Ecuaciones Exponenciales Logaritmicas — Matemáticas Grado 11, Nicaragua

Bloom: Remember

Un estudiante de secundaria en Matagalpa repasa los métodos para resolver ecuaciones.

¿Cuál es el primer paso recomendado para resolver la ecuación exponencial

b^x = a

, cuando

a

no puede expresarse como una potencia de

b

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Aplicar logaritmos a ambos lados de la ecuación.

A) Aplicar logaritmos a ambos lados de la ecuación.Correcto. Aplicar logaritmos permite usar la propiedad de la potencia para bajar el exponente x.
B) Multiplicar ambos lados por $b$ .Incorrecto. Multiplicar por la base no ayuda a aislar el exponente x.
C) Elevar ambos lados al cuadrado.Incorrecto. Elevar al cuadrado complicaría el exponente convirtiéndolo en 2x.
D) Dividir $a$ entre $b$ .Incorrecto. Esta operación no es válida para despejar un exponente.

💡 Explicación

Cuando las bases no se pueden igualar fácilmente, la herramienta fundamental es aplicar logaritmos (comunes o naturales) para transformar la ecuación exponencial en una ecuación lineal.

Bloom: Remember

Un examen de admisión universitaria en Nicaragua que incluye álgebra avanzada.

¿Cuál es la propiedad que permite convertir la ecuación

\log_b(x) = \log_b(y)

en la ecuación simple

x = y

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Propiedad de inyectividad (unidireccionalidad) de la función logarítmica.

A) Propiedad de inyectividad (unidireccionalidad) de la función logarítmica.Correcto. Como a cada valor del dominio le corresponde un único valor del rango, si los logaritmos son iguales, sus argumentos deben serlo.
B) Propiedad conmutativa.Incorrecto. La propiedad conmutativa trata sobre el orden de las operaciones.
C) Propiedad distributiva.Incorrecto. No se está distribuyendo un factor sobre una suma.
D) Propiedad asociativa.Incorrecto. No se está cambiando la agrupación de términos.

💡 Explicación

La inyectividad de las funciones logarítmicas y exponenciales es la base legal para "cancelar" las funciones en ambos lados de una igualdad siempre que tengan la misma base.

Bloom: Understand

Un análisis sobre las soluciones de ecuaciones con logaritmos.

¿Por qué es obligatorio verificar las soluciones obtenidas en una ecuación logarítmica en el enunciado original?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) Porque pueden surgir "soluciones extrañas" que hacen que el argumento del logaritmo sea negativo o cero.

A) Porque las bases podrían cambiar durante el proceso.Incorrecto. Las bases se mantienen constantes a menos que se aplique un cambio de base.
B) Porque pueden surgir "soluciones extrañas" que hacen que el argumento del logaritmo sea negativo o cero.Correcto. Al transformar la ecuación, podemos obtener valores que no pertenecen al dominio de la función original.
C) Porque el logaritmo de un número positivo siempre es negativo.Incorrecto. El logaritmo de un número mayor que 1 es positivo.
D) Porque solo se aceptan soluciones enteras.Incorrecto. Las soluciones pueden ser cualquier número real que cumpla con el dominio.

💡 Explicación

El dominio de

\log(x)

es

(0, \infty)

. Si al sustituir una solución el argumento resulta

\leq 0

, esa solución debe descartarse por ser inválida en el campo de los números reales.

Bloom: Understand

Conversión de formas para facilitar el despeje.

Para resolver la ecuación

\log_2(x) = 5

, ¿cuál es su forma exponencial equivalente?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $2^5 = x$

A) $x^2 = 5$ Incorrecto. El argumento no es la base de la potencia.
B) $2^x = 5$ Incorrecto. La variable x debe ser el resultado, no el exponente.
C) $2^5 = x$ Correcto. La base elevada al resultado es igual al argumento.
D) $5^2 = x$ Incorrecto. Se intercambiaron la base y el exponente.

💡 Explicación

La definición de logaritmo establece que

\log_b(a) = c \iff b^c = a

. Aplicando esto,

2^5 = x

.

Bloom: Understand

Un problema de crecimiento de capital en una microfinanciera en León.

Resuelve la ecuación exponencial:

5^{2x} = 25

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $x = 1$

A) $x = 2$ Incorrecto. Si x=2, el exponente sería 4, y $5^4 = 625$ .
B) $x = 0$ Incorrecto. $5^0 = 1$ , no 25.
C) $x = 1$ Correcto. Como $25 = 5^2$ , igualamos exponentes: $2x = 2$ , por lo tanto $x = 1$ .
D) $x = 5$ Incorrecto. Valor muy alto para la igualdad planteada.

