Productos Notables

Respuesta correcta: C) $x^2 + 10x + 25$

• A) $x^2 + 25$Incorrecto. Se omitió el término doble producto del primero por el segundo (2ab).
• B) $x^2 + 5x + 25$Incorrecto. El término central debe ser el doble producto, no solo el producto simple.
• C) $x^2 + 10x + 25$Correcto. Aplicando (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, donde a=x y b=5, resulta x^2 + 2(x)(5) + 5^2.
• D) $2x + 10$Incorrecto. Se multiplicó el binomio por 2 en lugar de elevarlo a la potencia dos.

Respuesta correcta: B) Producto de una suma por su diferencia

• A) Cuadrado de un binomioIncorrecto. El cuadrado de un binomio se representa como (a+b)^2 o (a-b)^2.
• B) Producto de una suma por su diferenciaCorrecto. Esta estructura corresponde a multiplicar la suma por la resta de los mismos términos.
• C) Binomio al cuboIncorrecto. Un binomio al cubo tiene la forma (a+b)^3 o (a-b)^3.
• D) Binomios con término comúnIncorrecto. Ese caso corresponde a la estructura (x+a)(x+b).

Respuesta correcta: A) $-2ab$

• A) $-2ab$Correcto. El desarrollo es a^2 - 2ab + b^2, donde el término central es el doble producto negativo.
• B) $+2ab$Incorrecto. En el cuadrado de una diferencia, el término central debe tener signo negativo.
• C) $-ab$Incorrecto. Falta el factor 2 que indica que el término es el "doble" producto.
• D) $b^2$Incorrecto. Este es el tercer término del trinomio resultante, no el central.

Respuesta correcta: A) $4y^2 - 12y + 9$

• A) $4y^2 - 12y + 9$Correcto. Aplicando (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2: (2y)^2 - 2(2y)(3) + 3^2.
• B) $4y^2 - 9$Incorrecto. Falta el término central del trinomio cuadrado perfecto en la expansión.
• C) $4y^2 - 6y + 9$Incorrecto. El término central debe ser el doble producto: 2(2y)(-3) = -12y.
• D) $2y^2 - 12y + 6$Incorrecto. No se elevaron correctamente al cuadrado los coeficientes ni la constante.

Respuesta correcta: C) $9x^2 - 4$

• A) $9x^2 + 4$Incorrecto. El resultado de una suma por su diferencia es una diferencia de cuadrados.
• B) $6x^2 - 4$Incorrecto. Se olvidó elevar el coeficiente numérico 3 a la potencia cuadrada.
• C) $9x^2 - 4$Correcto. Aplicando (a+b)(a-b) = a^2 - b^2, resulta (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4.
• D) $9x - 4$Incorrecto. Se olvidó elevar la variable x a la potencia cuadrada en el resultado.

Respuesta correcta: B) $x^2 + 10x + 16$

• A) $x^2 + 16$Incorrecto. Se omitieron los términos cruzados resultantes de la suma de las constantes.
• B) $x^2 + 10x + 16$Correcto. Siguiendo (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab, obtenemos x^2 + 10x + 16.
• C) $x^2 + 10x + 10$Incorrecto. El término independiente es el producto de las constantes (16), no su suma.
• D) $2x + 10$Incorrecto. Se sumaron los dos binomios en lugar de realizar la multiplicación.

Respuesta correcta: B) $4a^2 - 25b^2$

• A) $2a^2 - 5b^2$Incorrecto. Olvidó elevar al cuadrado los coeficientes numéricos de las variables.
• B) $4a^2 - 25b^2$Correcto. Aplicando A^2 - B^2 con A=2a y B=5b, resulta (2a)^2 - (5b)^2.
• C) $4a^2 + 25b^2$Incorrecto. El producto de una suma por su diferencia siempre es una resta.
• D) $4a - 25b$Incorrecto. Se omitieron los exponentes cuadráticos necesarios en el resultado final.

Respuesta correcta: D) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

• A) $x^3 + 1$Incorrecto. Solo se elevaron los términos individuales, faltando los términos centrales.
• B) $x^3 + x^2 + x + 1$Incorrecto. Se omitieron los coeficientes 3 de la fórmula del binomio al cubo.
• C) $3x^2 + 3x$Incorrecto. Se omitieron el término de tercer grado y el término independiente constante.
• D) $x^3 + 3x^2 + 3x + 1$Correcto. Aplicando (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3, con a=x y b=1.

Respuesta correcta: D) 16

• A) -16Incorrecto. El cuadrado de cualquier número real siempre es positivo o cero.
• B) 8Incorrecto. Error al confundir el doble producto con el cuadrado del término constante.
• C) -8Incorrecto. Valor obtenido por una interpretación errónea de las leyes de potencias.
• D) 16Correcto. El desarrollo es x^2 - 8x + 16, donde el término independiente es (-4)^2 = 16.

Respuesta correcta: B) $4a^2$

• A) $4a^2 + 50$Incorrecto. El producto notable genera -25, el cual se cancela con la suma posterior.
• B) $4a^2$Correcto. El producto es 4a^2 - 25. Al sumarle 25 el resultado final es 4a^2.
• C) $4a^2 - 50$Incorrecto. Error de signos al realizar la operación aritmética final.
• D) $2a^2$Incorrecto. Se olvidó elevar el coeficiente numérico 2 a la potencia cuadrada.

