Funciones Exponenciales

Respuesta correcta: B) $f(x) = b^x$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$.

• A) $f(x) = x^b$, donde $b$ es una constante.Incorrecto. Esta es una función de potencia, no exponencial. En la exponencial la variable está en el exponente.
• B) $f(x) = b^x$, donde $b > 0$ y $b \neq 1$.Correcto. Una función exponencial tiene la variable independiente en el exponente y una base positiva distinta de 1.
• C) $f(x) = \log_b(x)$, donde $x > 0$.Incorrecto. Esta es la definición de una función logarítmica.
• D) $f(x) = mx + b$, donde $m$ es la pendiente.Incorrecto. Esta es la forma de una función lineal.

Respuesta correcta: D) $(0, 1)$

• A) $(1, 0)$Incorrecto. Este es el intercepto con el eje x de la función logarítmica básica.
• B) $(0, 0)$Incorrecto. La función exponencial básica nunca pasa por el origen.
• C) No tiene intercepto con el eje $y$.Incorrecto. Todas las funciones exponenciales de la forma $b^x$ cruzan el eje y en el punto 1.
• D) $(0, 1)$Correcto. Cualquier número (excepto cero) elevado a la potencia 0 es igual a 1.

Respuesta correcta: B) La función es estrictamente creciente.

• A) La función es estrictamente decreciente.Incorrecto. Esto ocurre cuando la base está entre 0 y 1.
• B) La función es estrictamente creciente.Correcto. Cuando la base es mayor a 1, a medida que $x$ aumenta, el valor de la función crece aceleradamente.
• C) La función es una línea recta horizontal.Incorrecto. Las funciones exponenciales son curvas con pendiente variable.
• D) La función tiene un valor máximo en el eje $y$.Incorrecto. La función crece indefinidamente hacia el infinito.

Respuesta correcta: B) Todos los números reales positivos $(0, \infty)$.

• A) Todos los números reales ($\mathbb{R}$).Incorrecto. Los valores de la función exponencial básica siempre son positivos.
• B) Todos los números reales positivos $(0, \infty)$.Correcto. Una potencia de una base positiva siempre resulta en un valor mayor que cero.
• C) Todos los números reales negativos $(-\infty, 0)$.Incorrecto. La base positiva elevada a cualquier exponente real no puede ser negativa.
• D) El conjunto de los números enteros.Incorrecto. La función toma todos los valores reales dentro de su intervalo de salida.

Respuesta correcta: D) $f(x) = (0.5)^x$

• A) $f(x) = 3^x$Incorrecto. La base 3 es mayor que 1, por lo que es creciente.
• B) $f(x) = e^x$Incorrecto. El número e es aproximadamente 2.718, mayor que 1, por lo tanto es creciente.
• C) $f(x) = 2 \cdot 5^x$Incorrecto. La base es 5, lo que indica un crecimiento.
• D) $f(x) = (0.5)^x$Correcto. Al ser la base un número entre 0 y 1, el valor disminuye conforme x aumenta.

Respuesta correcta: C) $y = 1$

• A) $y = 0$Incorrecto. Esta es la asíntota de la función básica $2^x$.
• B) $y = -3$Incorrecto. El -3 en el exponente causa un desplazamiento horizontal, no vertical.
• C) $y = 1$Correcto. El término independiente '+1' desplaza toda la gráfica y su asíntota una unidad hacia arriba.
• D) $y = 3$Incorrecto. El desplazamiento vertical está dado por la constante sumada a la potencia.

Respuesta correcta: B) $N(t) = 100 \cdot 2^t$

• A) $N(t) = 100 + 2^t$Incorrecto. Esta función sumaría 100, no multiplicaría por el valor inicial.
• B) $N(t) = 100 \cdot 2^t$Correcto. El 100 es el valor inicial ($a$) y 2 es la base de duplicación.
• C) $N(t) = 100 \cdot t^2$Incorrecto. Esta es una función cuadrática, no exponencial.
• D) $N(t) = 2 \cdot 100^t$Incorrecto. Aquí la base sería 100, lo que no corresponde a una duplicación.

