}{1 - r}$. Aquí $S = \frac{100}{1 - 0.5} = \frac{100}{0.5} = 200$.
• C) Es infinita (diverge).Incorrecto. Como $|r| = 0.5 < 1$, la serie converge a un valor finito.
• D) 250Incorrecto. Error en la resta o división del denominador.

Respuesta correcta: C) 6 y 18

• A) 4 y 8Incorrecto. La razón no se mantiene constante para llegar a 54.
• B) 10 y 30Incorrecto. Multiplicar por 5 y luego por 3 no es una sucesión geométrica válida.
• C) 6 y 18Correcto. Al insertar 2 términos, 54 es el cuarto término. $54 = 2 \cdot r^3 \Rightarrow 27 = r^3 \Rightarrow r = 3$. Los términos son $2, 6, 18, 54$.
• D) 8 y 32Incorrecto. La razón 4 no lleva de 32 a 54.

Respuesta correcta: D) $b = \sqrt{a \cdot c}$

• A) $b = \frac{a + c}{2}$Incorrecto. Esta es la media aritmética para sucesiones aritméticas.
• B) $b = c - a$Incorrecto. Esta relación no define un crecimiento proporcional.
• C) $b = a^2 \cdot c^2$Incorrecto. Relación inconsistente con el factor de razón común.
• D) $b = \sqrt{a \cdot c}$Correcto. En una sucesión geométrica, cada término es la media geométrica de sus términos adyacentes ($b/a = c/b \Rightarrow b^2 = ac$).

Respuesta correcta: B) $2^n - 1$

• A) $2^n$Incorrecto. Esta es la cantidad de granos solo en el cuadro $n+1$, no la suma.
• B) $2^n - 1$Correcto. Aplicando la fórmula de la suma: $S_n = \frac{1(2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1$.
• C) $2^{n-1}$Incorrecto. Esta es la cantidad de granos en el cuadro $n$.
• D) $n^2$Incorrecto. El crecimiento es exponencial, no cuadrático.

Respuesta correcta: D) 1

• A) 2Incorrecto. La suma no alcanza el valor de 2 unidades.
• B) 1.5Incorrecto. Error en la resta de fracciones del denominador.
• C) 0.5Incorrecto. Resultado insuficiente basado en la suma de los primeros términos.
• D) 1Correcto. $a_1 = 2/3, r = 1/3$. $S = \frac{2/3}{1 - 1/3} = \frac{2/3}{2/3} = 1$.

Respuesta correcta: C) 3

• A) 6Incorrecto. Daría 6, 9, 15, cuya razón no es constante (1.5 vs 1.66).
• B) 9Incorrecto. Daría 9, 12, 18, razón no constante.
• C) 3Correcto. $\frac{x+3}{x} = \frac{x+9}{x+3} \Rightarrow (x+3)^2 = x(x+9) \Rightarrow x^2 + 6x + 9 = x^2 + 9x \Rightarrow 9 = 3x \Rightarrow x = 3$.
• D) 0Incorrecto. La división por cero no está definida para la razón.

Respuesta correcta: C) 125

• A) 15Incorrecto. Este sería el producto si la razón fuera 1 y todos los términos fueran 5, pero sumados.
• B) 75Incorrecto. Error de cálculo en la multiplicación de los términos extremos.
• C) 125Correcto. Los términos son $a_1, a_2, a_3$. El producto es $a_1 \cdot a_2 \cdot a_3$. Como $a_1 \cdot a_3 = a_2^2$ (propiedad de la media geométrica), el producto es $a_2^2 \cdot a_2 = a_2^3 = 5^3 = 125$.
• D) 25Incorrecto. Este es solo el producto de los extremos, falta multiplicar por el término central.