Geometria Analitica Circunferencia

Respuesta correcta: C) El conjunto de puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.

• A) El conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante.Incorrecto. Esta es la definición de una elipse.
• B) El conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante.Incorrecto. Esta es la definición de una hipérbola.
• C) El conjunto de puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.Correcto. La distancia constante se denomina radio.
• D) El conjunto de puntos cuya distancia a una recta es igual a la distancia a un punto.Incorrecto. Esta es la definición de una parábola.

Respuesta correcta: A) $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

• A) $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$Correcto. Esta forma deriva directamente de la fórmula de distancia entre un punto $(x, y)$ y el centro.
• B) $(x + h)^2 + (y + k)^2 = r^2$Incorrecto. Los signos deben ser negativos para representar los desplazamientos.
• C) $x^2 + y^2 = r$Incorrecto. Esta es para centro en el origen y falta elevar el radio al cuadrado.
• D) $(x - h) + (y - k) = r$Incorrecto. Los términos deben estar elevados al cuadrado.

Respuesta correcta: C) $x^2 + y^2 = 25$

• A) $x^2 + y^2 = 5$Incorrecto. El radio debe elevarse al cuadrado.
• B) $x + y = 25$Incorrecto. No representa una figura cuadrática.
• C) $x^2 + y^2 = 25$Correcto. Sustituyendo $h=0, k=0$ y $r=5$, obtenemos $x^2 + y^2 = 25$.
• D) $x^2 - y^2 = 25$Incorrecto. Esta sería la ecuación de una hipérbola.

Respuesta correcta: C) Centro $(3, -2)$, Radio 4

• A) Centro $(3, -2)$, Radio 16Incorrecto. El valor 16 es el radio al cuadrado.
• B) Centro $(-3, 2)$, Radio 4Incorrecto. Los signos del centro son opuestos a los de la ecuación.
• C) Centro $(3, -2)$, Radio 4Correcto. Los desplazamientos son $h=3, k=-2$ y $\sqrt{16}=4$.
• D) Centro $(3, 2)$, Radio 8Incorrecto. Signo de k y valor de r erróneos.

Respuesta correcta: B) 9

• A) 6Incorrecto. Se debe sumar el cuadrado de la mitad del coeficiente.
• B) 9Correcto. $(6/2)^2 = 3^2 = 9$. Esto forma $(x+3)^2$.
• C) 36Incorrecto. Esto es el cuadrado del coeficiente, no de su mitad.
• D) 3Incorrecto. Falta elevar al cuadrado.

Respuesta correcta: C) $A = C$ (y no nulos) y $B = 0$

• A) $A = 0$ y $C = 0$Incorrecto. Eso daría una línea recta.
• B) $A$ y $C$ deben tener signos opuestos.Incorrecto. Eso daría una hipérbola.
• C) $A = C$ (y no nulos) y $B = 0$Correcto. Los términos cuadráticos deben ser iguales y no debe haber término de producto cruzado $xy$.
• D) $B$ debe ser mayor que $A$.Incorrecto. El término $xy$ debe ser inexistente en la circunferencia estándar.

Respuesta correcta: A) $x^2 + y^2 = 25$

• A) $x^2 + y^2 = 25$Correcto. El radio al cuadrado es $r^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
• B) $x^2 + y^2 = 7$Incorrecto. Se sumaron las coordenadas.
• C) $x^2 + y^2 = 5$Incorrecto. Faltó elevar el radio al cuadrado.
• D) $x^2 + y^2 = 12$Incorrecto. Se multiplicaron las coordenadas.

Respuesta correcta: D) Centro $(1, 0)$, Radio 3

• A) Centro $(1, 0)$, Radio 6Incorrecto. 6 es la longitud del diámetro.
• B) Centro $(2, 0)$, Radio 3Incorrecto. Error en el cálculo del punto medio.
• C) Centro $(0, 0)$, Radio 2Incorrecto. Valores inconsistentes con los extremos dados.
• D) Centro $(1, 0)$, Radio 3Correcto. Centro es el punto medio: $(-2+4)/2 = 1$. El diámetro mide 6, por lo que el radio mide 3.

Respuesta correcta: D) $x^2 + y^2 = 49$

• A) $x^2 + y^2 = 7$Incorrecto. Faltó elevar el radio al cuadrado.
• B) $x^2 + y^2 = 24.5$Incorrecto. Error en la relación entre área y radio.
• C) $x^2 + y^2 = 2,401$Incorrecto. Se elevó el área al cuadrado.
• D) $x^2 + y^2 = 49$Correcto. Área = $\pi r^2 = 49\pi$, entonces $r^2 = 49$. La ecuación es $x^2 + y^2 = 49$.

Respuesta correcta: C) $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$

• A) $(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$Incorrecto. Los desplazamientos positivos requieren signos negativos en la ecuación.
• B) $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 3$Incorrecto. El radio al cuadrado debe mantenerse en 9.
• C) $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$Correcto. Reemplazamos x por $(x-h)$ e y por $(y-k)$.
• D) $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$Incorrecto. Error en el signo del desplazamiento horizontal.

