Potenciacion Radicacion

Respuesta correcta: B) $x^8$

• A) $x^2$Incorrecto. Esta operación correspondería a una división de potencias con la misma base.
• B) $x^8$Correcto. Según la ley de potencias, al multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes: 5 + 3 = 8.
• C) $x^{15}$Incorrecto. No se multiplican los exponentes cuando las bases se están multiplicando.
• D) $2x^8$Incorrecto. El coeficiente no cambia a menos que haya bases numéricas explícitas multiplicándose.

Respuesta correcta: A) $2^8$ $\text{cm}^2$

• A) $2^8$ $\text{cm}^2$Correcto. Área = (2^4)^2. Por la ley de potencia de una potencia, se multiplican los exponentes: 4 x 2 = 8.
• B) $2^6$ $\text{cm}^2$Incorrecto. El área de un cuadrado es lado al cuadrado, no sumarle 2 al exponente.
• C) $4^4$ $\text{cm}^2$Aunque numéricamente es igual, la pregunta pide expresarlo como una potencia de base 2.
• D) $2^{16}$ $\text{cm}^2$Incorrecto. Se elevó el exponente al cuadrado (4^2) en lugar de multiplicarlo por 2.

Respuesta correcta: D) $1/25$

• A) $-10$Incorrecto. Un exponente negativo no indica una multiplicación por -2 ni un resultado negativo.
• B) $-25$Incorrecto. Confusión entre el signo del exponente y el signo del resultado final.
• C) $0.2$Incorrecto. Este es el resultado de 5^{-1}, no de 5^{-2}.
• D) $1/25$Correcto. Por definición, a^{-n} = 1/a^n. Así, 5^{-2} = 1/5^2 = 1/25.

Respuesta correcta: D) $x^{3/5}$

• A) $x^{5/3}$Incorrecto. El índice de la raíz debe ser el denominador de la fracción, no el numerador.
• B) $x^2$Incorrecto. La radicación no consiste en realizar una resta entre el exponente y el índice.
• C) $x^{15}$Incorrecto. Se multiplicaron el exponente y el índice en lugar de formar una fracción.
• D) $x^{3/5}$Correcto. Por la relación entre radicales y potencias, la raíz n-ésima de x^m es x^{m/n}.

Respuesta correcta: D) $3^6$

• A) $3^4$Incorrecto. Este sería el factor de crecimiento acumulado, pero falta multiplicar por la cantidad inicial.
• B) $3^8$Incorrecto. Se multiplicaron los exponentes en lugar de sumarlos durante la operación de bases iguales.
• C) $9^6$Incorrecto. No se debe cambiar la base del sistema si se opera con potencias de base 3 únicamente.
• D) $3^6$Correcto. Cantidad = Inicial x Factor. 3^2 * 3^4 = 3^{2+4} = 3^6.

Respuesta correcta: C) $a b^2$

• A) $a^7 b^{10}$Incorrecto. Se sumaron todos los exponentes en lugar de aplicar las reglas de división y potencia.
• B) $a^4 b^6$Incorrecto. Esta es solo la simplificación del numerador; se omitió la división por el denominador.
• C) $a b^2$Correcto. Numerador: a^4 b^6. Al dividir por el denominador: a^{4-3} b^{6-4} = a^1 b^2.
• D) $a^2 b^2$Incorrecto. Error al restar los exponentes de la variable "a" tras elevarla al cuadrado.

Respuesta correcta: D) $6\sqrt{2}$

• A) $2\sqrt{18}$Incompleto. Aunque es válido, el 18 todavía tiene factores que pueden salir de la raíz cuadrada.
• B) $3\sqrt{8}$Incompleto. El 8 contiene el factor 4, el cual es un cuadrado perfecto que debe extraerse.
• C) $12\sqrt{2}$Incorrecto. Error al extraer la raíz de 36; la raíz cuadrada de 36 es 6, no 12.
• D) $6\sqrt{2}$Correcto. 72 = 36 * 2. La raíz de 36 es 6, quedando el factor 2 dentro del radical.