Respuesta correcta: B) 1/9

• A) -9Incorrecto. Una potencia con base positiva nunca resulta en un número negativo.
• B) 1/9Correcto. $3^{-2} = 1 / 3^2 = 1 / 9$.
• C) -6Incorrecto. Se multiplicó 3 por -2, error de concepto de potencia.
• D) 9Incorrecto. Se ignoró el signo negativo del exponente.

Respuesta correcta: D) 2.7182...

• A) 3.1416...Incorrecto. Este es el valor aproximado de pi ($\pi$).
• B) 1.4142...Incorrecto. Este es el valor aproximado de la raíz cuadrada de 2 ($\sqrt{2}$).
• C) 0.6931...Incorrecto. Este es el logaritmo natural de 2 ($\ln 2$).
• D) 2.7182...Correcto. El número e es aproximadamente 2.718.

Respuesta correcta: C) Desplazándola 5 unidades hacia abajo.

• A) Desplazándola 5 unidades hacia la derecha.Incorrecto. Los desplazamientos horizontales ocurren dentro del exponente.
• B) Desplazándola 5 unidades hacia arriba.Incorrecto. El signo negativo indica un descenso.
• C) Desplazándola 5 unidades hacia abajo.Correcto. Restar una constante a la función desplaza su gráfica verticalmente hacia abajo.
• D) Reflejándola respecto al eje $x$.Incorrecto. Para una reflexión, el signo negativo debería multiplicar a toda la potencia.

Respuesta correcta: A) $C(t) = 1,000 \cdot (1 + 0.06/12)^{12t}$

• A) $C(t) = 1,000 \cdot (1 + 0.06/12)^{12t}$Correcto. Se divide la tasa entre 12 periodos y se eleva al número total de meses ($12t$).
• B) $C(t) = 1,000 \cdot (1.06)^t$Incorrecto. Esta fórmula es para capitalización anual simple.
• C) $C(t) = 1,000 \cdot e^{0.06t}$Incorrecto. Esta es la fórmula para capitalización continua.
• D) $C(t) = 1,000 + 0.06t$Incorrecto. Esta es una función de interés simple lineal.

Respuesta correcta: A) $g(x)$ terminará superando a $f(x)$ y crecerá mucho más rápido.

• A) $g(x)$ terminará superando a $f(x)$ y crecerá mucho más rápido.Correcto. Cualquier función exponencial con base $b>1$ supera eventualmente a cualquier función lineal o polinómica.
• B) $f(x)$ siempre será mayor que $g(x)$.Incorrecto. Las funciones lineales crecen más lento que las exponenciales.
• C) Ambas funciones crecen a la misma tasa.Incorrecto. La tasa de cambio de la lineal es constante, la de la exponencial es proporcional a su valor.
• D) $f(x)$ tiene una asíntota vertical y $g(x)$ no.Incorrecto. Ninguna de las dos funciones tiene asíntota vertical.

Respuesta correcta: A) Que la cantidad de sustancia está disminuyendo con el tiempo.

• A) Que la cantidad de sustancia está disminuyendo con el tiempo.Correcto. Un exponente negativo en la base e (o base $>1$) genera una función decreciente.
• B) Que la masa inicial era negativa.Incorrecto. La masa inicial $M_0$ es una cantidad positiva.
• C) Que el tiempo $t$ se mide hacia el pasado.Incorrecto. El tiempo $t$ suele ser positivo y hacia adelante.
• D) Que la tasa de decaimiento $k$ es un número imaginario.Incorrecto. $k$ es una constante real positiva.

Respuesta correcta: C) $f(x) = 4 \cdot 3^x$

• A) $f(x) = 4 \cdot 9^x$Incorrecto. Al evaluar en x=2, daría $4 \cdot 81 = 324$.
• B) $f(x) = 2 \cdot 6^x$Incorrecto. En $x=0$, daría 2, no 4.
• C) $f(x) = 4 \cdot 3^x$Correcto. En $x=0$, $f(0)=4(1)=4$. En $x=2$, $f(2)=4(3^2)=4(9)=36$.
• D) $f(x) = 4 \cdot 2^x$Incorrecto. En $x=2$, daría $4 \cdot 4 = 16$.