💡 Explicación

Igualamos las bases:

5^{2x} = 5^2

. Por la propiedad de inyectividad,

2x = 2

, lo que nos lleva a

x = 1

.

Bloom: Understand

Un cálculo de tiempos de duplicación en biología.

Halla el valor de

x

en la ecuación:

2^{x+1} = 8

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $x = 2$

A) $x = 3$ Incorrecto. $2^{3+1} = 2^4 = 16$ .
B) $x = 1$ Incorrecto. $2^2 = 4$ .
C) $x = 2$ Correcto. $2^{x+1} = 2^3$ , entonces $x + 1 = 3$ , por lo que $x = 2$ .
D) $x = 4$ Incorrecto. Valor excedido para la igualdad.

💡 Explicación

Expresamos 8 como potencia de 2 (

2^3

). Al igualar los exponentes

x+1 = 3

, obtenemos la solución.

Bloom: Apply

Resolución de ecuaciones logarítmicas con términos constantes.

¿Cuál es el valor de

x

en la ecuación

\log_3(x - 2) = 2

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $x = 11$

A) $x = 8$ Incorrecto. $8-2=6$ , y $\log_3(6)$ no es 2.
B) $x = 7$ Incorrecto. $3^2 = 9$ , no 5.
C) $x = 13$ Incorrecto. Error de cálculo en la transformación exponencial.
D) $x = 11$ Correcto. $x - 2 = 3^2 = 9$ . Sumando 2, obtenemos $x = 11$ .

💡 Explicación

Transformamos a la forma exponencial

3^2 = x-2

. Esto resulta en

9 = x-2

, por lo tanto

x = 11

.

Bloom: Apply

Uso de logaritmos naturales en el despeje de la variable tiempo.

Resuelve para

x

:

e^x = 10

. (Expresa el resultado en términos de logaritmo natural).

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $x = \ln(10)$

A) $x = \log(10)$ Incorrecto. "log" suele referirse a base 10. Para base e se usa "ln".
B) $x = 10^e$ Incorrecto. Esta no es la operación inversa.
C) $x = \sqrt[e]{10}$ Incorrecto. Los logaritmos no son raíces radicales.
D) $x = \ln(10)$ Correcto. Aplicando logaritmo natural en ambos lados, $\ln(e^x) = \ln(10)$ , por lo que $x = \ln(10)$ .

💡 Explicación

El logaritmo natural (

\ln

) es la función inversa de la base

e

. Aplicarlo a ambos lados "baja" la

x

y nos da la solución exacta.

Bloom: Apply

Aplicación de la propiedad del producto para resolver una ecuación logarítmica.

Halla el valor de

x

en:

\log(x) + \log(2) = \log(12)

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $x = 6$

A) $x = 10$ Incorrecto. $\log(10) + \log(2) = \log(20)$ , no $\log(12)$ .
B) $x = 14$ Incorrecto. Se sumó 2 en lugar de multiplicar por 2.
C) $x = 6$ Correcto. Usando la propiedad del producto: $\log(2x) = \log(12)$ , por lo tanto $2x = 12$ y $x = 6$ .
D) $x = 24$ Incorrecto. Se multiplicó 12 por 2 en lugar de dividir.

💡 Explicación

Combinamos los logaritmos de la izquierda usando

\log M + \log N = \log(MN)

. Luego igualamos los argumentos.

Bloom: Apply

Uso de la propiedad del cociente en ecuaciones.

Resuelve:

\ln(x) - \ln(3) = \ln(4)

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x = 12$

A) $x = 12$ Correcto. $\ln(x/3) = \ln(4) \Rightarrow x/3 = 4 \Rightarrow x = 12$ .
B) $x = 1$ Incorrecto. No se restan los argumentos.
C) $x = 7$ Incorrecto. Se sumaron los argumentos, error de propiedad.
D) $x = 4/3$ Incorrecto. Se dividió 4 entre 3 en lugar de multiplicar.

💡 Explicación

La resta de logaritmos equivale al logaritmo de la división de los argumentos. Al igualar

x/3 = 4

, despejamos

x

.

Bloom: Apply

Un problema de base fraccionaria en una ecuación exponencial.

¿Cuál es la solución de

(1/2)^x = 16

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $x = -4$

A) $x = 4$ Incorrecto. $(1/2)^4 = 1/16$ .
B) $x = -4$ Correcto. $(2^{-1})^x = 2^4 \Rightarrow -x = 4 \Rightarrow x = -4$ .
C) $x = -2$ Incorrecto. $(1/2)^{-2} = 4$ .
D) $x = 8$ Incorrecto. Valor inconsistente con la base y el resultado.

