Geometria Analitica Recta

Respuesta correcta: D) $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

• A) $d = (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$Incorrecto. Esta no es la distancia euclidiana.
• B) $d = \sqrt{(x_2 + x_1)^2 + (y_2 + y_1)^2}$Incorrecto. Se deben restar las coordenadas, no sumarlas.
• C) $d = \frac{x_1 + x_2}{2}$Incorrecto. Esta es parte de la fórmula del punto medio.
• D) $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$Correcto. Esta fórmula deriva del Teorema de Pitágoras aplicado a las diferencias de las coordenadas.

Respuesta correcta: C) $(4, 7)$

• A) $(8, 14)$Incorrecto. Solo se sumaron las coordenadas sin promediarlas.
• B) $(2, 3)$Incorrecto. Se restaron las coordenadas en lugar de sumarlas.
• C) $(4, 7)$Correcto. Punto medio = $((x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2) = (8/2, 14/2) = (4, 7)$.
• D) $(4, 5)$Incorrecto. El promedio de 4 y 10 no es 5.

Respuesta correcta: D) $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

• A) $m = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$Incorrecto. La pendiente es el cambio en y sobre el cambio en x.
• B) $m = (y_2 - y_1)(x_2 - x_1)$Incorrecto. La pendiente es una razón, no un producto.
• C) $m = \frac{y_2 + y_1}{x_2 + x_1}$Incorrecto. Se deben restar los valores para hallar los desplazamientos.
• D) $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$Correcto. La pendiente representa la razón de cambio vertical respecto al cambio horizontal.

Respuesta correcta: A) $y - y_1 = m(x - x_1)$

• A) $y - y_1 = m(x - x_1)$Correcto. Esta forma permite construir la ecuación conociendo un punto y la inclinación.
• B) $y = mx + b$Incorrecto. Esta es la forma pendiente-intercepto.
• C) $Ax + By + C = 0$Incorrecto. Esta es la forma general o implícita.
• D) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$Incorrecto. Esta es la forma simétrica o canónica.

Respuesta correcta: C) $m_1 = m_2$

• A) $m_1 \cdot m_2 = -1$Incorrecto. Esta es la condición para rectas perpendiculares.
• B) $m_1 = -m_2$Incorrecto. Pendientes opuestas no garantizan paralelismo.
• C) $m_1 = m_2$Correcto. Las rectas paralelas tienen exactamente la misma inclinación.
• D) $m_1 + m_2 = 0$Incorrecto. Esta condición no define la relación geométrica de paralelismo.

Respuesta correcta: B) $m_1 \cdot m_2 = -1$

• A) $m_1 = m_2$Incorrecto. Esta es la condición de paralelismo.
• B) $m_1 \cdot m_2 = -1$Correcto. Las pendientes de rectas perpendiculares son recíprocas y opuestas.
• C) $m_1 \cdot m_2 = 1$Incorrecto. Deben tener signos opuestos.
• D) $m_1 + m_2 = -1$Incorrecto. La relación es multiplicativa, no aditiva.

Respuesta correcta: D) $(0, 3)$

• A) $(0, -6)$Incorrecto. Error de signo al despejar.
• B) $(0, -2)$Incorrecto. Se tomó el coeficiente de y.
• C) $(0, -3)$Incorrecto. Error de signo en la transposición de términos.
• D) $(0, 3)$Correcto. En el eje y, $x=0$. Entonces $-2y + 6 = 0 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$.

Respuesta correcta: C) -1/2

• A) 5Incorrecto. No es simplemente el coeficiente de x.
• B) -2Incorrecto. Error en la división de coeficientes.
• C) -1/2Correcto. Despejando y: $10y = -5x + 7 \Rightarrow y = (-5/10)x + 7/10 \Rightarrow y = -1/2 x + 0.7$. La pendiente es -1/2.
• D) 1/2Incorrecto. Olvidó el signo negativo al trasponer el término en x.

Respuesta correcta: A) $y = 3x + 5$

• A) $y = 3x + 5$Correcto. Al ser paralela, hereda la pendiente $m=3$. Al pasar por $(0,5)$, el intercepto $b=5$.
• B) $y = -3x + 5$Incorrecto. Las pendientes deben ser iguales para que sean paralelas.
• C) $y = 1/3 x + 5$Incorrecto. Se usó la pendiente recíproca, no la igual.
• D) $y = 3x - 5$Incorrecto. El intercepto con y debe ser positivo.

Respuesta correcta: D) $k = 6$

• A) $k = 5$Incorrecto. Si k=5, la pendiente entre los últimos dos puntos no es igual a la de los primeros.
• B) $k = 7$Incorrecto. Error de cálculo en la igualdad de pendientes.
• C) $k = 8$Incorrecto. Valor inconsistente con una progresión lineal.
• D) $k = 6$Correcto. La pendiente entre los primeros dos es $(4-2)/(3-1) = 2/2 = 1$. Entonces entre los últimos debe ser $(k-4)/(5-3) = 1 \Rightarrow (k-4)/2 = 1 \Rightarrow k-4 = 2 \Rightarrow k = 6$.