Respuesta correcta: A) 3

• A) 3Correcto. $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9$. Por lo tanto $r = \sqrt{9} = 3$.
• B) 2Incorrecto. Error al completar los cuadrados y sumar la constante.
• C) 9Incorrecto. Este es el radio al cuadrado.
• D) 4Incorrecto. Olvidó incluir la constante original de la ecuación.

Respuesta correcta: C) $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$

• A) $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 9$Incorrecto. Esto sería tangente al eje y.
• B) $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 5$Incorrecto. Falta elevar el radio (5) al cuadrado.
• C) $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$Correcto. Si es tangente al eje x, su radio es la distancia vertical desde el centro al eje, es decir, el valor absoluto de k (5).
• D) $x^2 + y^2 = 25$Incorrecto. El centro no está en el origen.

Respuesta correcta: A) En el interior de la circunferencia.

• A) En el interior de la circunferencia.Correcto. Como $8 < 9$, la distancia del punto al centro es menor que el radio.
• B) Sobre la circunferencia.Incorrecto. $2^2 + 2^2 = 8$, no 9.
• C) En el exterior de la circunferencia.Incorrecto. La distancia al centro es menor que el radio.
• D) En el centro de la circunferencia.Incorrecto. El centro es $(0, 0)$.

Respuesta correcta: C) 2

• A) 10Incorrecto. No se dividió entre el módulo del vector normal.
• B) 4Incorrecto. Error en el cálculo de la distancia punto-recta.
• C) 2Correcto. El radio es la distancia del punto $(0,0)$ a la recta: $d = |3(0)+4(0)-10|/\sqrt{3^2+4^2} = 10/5 = 2$.
• D) $\sqrt{10}$Incorrecto. Resultado inconsistente con el procedimiento.

Respuesta correcta: C) $(3, 4)$

• A) $(0, 0)$Incorrecto. Este es solo uno de los puntos por donde pasa.
• B) $(6, 8)$Incorrecto. Este punto está muy lejos de los dados.
• C) $(3, 4)$Correcto. Los puntos forman un triángulo rectángulo con hipotenusa entre $(6,0)$ y $(0,8)$. El centro es el punto medio de la hipotenusa.
• D) $(3, 0)$Incorrecto. Error al considerar solo dos puntos.

Respuesta correcta: D) $100\pi$

• A) $10\pi$Incorrecto. El radio es 10, pero la fórmula del área es $\pi r^2$.
• B) $20\pi$Incorrecto. Esta es la longitud de la circunferencia (perímetro).
• C) $50\pi$Incorrecto. Error en la aplicación de la fórmula del área.
• D) $100\pi$Correcto. $r^2 = 100$. Área = $\pi \cdot r^2 = 100\pi$.

Respuesta correcta: C) Dos

• A) NingunoIncorrecto. Como el valor de x (3) es menor que el radio (5), la recta atraviesa el círculo.
• B) Uno (es tangente)Incorrecto. Para ser tangente, x debería ser 5.
• C) DosCorrecto. Sustituyendo x=3: $9 + y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm 4$. Los puntos son $(3, 4)$ y $(3, -4)$.
• D) InfinitosIncorrecto. Una recta y una circunferencia solo pueden cortarse en máximo dos puntos.

Respuesta correcta: C) $3x + 4y = 25$

• A) $y = 3/4 x + 25/4$Incorrecto. La pendiente debe ser perpendicular al radio.
• B) $4x - 3y = 0$Incorrecto. Esta recta pasa por el origen.
• C) $3x + 4y = 25$Correcto. La pendiente del radio es $4/3$, por lo que la tangente es $-3/4$. $y - 4 = -3/4(x - 3) \Rightarrow 4y - 16 = -3x + 9 \Rightarrow 3x + 4y = 25$.
• D) $3x + 4y = 0$Incorrecto. No pasa por el punto de tangencia.

Respuesta correcta: A) Son tangentes externas.

• A) Son tangentes externas.Correcto. La distancia entre centros es 5. Los radios son 2 y 3. Como $d = r_1 + r_2$, se tocan en un solo punto exterior.
• B) Son concéntricas.Incorrecto. Tienen centros distintos.
• C) Se cortan en dos puntos.Incorrecto. La distancia entre centros no es menor a la suma de radios.
• D) Una está dentro de la otra sin tocarse.Incorrecto. La distancia entre centros es mayor a la diferencia de radios.

Respuesta correcta: B) Una circunferencia con centro en $(4, 0)$.

• A) Una línea recta paralela al eje y.Incorrecto. La relación de distancias al cuadrado genera términos cuadráticos de igual coeficiente.
• B) Una circunferencia con centro en $(4, 0)$.Correcto. $\sqrt{x^2+y^2} = 2\sqrt{(x-3)^2+y^2} \Rightarrow x^2+y^2 = 4(x^2-6x+9+y^2) \Rightarrow 3x^2+3y^2-24x+36=0 \Rightarrow x^2+y^2-8x+12=0 \Rightarrow (x-4)^2+y^2=4$.
• C) Una parábola que abre a la derecha.Incorrecto. No es una relación de distancia a recta.
• D) El conjunto vacío.Incorrecto. Existen infinitos puntos que cumplen la condición.