Trigonometria Identidades Ecuaciones

Respuesta correcta: A) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

• A) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$Correcto. Esta identidad es válida para cualquier ángulo real y deriva del Teorema de Pitágoras.
• B) $\sin \theta + \cos \theta = 1$Incorrecto. La suma simple de seno y coseno no es constante.
• C) $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = 1$Incorrecto. El signo debe ser de suma.
• D) $\sin \theta \cdot \cos \theta = 1$Incorrecto. El producto de seno y coseno no es constante.

Respuesta correcta: B) $\cot \theta$

• A) $\sin \theta$Incorrecto. El seno no es el recíproco de la tangente.
• B) $\cot \theta$Correcto. Por definición, la cotangente es la razón inversa de la tangente.
• C) $\sec \theta$Incorrecto. La secante es el recíproco del coseno.
• D) $\csc \theta$Incorrecto. La cosecante es el recíproco del seno.

Respuesta correcta: C) $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$

• A) $1 + \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$Incorrecto. Esta no es una identidad válida.
• B) $1 + \cot^2 \theta = \sec^2 \theta$Incorrecto. La cotangente se relaciona con la cosecante.
• C) $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$Correcto. Se obtiene dividiendo la identidad fundamental ($\sin^2 + \cos^2 = 1$) entre $\cos^2 \theta$.
• D) $\tan^2 \theta - 1 = \sec^2 \theta$Incorrecto. El signo del 1 debe ser positivo en el lado de la tangente.

Respuesta correcta: C) Una identidad es válida para todos los valores del dominio, mientras que una ecuación solo es válida para valores específicos.

• A) No hay diferencia, son sinónimos.Incorrecto. Tienen significados matemáticos distintos respecto a su validez.
• B) Las identidades no usan funciones como seno o coseno.Incorrecto. Ambas utilizan funciones trigonométricas.
• C) Una identidad es válida para todos los valores del dominio, mientras que una ecuación solo es válida para valores específicos.Correcto. La identidad es una igualdad absoluta; la ecuación busca encontrar incógnitas.
• D) Las ecuaciones siempre tienen infinitas soluciones.Incorrecto. Aunque muchas tienen infinitas soluciones, algunas pueden no tener ninguna.

Respuesta correcta: D) $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

• A) $\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta$Incorrecto. Esta es la estructura del coseno de la resta.
• B) $\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$Incorrecto. Esta es la fórmula para la resta de ángulos.
• C) $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha + \sin \beta$Incorrecto. Las funciones trigonométricas no son lineales.
• D) $\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$Correcto. El seno de la suma mezcla seno y coseno de ambos ángulos con el mismo signo.

Respuesta correcta: C) 30° y 150°

• A) Solo 30°Incorrecto. Falta la solución del segundo cuadrante donde el seno también es positivo.
• B) 30° y 210°Incorrecto. A los 210° (III cuadrante) el seno es negativo.
• C) 30° y 150°Correcto. El seno es positivo en los cuadrantes I y II. Los ángulos con referencia 30° son 30° y 180°-30°=150°.
• D) 30° y 330°Incorrecto. A los 330° (IV cuadrante) el seno es negativo.

Respuesta correcta: C) $\cos \theta$

• A) $\sin \theta$Incorrecto. Se cancela el seno del numerador de la cotangente.
• B) $\tan \theta$Incorrecto. La tangente es el recíproco de la cotangente.
• C) $\cos \theta$Correcto. $\sin \theta \cdot (\cos \theta / \sin \theta) = \cos \theta$.
• D) 1Incorrecto. No son funciones recíprocas.

Respuesta correcta: C) $2 \sin \theta \cos \theta$

• A) $2 \sin \theta$Incorrecto. La función seno no es lineal.
• B) $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta$Incorrecto. Esta es la fórmula para el coseno del ángulo doble.
• C) $2 \sin \theta \cos \theta$Correcto. Esta identidad se deriva de la fórmula de la suma haciendo $\alpha = \beta$.
• D) $\sin^2 \theta$Incorrecto. No corresponde a la expansión del ángulo doble.

Respuesta correcta: C) 45° y 135°

• A) 30°Incorrecto. $\cos^2(30^\circ) = 3/4$, lo que no satisface la ecuación.
• B) 60° y 120°Incorrecto. $\cos^2(60^\circ) = 1/4$.
• C) 45° y 135°Correcto. $\cos^2 \theta = 1/2 \Rightarrow \cos \theta = \pm \sqrt{1/2} = \pm \sqrt{2}/2$. Esto ocurre a los 45° (+) y 135° (-).
• D) Solo 45°Incorrecto. Falta la solución del segundo cuadrante permitida por el intervalo.

Respuesta correcta: C) -7/25

• A) 6/5Incorrecto. El valor del coseno nunca puede ser mayor que 1.
• B) 9/25Incorrecto. Solo se elevó al cuadrado el valor del coseno.
• C) -7/25Correcto. $\cos(2\theta) = 2 \cos^2 \theta - 1 = 2(9/25) - 1 = 18/25 - 25/25 = -7/25$.
• D) 16/25Incorrecto. Este es el valor de $\sin^2 \theta$.

Respuesta correcta: A) 1

• A) 1Correcto. Por la identidad $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$, el numerador es exactamente $\tan^2 \theta$.
• B) $\tan \theta$Incorrecto. El numerador es igual al denominador.
• C) $\sec \theta$Incorrecto. Error en la sustitución de la identidad.
• D) $\cos^2 \theta$Incorrecto. Resultado inconsistente con la igualdad de términos.