Respuesta correcta: A) $25x^2 + 10x + 1$

• A) $25x^2 + 10x + 1$Correcto. (5x+1)^2 = (5x)^2 + 2(5x)(1) + 1^2 = 25x^2 + 10x + 1.
• B) $25x^2 + 1$Incorrecto. Falta el término del doble producto central en el desarrollo del cuadrado.
• C) $10x^2 + 10x + 1$Incorrecto. Error al elevar el coeficiente 5 a la potencia cuadrada.
• D) $25x^2 + 5x + 1$Incorrecto. El término central debe ser el doble del producto de los términos.

Respuesta correcta: A) $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

• A) $x^3 - 6x^2 + 12x - 8$Correcto. Aplicando (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 con a=x y b=2.
• B) $x^3 - 8$Incorrecto. Se omitieron los términos intermedios del desarrollo polinómico cúbico.
• C) $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$Incorrecto. Error en los coeficientes constantes de los términos intermedios.
• D) $x^3 + 6x^2 + 12x + 8$Incorrecto. Los signos deben alternarse en el desarrollo de una diferencia al cubo.

Respuesta correcta: D) $-5$

• A) $-13$Incorrecto. Error al restar los términos constantes resultantes de las potencias.
• B) $5$Incorrecto. Error en el manejo de los signos al realizar la resta de los polinomios.
• C) $2x^2 - 13$Incorrecto. Las variables de segundo grado se cancelan totalmente por la sustracción.
• D) $-5$Correcto. (x^2 - 9) - (x^2 - 4) = x^2 - 9 - x^2 + 4 = -5.

Respuesta correcta: B) $2x^2 + 2y^2$

• A) $2x^2 + 2y^2 + 4xy$Incorrecto. Los términos mixtos +2xy y -2xy se cancelan mutuamente en la suma.
• B) $2x^2 + 2y^2$Correcto. Esta es la primera identidad de Legendre: el resultado es el doble de la suma de cuadrados.
• C) $4xy$Incorrecto. Este resultado se obtendría si la operación principal fuera una resta.
• D) $x^2 + y^2$Incorrecto. Falta el factor 2 en ambos términos cuadráticos tras realizar la adición.

Respuesta correcta: C) 4

• A) 2Incorrecto. El numerador simplificado por identidad de Legendre es 4ab, resultando en 4.
• B) $4ab$Incorrecto. Se olvidó ejecutar la división final por el denominador ab de la fracción.
• C) 4Correcto. Numerador: 4ab. Al dividir por el denominador ab, el resultado es la constante 4.
• D) 0Incorrecto. Los términos no se anulan totalmente en la resta de los cuadrados de binomios.

Respuesta correcta: B) $a^2 + b^2 + 1 + 2ab + 2a + 2b$

• A) $a^2 + b^2 + 1$Incorrecto. Faltan los términos de productos cruzados (dobles productos) en la expansión.
• B) $a^2 + b^2 + 1 + 2ab + 2a + 2b$Correcto. Aplicando el cuadrado de un trinomio a cada par de términos posible.
• C) $a^2 + b^2 + 1 + ab + a + b$Incorrecto. Falta el factor numérico 2 en los términos de productos cruzados.
• D) $a^2 + b^2 + 2ab + 1$Incorrecto. Faltan los términos cruzados que involucran a la constante unidad.

Respuesta correcta: B) $x^3 + 27$

• A) $x^3 - 27$Incorrecto. Este resultado corresponde al producto notable de una diferencia de cubos.
• B) $x^3 + 27$Correcto. Corresponde a la identidad de suma de cubos: (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3.
• C) $(x + 3)^3$Incorrecto. El desarrollo del cubo de un binomio posee más términos polinómicos.
• D) $x^3 + 9$Incorrecto. El segundo término debe elevarse a la potencia cúbica en el resultado final.

Respuesta correcta: D) 13

• A) 25Incorrecto. Se olvidó restar el doble producto de la suma elevada a la potencia cuadrada.
• B) 19Incorrecto. Restó el producto simple en lugar de restar el doble producto solicitado.
• C) 37Incorrecto. Se sumó el doble producto en lugar de restarlo para despejar la incógnita.
• D) 13Correcto. a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 2(6) = 25 - 12 = 13.

Respuesta correcta: C) $x^4 + x^2 + 1$

• A) $x^4 + 1$Incorrecto. Faltan términos intermedios en el desarrollo polinómico del producto.
• B) $x^4 - x^2 + 1$Incorrecto. El signo del término de segundo grado debe ser positivo tras la reducción.
• C) $x^4 + x^2 + 1$Correcto. Identidad de Argand: se puede ver como una diferencia de cuadrados de trinomios.
• D) $x^4 + 2x^2 + 1$Incorrecto. No se consideró la resta necesaria al aplicar la identidad de diferencia.

Respuesta correcta: B) 2

• A) 0Incorrecto. Aunque los términos cúbicos se cancelan, las constantes se suman.
• B) 2Correcto. (x^3+3x^2+3x+1) - (x^3-3x^2+3x-1) - 6x^2 = (6x^2+2) - 6x^2 = 2.
• C) $6x^2$Incorrecto. Falta considerar el término constante resultante de la resta de los cubos.
• D) $x^3$Incorrecto. El término de tercer grado se cancela totalmente durante la sustracción.