Respuesta correcta: D) 9

• A) 18Incorrecto. Probablemente se realizó una multiplicación directa de 27 por 2/3.
• B) 3Incorrecto. Este es el resultado de la raíz cúbica únicamente; falta elevarlo a la potencia 2.
• C) 81Incorrecto. Se elevó al cubo en lugar de extraer la raíz cúbica indicada en el denominador.
• D) 9Correcto. Corresponde a la raíz cúbica de 27 elevada al cuadrado: 3^2 = 9.

Respuesta correcta: A) $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

• A) $\frac{5\sqrt{2}}{2}$Correcto. Multiplicando numerador y denominador por raíz de 2 se elimina el radical de abajo.
• B) $5\sqrt{2}$Incorrecto. Al multiplicar por la unidad en forma de raíz, el denominador se convierte en 2.
• C) $2.5$Incorrecto. No se puede simplificar el 5 con la raíz de 2 como si fueran números enteros.
• D) $\frac{\sqrt{10}}{2}$Incorrecto. El coeficiente 5 no está dentro de una raíz para multiplicarse con el 2.

Respuesta correcta: B) $5\sqrt{5}$

• A) $\sqrt{65}$Incorrecto. Los radicales no se pueden sumar sumando sus radicandos directamente.
• B) $5\sqrt{5}$Correcto. 2*sqrt(5) + 3*sqrt(5) = 5*sqrt(5) tras simplificar cada término individualmente.
• C) 13Incorrecto. Error de cálculo; los radicales simplificados no producen un número entero exacto.
• D) $5\sqrt{10}$Incorrecto. Error al simplificar los términos o al operar con los índices de las raíces.

Respuesta correcta: D) $\frac{y^6}{x^4 z^2}$

• A) $\frac{x^4 z^2}{y^6}$Incorrecto. Error al invertir los términos debido al signo negativo del exponente exterior.
• B) $\frac{x^4 y^6}{z^2}$Incorrecto. Se olvidó cambiar el signo de la potencia de "x" al cambiarla de posición.
• C) $x^{-4} y^{-6} z^2$Incorrecto. No se cumplió con la instrucción de expresar todos los exponentes como positivos.
• D) $\frac{y^6}{x^4 z^2}$Correcto. Aplicando el exponente -2: x^{-4} y^6 z^{-2}. Al pasar los negativos al denominador queda y^6 / (x^4 z^2).

Respuesta correcta: C) $\sqrt[3]{4}$

• A) $\sqrt[3]{2}$Incorrecto. Multiplicar por este valor daría raíz cúbica de 4, la cual no es exacta.
• B) $\sqrt{2}$Incorrecto. No se deben mezclar índices de raíces diferentes (cuadrada y cúbica) para racionalizar así.
• C) $\sqrt[3]{4}$Correcto. Se necesita completar el cubo del radicando (2 * 4 = 8) para que la raíz cúbica sea un entero.
• D) 2Incorrecto. La multiplicación por un entero no elimina el radical presente en el denominador.

Respuesta correcta: D) $\sqrt[6]{(3x)^5}$

• A) $\sqrt[6]{3x}$Incorrecto. El índice común es 6, pero los exponentes del radicando también deben ajustarse.
• B) $\sqrt[5]{(3x)^2}$Incorrecto. No se deben sumar los índices de las raíces al realizar una multiplicación.
• C) $3x$Incorrecto. Este resultado solo sería válido si ambos factores fueran raíces cuadradas exactas.
• D) $\sqrt[6]{(3x)^5}$Correcto. Usando exponentes: (3x)^{1/2} * (3x)^{1/3} = (3x)^{3/6 + 2/6} = (3x)^{5/6}.