💡 Explicación

Convertimos ambas bases a potencias de 2.

1/2 = 2^{-1}

y

16 = 2^4

. Igualando los exponentes resultantes

(-x = 4)

, hallamos

x

.

Bloom: Apply

Resolución de una ecuación logarítmica que requiere simplificación previa.

Halla

x

en la ecuación:

2 \log_2(x) = \log_2(25)

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x = 5$

A) $x = 5$ Correcto. El 2 sube como exponente: $\log_2(x^2) = \log_2(25) \Rightarrow x^2 = 25$ . Como el dominio de x es positivo, $x = 5$ .
B) $x = 12.5$ Incorrecto. No se divide el argumento entre el coeficiente exterior.
C) $x = 50$ Incorrecto. Error en la aplicación de las propiedades de logaritmos.
D) $x = \sqrt{2}$ Incorrecto. Error conceptual al manejar el coeficiente.

💡 Explicación

Aplicamos la propiedad de la potencia en sentido inverso:

k \log M = \log M^k

. Luego igualamos

x^2 = 25

.

Bloom: Analyze

Una ecuación exponencial que requiere el uso de logaritmos comunes.

¿Cuál es el valor aproximado de

x

en

3^x = 20

? (Usa

\log 3 \approx 0.477

y

\log 20 \approx 1.301

).

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x \approx 2.73$

A) $x \approx 2.73$ Correcto. $x \log 3 = \log 20 \Rightarrow x = 1.301 / 0.477 \approx 2.727$ .
B) $x \approx 0.36$ Incorrecto. El resultado debe ser mayor que 2 ( $3^2=9$ ).
C) $x \approx 6.67$ Incorrecto. Se dividió 20 entre 3, error de concepto.
D) $x \approx 1.81$ Incorrecto. Error en el cálculo de la división de logaritmos.

💡 Explicación

Aplicamos logaritmos en ambos lados:

\log(3^x) = \log(20)

. Bajamos la

x

como multiplicador:

x \log 3 = \log 20

. Finalmente dividimos los valores.

Bloom: Analyze

Un reto sobre el dominio de las soluciones en ecuaciones logarítmicas.

Al resolver la ecuación

\log(x) + \log(x - 3) = 1

, se obtienen los valores

x = 5

y

x = -2

. ¿Cuál es la solución real?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) Solo $x = 5$ es solución.

A) Ambas son soluciones válidas.Incorrecto. Una de las soluciones no pertenece al dominio original.
B) Solo $x = -2$ es solución.Incorrecto. Los logaritmos de números negativos no están definidos.
C) Solo $x = 5$ es solución.Correcto. Para $x = -2$ , el argumento $\log(x)$ sería $\log(-2)$ , lo cual no existe en los reales.
D) Ninguna es solución.Incorrecto. El valor 5 sí cumple con la ecuación y las restricciones de dominio.

💡 Explicación

Este es un ejemplo de "solución extraña". Aunque el álgebra produce dos resultados, solo el 5 permite que todos los argumentos de la ecuación original sean positivos.

Bloom: Analyze

Uso de cambio de base para resolver una ecuación.

Resuelve la ecuación exponencial:

2^{3x} = 5^{x+2}

. (Expresa la solución en términos de logaritmos).

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x = \frac{2 \log 5}{3 \log 2 - \log 5}$

A) $x = \frac{2 \log 5}{3 \log 2 - \log 5}$ Correcto. Al aplicar logaritmos: $3x \log 2 = (x+2) \log 5 \Rightarrow 3x \log 2 = x \log 5 + 2 \log 5$ . Despejando x obtenemos el resultado.
B) $x = \frac{2 \log 5}{3 \log 2 - 5}$ Incorrecto. El término independiente en el denominador está mal calculado.
C) $x = \frac{\log 5}{3 \log 2}$ Incorrecto. Se ignoró el término $x$ del lado derecho.
D) $x = \frac{2}{3}$ Incorrecto. No se pueden simplificar las bases de esta manera.

💡 Explicación

Aplicamos logaritmos, distribuimos el logaritmo del lado derecho sobre el binomio, agrupamos los términos con

x

a un lado, factorizamos

x

y despejamos.

Bloom: Analyze

Una ecuación que se resuelve mediante cambio de variable (forma cuadrática).

¿Qué sustitución es útil para resolver la ecuación

e^{2x} - 5e^x + 6 = 0

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $u = e^x$

A) $u = x^2$ Incorrecto. El exponente de x no es el problema principal.
B) $u = e^x$ Correcto. La ecuación se transforma en $u^2 - 5u + 6 = 0$ , que es una cuadrática simple.
C) $u = 2x$ Incorrecto. No simplifica la estructura exponencial de la ecuación.
D) $u = \ln(x)$ Incorrecto. Esta sustitución complicaría la expresión exponencial.