Respuesta correcta: B) $y = 2x + 1$

• A) $y = 3x + 1$Incorrecto. Si x=1, daría y=4.
• B) $y = 2x + 1$Correcto. $m = (7-3)/(3-1) = 4/2 = 2$. Luego $y - 3 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x + 1$.
• C) $y = 4x - 1$Incorrecto. Pendiente mal calculada.
• D) $y = 2x - 1$Incorrecto. El intercepto con y es positivo.

Respuesta correcta: D) $y = -1/2 x + 2$

• A) $y = -1/2 x + 1$Incorrecto. Error en el cálculo del intercepto b.
• B) $y = 1/2 x + 0$Incorrecto. Se usó la recíproca pero no la opuesta.
• C) $y = -2x + 5$Incorrecto. La pendiente debe ser recíproca.
• D) $y = -1/2 x + 2$Correcto. La pendiente perpendicular es -1/2. Entonces $y - 1 = -1/2(x - 2) \Rightarrow y = -1/2 x + 1 + 1 \Rightarrow y = -1/2 x + 2$.

Respuesta correcta: A) $\frac{x}{4} - \frac{y}{2} = 1$

• A) $\frac{x}{4} - \frac{y}{2} = 1$Correcto. La forma es $x/a + y/b = 1$, donde $a=4$ y $b=-2$.
• B) $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$Incorrecto. Se ignoró el signo negativo del intercepto en y.
• C) $4x - 2y = 1$Incorrecto. Esta no es la estructura de la forma simétrica.
• D) $\frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 1$Incorrecto. Se intercambiaron los interceptos.

Respuesta correcta: C) 2 unidades

• A) 10 unidadesIncorrecto. No se aplicó la fórmula de la distancia.
• B) 5 unidadesIncorrecto. Se usó solo el denominador de la fórmula.
• C) 2 unidadesCorrecto. $d = |3(0) + 4(0) - 10| / \sqrt{3^2 + 4^2} = |-10| / 5 = 2$.
• D) $2.5$ unidadesIncorrecto. Error aritmético en la división final.

Respuesta correcta: C) 45°

• A) 30°Incorrecto. La tangente de 30° es $\sqrt{3}/3$.
• B) 60°Incorrecto. La tangente de 60° es $\sqrt{3}$.
• C) 45°Correcto. El ángulo es $\arctan(1) = 45^\circ$.
• D) 90°Incorrecto. La pendiente de 90° es indefinida.

Respuesta correcta: A) $(2, 3)$

• A) $(2, 3)$Correcto. Igualando: $x + 1 = -x + 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$. Entonces $y = 2 + 1 = 3$.
• B) $(3, 4)$Sustituyendo en $y=-x+5$: $-3+5=2\neq4$, así que el punto no pertenece a la segunda recta.
• C) $(1, 2)$Sustituyendo en $y=-x+5$: $-1+5=4\neq2$, de modo que el punto no está en la segunda recta.
• D) $(4, 1)$Incorrecto. No satisface la primera ecuación.

Respuesta correcta: D) $x = 2$

• A) $y = 2$Incorrecto. Esta es una línea horizontal, no vertical.
• B) $y = x$Incorrecto. No es perpendicular al segmento dado.
• C) $x = 0$Incorrecto. Esta línea pasa por uno de los extremos, no por el medio.
• D) $x = 2$Correcto. El punto medio es $(2, 0)$. El segmento es horizontal ($m=0$), por lo que la mediatriz es vertical ($m$ indefinida) y pasa por x=2.

Respuesta correcta: A) 12 unidades cuadradas

• A) 12 unidades cuadradasCorrecto. Interceptos: $x=6$ (base), $y=4$ (altura). Área = $(6 \times 4) / 2 = 12$.
• B) 6 unidades cuadradasIncorrecto. Error al aplicar la fórmula del área del triángulo.
• C) 24 unidades cuadradasIncorrecto. Faltó dividir entre 2.
• D) 10 unidades cuadradasIncorrecto. Error al hallar los interceptos con los ejes.

Respuesta correcta: D) 60°

• A) 30°Incorrecto. $\tan(30^\circ) = 1/\sqrt{3}$.
• B) 45°Incorrecto. $\tan(45^\circ) = 1$.
• C) 75°Incorrecto. Valor inconsistente con las pendientes notables.
• D) 60°Correcto. La pendiente de la segunda recta es $\sqrt{3}$. El ángulo es $\arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$.

Respuesta correcta: B) $\sqrt{5}$ unidades

• A) 5 unidadesIncorrecto. Esta es la diferencia vertical, no la distancia mínima (perpendicular).
• B) $\sqrt{5}$ unidadesCorrecto. $d = |C_2 - C_1| / \sqrt{A^2 + B^2}$. En forma general: $2x - y + 1 = 0$ y $2x - y + 6 = 0$. $d = |6 - 1| / \sqrt{2^2 + (-1)^2} = 5 / \sqrt{5} = \sqrt{5}$.
• C) 2.5 unidadesIncorrecto. Error al aplicar la fórmula de distancia entre paralelas.
• D) 1 unidadIncorrecto. Resultado insuficiente para el desplazamiento entre las líneas.