Respuesta correcta: C) $2x^2$

• A) $2x^6$Incorrecto. Error al aplicar la raíz cúbica sobre la potencia de la variable x.
• B) $4x^2$Incorrecto. Se extrajo mal la raíz cuadrada inicial de 64 (usando 16 en lugar de 8).
• C) $2x^2$Correcto. Raíz cuadrada de 64x^{12} es 8x^6. Luego, la raíz cúbica de 8x^6 es 2x^2.
• D) $8x^2$Incorrecto. Se olvidó realizar la operación de raíz cúbica sobre el coeficiente numérico.

Respuesta correcta: A) $\sqrt{a^2} = |a|$

• A) $\sqrt{a^2} = |a|$Correcto. Esta es la definición formal que asegura un resultado no negativo para una raíz par.
• B) $\sqrt{a^2} = a$Incorrecto. Solo es cierto si "a" es positivo o cero; falla para números negativos.
• C) $(a^{1/2})^2 = |a|$Incorrecto. Esta expresión solo existe en los reales si "a" es mayor o igual a cero.
• D) $\sqrt[3]{a^3} = |a|$Incorrecto. Las raíces impares mantienen el signo de la base, por lo que el resultado es simplemente "a".

Respuesta correcta: D) 11

• A) 15Incorrecto. Probablemente se cometió un error al evaluar alguna de las raíces de las bases.
• B) 7Incorrecto. Error al procesar el exponente de 16, posiblemente usando raíz cuadrada en vez de cuarta.
• C) 19Incorrecto. Resultado obtenido tras una aplicación errónea de las leyes de radicación.
• D) 11Correcto. El primer término es 2^3 = 8 y el segundo es 3^1 = 3. La suma es 11.

Respuesta correcta: C) $t = \frac{\ln(M/C)}{r}$

• A) $t = \sqrt[r]{M/C}$Incorrecto. Esta forma sería válida para una base t con exponente r, no para un exponente t.
• B) $t = (M/C)^r$Incorrecto. Esta operación no despeja una variable que se encuentra en un exponente de base e.
• C) $t = \frac{\ln(M/C)}{r}$Correcto. Aplicando logaritmo natural para bajar el exponente y dividiendo por la tasa r.
• D) $t = \frac{M}{C \cdot e^r}$Incorrecto. Manipulación algebraica inválida de los términos de la ecuación exponencial.

Respuesta correcta: C) $x^3$

• A) $x^n$Incorrecto. Error al simplificar el producto de las potencias dentro de la raíz principal.
• B) $x^2$Incorrecto. Se omitió considerar el factor resultante de la raíz cúbica interna.
• C) $x^3$Correcto. La raíz cúbica interna da x^n. Al multiplicar por x^{2n} da x^{3n}. La raíz n-ésima final da x^3.
• D) $x^{2n+1}$Incorrecto. Error al aplicar la raíz de índice n sobre los exponentes de la variable.

Respuesta correcta: D) $x = 2$

• A) $x = 4$Incorrecto. Al sustituir, el resultado es 80, superando ampliamente el valor de 20 solicitado.
• B) $x = 3$Incorrecto. Al evaluar x=3 se obtiene 40 como resultado de la suma de las potencias.
• C) $x = 1$Incorrecto. La suma de las potencias daría 10 en lugar de los 20 indicados en la igualdad.
• D) $x = 2$Correcto. Factorizando 2^x(2^2 + 1) = 20, tenemos 2^x * 5 = 20, por lo que 2^x = 4.

Respuesta correcta: A) $4\sqrt{xy}$

• A) $4\sqrt{xy}$Correcto. Al desarrollar los cuadrados (sqrt(x)+sqrt(y))^2 - (sqrt(x)-sqrt(y))^2, solo queda el término central multiplicado por 2.
• B) $2x + 2y$Incorrecto. Los términos de segundo grado se cancelan por la resta en el numerador.
• C) 0Incorrecto. Las fracciones no son idénticas, por lo que su resta no resulta en el valor nulo.
• D) $x - y$Incorrecto. Este es el denominador común resultante tras la operación, no el numerador solicitado.