Respuesta correcta: B) Es la reflexión de $f(x) = 2^x$ respecto al eje $x$.

• A) Es una función creciente que está siempre por encima del eje $x$.Incorrecto. El signo negativo fuera de la potencia la sitúa por debajo del eje x.
• B) Es la reflexión de $f(x) = 2^x$ respecto al eje $x$.Correcto. Multiplicar toda la función por -1 refleja la gráfica verticalmente.
• C) Es una función decreciente con rango $(0, \infty)$.Incorrecto. El rango es $(-\infty, 0)$.
• D) Su intercepto con el eje $y$ es $(0, 1)$.Incorrecto. El intercepto es $(0, -1)$.

Respuesta correcta: C) Sus gráficas son simétricas respecto al eje $y$.

• A) Son la misma función.Incorrecto. Una es creciente y la otra decreciente.
• B) Sus gráficas son simétricas respecto al origen.Incorrecto. Eso requeriría que $g(x) = -2^{-x}$.
• C) Sus gráficas son simétricas respecto al eje $y$.Correcto. $(1/2)^x = 2^{-x}$. El cambio de $x$ por $-x$ genera una reflexión respecto al eje vertical.
• D) No tienen ninguna relación geométrica.Incorrecto. Existe una relación de reflexión clara.

Respuesta correcta: D) La capacidad de carga o población máxima sostenible de la laguna.

• A) La población inicial de peces.Incorrecto. La población inicial es $P(0) = 5,000 / 5 = 1,000$.
• B) La tasa de crecimiento de la población.Incorrecto. La tasa está relacionada con el coeficiente 0.2.
• C) El tiempo que tardan en extinguirse los peces.Incorrecto. El modelo describe crecimiento, no extinción.
• D) La capacidad de carga o población máxima sostenible de la laguna.Correcto. Cuando $t$ tiende al infinito, $e^{-0.2t}$ tiende a 0, y la población se estabiliza en 5,000.

Respuesta correcta: A) $x = 5$

• A) $x = 5$Correcto. Escribimos en base 3: $(3^2)^{x+1} = (3^3)^{x-1} \Rightarrow 2x + 2 = 3x - 3 \Rightarrow 5 = x$.
• B) $x = 2$Incorrecto. $9^3 = 729$; $27^1 = 27$. No son iguales.
• C) $x = 4$Incorrecto. $9^5 = 59,049$; $27^3 = 19,683$. No son iguales.
• D) $x = 3$Incorrecto. Error al igualar los exponentes.

Respuesta correcta: A) Es una función par (simétrica respecto al eje $y$).

• A) Es una función par (simétrica respecto al eje $y$).Correcto. Como $x$ está elevado al cuadrado, $f(-x) = e^{(-x)^2} = e^{x^2} = f(x)$.
• B) Es una función impar (simétrica respecto al origen).Incorrecto. $f(-x)$ no es igual a $-f(x)$.
• C) No posee ninguna simetría.Incorrecto. La potencia par de x garantiza simetría axial.
• D) Es simétrica respecto a la recta $y = x$.Incorrecto. Esta simetría es propia de funciones inversas, no de la función misma.

Respuesta correcta: B) C$ 7,459.00

• A) C$ 7,000.00Incorrecto. Valor estimado sin usar la tasa de crecimiento continuo.
• B) C$ 7,459.00Correcto. $A = P \cdot e^{rt} = 5,000 \cdot e^{0.08 \cdot 5} = 5,000 \cdot e^{0.4} = 5,000 \cdot 1.4918 = 7,459$.
• C) C$ 7,346.00Incorrecto. Este sería el valor con capitalización anual, no continua.
• D) C$ 20,000.00Incorrecto. Error masivo en el cálculo del exponente o la multiplicación.