Funciones Logaritmicas

Respuesta correcta: A) $\log_b(x) = y$ es equivalente a $b^y = x$.

• A) $\log_b(x) = y$ es equivalente a $b^y = x$.Correcto. El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el argumento.
• B) $\log_b(x) = y$ es equivalente a $x^b = y$.Incorrecto. La base del logaritmo debe ser la base de la potencia.
• C) $\log_b(x) = y$ es equivalente a $y^x = b$.Incorrecto. Esta no es la relación inversa correcta entre logaritmos y potencias.
• D) $\log_b(x) = y$ es equivalente a $b \cdot y = x$.Incorrecto. El logaritmo no es un factor multiplicativo, sino un exponente.

Respuesta correcta: B) Todos los números reales positivos $(0, \infty)$.

• A) Todos los números reales ($\mathbb{R}$).Incorrecto. El logaritmo no está definido para números negativos ni para el cero.
• B) Todos los números reales positivos $(0, \infty)$.Correcto. Solo se pueden calcular logaritmos de números estrictamente mayores que cero.
• C) Todos los números reales excepto el cero.Incorrecto. El logaritmo de un número negativo tampoco es un número real.
• D) El intervalo $[1, \infty)$.Incorrecto. Los números entre 0 y 1 también tienen logaritmo (son valores negativos).

Respuesta correcta: C) $(1, 0)$

• A) $(0, 1)$Incorrecto. Este es el intercepto con el eje y de la función exponencial.
• B) $(0, 0)$Incorrecto. La función logarítmica básica no pasa por el origen; tiene una asíntota vertical en $x=0$.
• C) $(1, 0)$Correcto. El logaritmo de 1 en cualquier base válida es siempre 0, ya que $b^0 = 1$.
• D) No tiene intercepto con el eje $x$.Incorrecto. Todas las funciones logarítmicas básicas cruzan el eje x en 1.

Respuesta correcta: B) Base 10

• A) Base $e$Incorrecto. El logaritmo en base e se llama logaritmo natural ($\ln$).
• B) Base 10Correcto. Por convención, si no se escribe la base, se entiende que es 10.
• C) Base 2Incorrecto. La base 2 se usa comúnmente en computación, pero se especifica como $\log_2$.
• D) Base 1Incorrecto. La base 1 no es válida para logaritmos.

Respuesta correcta: B) Son simétricas respecto a la recta identidad $y = x$.

• A) Son paralelas entre sí.Incorrecto. No tienen la misma pendiente ni dirección.
• B) Son simétricas respecto a la recta identidad $y = x$.Correcto. Toda función y su inversa son reflejos mutuos sobre esta diagonal.
• C) Son simétricas respecto al eje $x$.Incorrecto. Esta sería una reflexión vertical.
• D) Son simétricas respecto al origen $(0,0)$.Incorrecto. Esto indicaría que son funciones impares relacionadas.

Respuesta correcta: D) $x = 4$

• A) $x = 0$Incorrecto. Esta es la asíntota de la función básica.
• B) $y = 3$Incorrecto. El logaritmo tiene asíntota vertical, no horizontal (aunque crece muy lento).
• C) $x = -4$Incorrecto. El signo negativo dentro del paréntesis indica un movimiento hacia la derecha (valores positivos de x).
• D) $x = 4$Correcto. El desplazamiento horizontal de 4 unidades a la derecha mueve la asíntota vertical a $x=4$.

Respuesta correcta: A) 3

• A) 3Correcto. Porque $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$.
• B) 2Incorrecto. $5^2 = 25$, no 125.
• C) 25Incorrecto. Se confundió el resultado de la potencia con el exponente.
• D) 5Incorrecto. $5^5 = 3,125$.

Respuesta correcta: C) -3

• A) 3Incorrecto. $2^3 = 8$, no $1/8$.
• B) -4Incorrecto. $2^{-4} = 1/16$.
• C) -3Correcto. $2^{-3} = 1 / 2^3 = 1/8$.
• D) 0.125Incorrecto. Este es el valor decimal del argumento, no el logaritmo.

Respuesta correcta: D) $\ln(x)$

• A) $\log(x)$Incorrecto. Este suele representar la base 10.
• B) $\exp(x)$Incorrecto. Esta es la función exponencial inversa ($e^x$).
• C) $e^x$Incorrecto. Esta es la función exponencial, no el logaritmo.
• D) $\ln(x)$Correcto. La abreviatura proviene del latín "logarithmus naturalis".

Respuesta correcta: B) 5

• A) $e$Incorrecto. El logaritmo "cancela" la base exponencial.
• B) 5Correcto. Por la propiedad de funciones inversas: $\log_b(b^x) = x$.
• C) 1Incorrecto. $\ln(e) = 1$, pero aquí tenemos $e$ a la quinta potencia.
• D) 0Incorrecto. $\ln(1) = 0$.