Respuesta correcta: A) $2 \csc \theta$

• A) $2 \csc \theta$Correcto. Al sumar las fracciones: $\frac{\sin^2 \theta + (1 + \cos \theta)^2}{\sin \theta(1 + \cos \theta)} = \frac{\sin^2 \theta + 1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta}{\dots} = \frac{2 + 2\cos \theta}{\sin \theta(1 + \cos \theta)} = \frac{2(1 + \cos \theta)}{\sin \theta(1 + \cos \theta)} = 2 / \sin \theta = 2 \csc \theta$.
• B) $2 \sin \theta$Incorrecto. El término final es recíproco al seno.
• C) 2Incorrecto. Se omitió la función en el denominador.
• D) $2 \tan \theta$Incorrecto. No se llega a una relación de tangente mediante esta suma.

Respuesta correcta: A) 0 y $\pi$

• A) 0 y $\pi$Correcto. Factorizando: $\sin \theta (\cos \theta - 1) = 0$. Esto da $\sin \theta = 0 \Rightarrow 0, \pi$ y $\cos \theta = 1 \Rightarrow 0$. El conjunto es $\{0, \pi\}$.
• B) Solo $\pi/2$Incorrecto. El valor del seno sería 1 y el del coseno 0, no satisface la resta.
• C) $\pi/2$ y $3\pi/2$Incorrecto. Estas son soluciones para el coseno igual a cero.
• D) $\pi/4$ y $5\pi/4$Incorrecto. Valores que no anulan ninguno de los factores.

Respuesta correcta: C) $1 - 2\sin^2 \theta$

• A) $1 - \sin^2 \theta$Incorrecto. Esta es simplemente $\cos^2 \theta$.
• B) $2\sin^2 \theta - 1$Incorrecto. Los signos están invertidos.
• C) $1 - 2\sin^2 \theta$Correcto. Partiendo de $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ y sustituyendo $\cos^2$ por $1 - \sin^2$.
• D) $2\sin \theta \cos \theta$Incorrecto. Esta es la identidad del seno del ángulo doble.

Respuesta correcta: A) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

• A) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$Correcto. $\cos(45+30) = \cos 45 \cos 30 - \sin 45 \sin 30 = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
• B) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$Incorrecto. Este es el valor de $\sin(75^\circ)$.
• C) $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$Incorrecto. Error en el manejo de los denominadores al sumar las fracciones.
• D) $\frac{\sqrt{2}}{2}$Incorrecto. Valor correspondiente a 45°.

Respuesta correcta: D) $\cos \theta$

• A) $\sin \theta$Incorrecto. Esta sería la identidad para $\sin(\pi - \theta)$.
• B) $-\cos \theta$Incorrecto. El signo debe ser positivo en el primer cuadrante.
• C) $\tan \theta$Incorrecto. No existe relación directa de complementariedad con la tangente.
• D) $\cos \theta$Correcto. El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento.

Respuesta correcta: B) 0

• A) $\pi/2$Incorrecto. $\sin^2(\pi/2) = 1$, pero $\cos(\pi/2) = 0$. $1-3 \neq 0$.
• B) 0Correcto. Sustituimos $\sin^2$ por $1 - \cos^2$: $(1 - \cos^2 \theta) + 3\cos \theta - 3 = 0 \Rightarrow -\cos^2 \theta + 3\cos \theta - 2 = 0 \Rightarrow \cos^2 \theta - 3\cos \theta + 2 = 0$. Factorizando $(\cos \theta - 2)(\cos \theta - 1) = 0$. La única válida es $\cos \theta = 1 \Rightarrow \theta = 0$.
• C) $\pi$Incorrecto. $\cos(\pi) = -1$, daría $0 - 3 - 3 \neq 0$.
• D) $2\pi$Incorrecto. El valor $2\pi$ está excluido por el paréntesis del intervalo.

Respuesta correcta: D) $\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$

• A) $\frac{1 - \cos \theta}{2}$Incorrecto. Esta es la forma del seno cuadrado del ángulo mitad.
• B) $\frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}$Incorrecto. Los términos están invertidos.
• C) $\sqrt{1 - \cos \theta}$Incorrecto. Falta el denominador y el factor 2.
• D) $\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$Correcto. Una de las formas más útiles para la tangente del ángulo mitad que no requiere raíz cuadrada.

Respuesta correcta: B) 3

• A) 1Incorrecto. Al triplicar la frecuencia, se multiplican las ocurrencias de los picos.
• B) 3Correcto. $\sin(x)=1$ tiene una solución por ciclo. Al haber 3 ciclos completos en $2\pi$, hay 3 soluciones ($\pi/6, 5\pi/6, 3\pi/2$).
• C) 2Incorrecto. Este es el número de soluciones si fuera $\sin(3\theta) = 1/2$.
• D) 6Incorrecto. El valor 1 solo se alcanza una vez por periodo de la función básica.

Respuesta correcta: C) $\frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$

• A) $\sin(\alpha + \beta)$Incorrecto. Falta el otro término de la expansión del seno de la suma.
• B) $\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$Incorrecto. Esta es la base para el producto de dos senos.
• C) $\frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$Correcto. Esta identidad de Werner permite transformar productos en sumas, útil en el análisis de señales.
• D) $\sin \alpha + \cos \beta$Incorrecto. Las funciones trigonométricas no se suman linealmente tras un producto.