💡 Explicación

Muchas ecuaciones exponenciales tienen "forma cuadrática" oculta. Al sustituir la base exponencial por una nueva variable, podemos usar métodos conocidos como la factorización o la fórmula general.

Bloom: Evaluate

Resolución completa de una ecuación exponencial cuadrática.

Halla las soluciones para

x

en la ecuación

4^x - 6(2^x) + 8 = 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $x = 2$ y $x = 1$

A) $x = 4$ y $x = 2$ Incorrecto. Estos son los valores de la variable intermedia u, no de x.
B) $x = 8$ y $x = 6$ Incorrecto. Valores sin relación lógica con la factorización.
C) No tiene solución real.Incorrecto. La ecuación cuadrática en u tiene raíces reales positivas, lo que garantiza soluciones para x.
D) $x = 2$ y $x = 1$ Correcto. Sea $u = 2^x$ . La ecuación es $u^2 - 6u + 8 = 0$ , factorizando $(u-4)(u-2)=0$ . Entonces $2^x=4 \Rightarrow x=2$ y $2^x=2 \Rightarrow x=1$ .

💡 Explicación

Reconocemos que

4^x = (2^x)^2

. Resolvemos la cuadrática para

2^x

y luego resolvemos las dos ecuaciones exponenciales básicas resultantes para hallar el valor de

x

.

Bloom: Evaluate

Una ecuación logarítmica que involucra el cambio de base.

Resuelve la ecuación:

\log_2(x) + \log_4(x) = 3

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $x = 4$

A) $x = 3$ Incorrecto. $\log_2(3) + \log_4(3)$ no suma 3.
B) $x = 8$ Incorrecto. Daría $3 + 1.5 = 4.5$ , excediendo el valor 3.
C) $x = 4$ Correcto. Cambiamos base: $\log_2(x) + \frac{\log_2(x)}{\log_2(4)} = 3 \Rightarrow \log_2(x) + \frac{1}{2}\log_2(x) = 3 \Rightarrow \frac{3}{2}\log_2(x) = 3 \Rightarrow \log_2(x) = 2 \Rightarrow x = 4$ .
D) $x = 2$ Incorrecto. Daría $1 + 0.5 = 1.5$ .

💡 Explicación

Para resolver ecuaciones con logaritmos de bases distintas, debemos usar la fórmula de cambio de base para unificar todos los términos bajo una misma base antes de combinar.

Bloom: Evaluate

Un sistema de ecuaciones no lineales.

Resuelve el sistema:

2^x \cdot 4^y = 32

\log(x + y) = \log(4)

¿Cuáles son los valores de

x

e

y

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $x = 3, y = 1$

A) $x = 1, y = 3$ Incorrecto. $2^1 \cdot 4^3 = 2 \cdot 64 = 128$ , no 32.
B) $x = 2, y = 2$ Incorrecto. $2^2 \cdot 4^2 = 4 \cdot 16 = 64$ .
C) $x = 4, y = 0$ Incorrecto. $\log(4+0) = \log(4)$ , pero $2^4 \cdot 4^0 = 16$ .
D) $x = 3, y = 1$ Correcto. De la segunda eq: $x + y = 4$ . De la primera: $2^x \cdot 2^{2y} = 2^5 \Rightarrow x + 2y = 5$ . Resolviendo el sistema lineal resultante obtenemos $x=3, y=1$ .

💡 Explicación

Transformamos las ecuaciones originales en un sistema de ecuaciones lineales. La exponencial se convierte en lineal igualando bases, y la logarítmica igualando argumentos.

Bloom: Evaluate

Un reto sobre las propiedades de logaritmos y potencias combinadas.

Determina el valor de

x

si

x^{\log_x(10)} = 10^x

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $x = 1$

A) $x = 10$ Incorrecto. $10^1 = 10^{10}$ es falso.
B) $x = 1$ Correcto. El lado izquierdo por propiedad es 10. Entonces $10 = 10^x \Rightarrow x = 1$ .
C) $x = 0$ Incorrecto. La base de un logaritmo no puede ser 0.
D) Cualquier número real positivo.Incorrecto. La igualdad solo se cumple para un valor específico de x.

💡 Explicación

Aplicamos la identidad fundamental

b^{\log_b(a)} = a

. Esto simplifica drásticamente el lado izquierdo a la constante 10, permitiendo resolver la ecuación restante con facilidad.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?