Respuesta correcta: C) $\log_b(M) + \log_b(N)$

• A) $\log_b(M) - \log_b(N)$Incorrecto. Esta es la propiedad para el cociente (división).
• B) $\log_b(M) \cdot \log_b(N)$Incorrecto. No existe una propiedad que simplifique el producto de dos logaritmos de esta manera.
• C) $\log_b(M) + \log_b(N)$Correcto. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores.
• D) $N \cdot \log_b(M)$Incorrecto. Esta es la propiedad para el logaritmo de una potencia ($M^N$).

Respuesta correcta: B) 1

• A) $\log(45)$Incorrecto. No se restan los argumentos directamente.
• B) 1Correcto. $\log(50) - \log(5) = \log(50/5) = \log(10) = 1$.
• C) $\log(250)$Incorrecto. Esto resultaría de una suma de logaritmos.
• D) 10Incorrecto. El resultado del argumento es 10, pero el logaritmo de 10 es 1.

Respuesta correcta: B) $k \cdot \log_b(x)$

• A) $(\log_b x)^k$Incorrecto. Elevar el logaritmo a una potencia no es lo mismo que el logaritmo de la potencia.
• B) $k \cdot \log_b(x)$Correcto. El exponente del argumento pasa a multiplicar al logaritmo.
• C) $\log_b(x) + \log_b(k)$Incorrecto. Esta propiedad aplica para el producto $x \cdot k$.
• D) $\frac{\log_b x}{k}$Incorrecto. Esta sería la propiedad para la raíz k-ésima de x.

Respuesta correcta: D) $\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$

• A) $\log_b(x) - \log_b(a)$Incorrecto. El cambio de base involucra división, no resta.
• B) $\log_b(x) \cdot \log_b(a)$Incorrecto. La operación correcta es el cociente de los logaritmos.
• C) $\frac{\log_x(b)}{\log_a(b)}$Incorrecto. Los argumentos y bases están mal posicionados.
• D) $\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$Correcto. El logaritmo del argumento original se divide entre el logaritmo de la base original, ambos en la nueva base.

Respuesta correcta: B) $10^{-4}$

• A) $10^4$Incorrecto. Esto daría un pH de -4.
• B) $10^{-4}$Correcto. $-\log(10^{-4}) = -(-4) = 4$.
• C) 40Incorrecto. La relación es exponencial de base 10, no multiplicativa.
• D) $0.4$Incorrecto. Error en la escala logarítmica.

Respuesta correcta: C) Es estrictamente decreciente.

• A) Es estrictamente creciente.Incorrecto. Al ser la base menor que 1, la función decrece.
• B) Tiene una asíntota horizontal en $y=0$.Incorrecto. Los logaritmos tienen asíntotas verticales.
• C) Es estrictamente decreciente.Correcto. Similar a las exponenciales, una base entre 0 y 1 invierte la monotonía del logaritmo.
• D) Su dominio son los reales negativos.Incorrecto. El dominio sigue siendo $(0, \infty)$.

Respuesta correcta: D) $x = 11$

• A) $x = 9$Incorrecto. $\log_2(14)$ no es igual a 4.
• B) $x = 1$Incorrecto. $\log_2(6)$ no es un número entero.
• C) $x = 21$Incorrecto. $\log_2(26)$ no es 4.
• D) $x = 11$Correcto. Convertimos a forma exponencial: $x + 5 = 2^4 = 16$. Restando 5 obtenemos $x = 11$.

Respuesta correcta: B) 30 dB

• A) 10 dBIncorrecto. Se olvidó multiplicar por el logaritmo de la razón.
• B) 30 dBCorrecto. $\log(1,000) = 3$. Entonces $10 \times 3 = 30$ dB.
• C) 100 dBIncorrecto. Error en el cálculo del logaritmo de 1,000.
• D) 3 dBIncorrecto. Falta multiplicar por el factor 10 de la escala decibélica.

Respuesta correcta: B) $(-3, 3)$

• A) $(-\infty, 3)$Incorrecto. No considera los valores negativos de x que también podrían invalidar el argumento.
• B) $(-3, 3)$Correcto. El argumento debe ser positivo: $9 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 9 \Rightarrow |x| < 3$.
• C) $\mathbb{R}$Incorrecto. Muchos valores de x (como x=5) harían el argumento negativo.
• D) $(3, \infty)$Incorrecto. Para estos valores, el argumento $9 - x^2$ sería negativo.

Respuesta correcta: D) 9

• A) 3Incorrecto. $\log_3(3) = 1$, y $\log_2(1) = 0$, no 1.
• B) 2Incorrecto. El argumento del logaritmo exterior debe ser 2.
• C) 6Incorrecto. Error en la aplicación sucesiva de la definición de logaritmo.
• D) 9Correcto. $\log_2(\dots)=1 \Rightarrow \log_3(x) = 2^1 = 2$. Luego $x = 3^2 = 9$.