Factorizacion

Respuesta correcta: B) $4x$

• A) $x$Aunque x es un factor común, no representa el máximo factor numérico y literal posible.
• B) $4x$Correcto. El máximo común divisor de 12, 8 y 4 es 4, y la variable común con menor exponente es x.
• C) $4$Aunque 4 es el máximo común divisor numérico, falta incluir la variable común con menor exponente.
• D) $4x^2$Incorrecto. El término final 4x no contiene la potencia x^2, por lo que no puede ser común.

Respuesta correcta: C) $(x - 10)(x + 10)$

• A) $(x - 10)^2$Incorrecto. Este desarrollo resultaría en el trinomio x^2 - 20x + 100.
• B) $(x - 50)(x + 50)$Incorrecto. Error al extraer la raíz cuadrada de 100; se usó la mitad del valor en su lugar.
• C) $(x - 10)(x + 10)$Correcto. Una diferencia de cuadrados a^2 - b^2 se factoriza como el producto de suma por diferencia.
• D) $(x^2 - 10)(x^2 + 10)$Incorrecto. No se debe mantener la potencia cuadrada en los factores binómicos resultantes.

Respuesta correcta: C) $(a + b)(x + y)$

• A) $(a + b) + (x + y)$Incorrecto. Los factores finales deben estar multiplicándose, no sumándose entre sí.
• B) $ab(x + y)$Incorrecto. Se multiplicaron erróneamente los términos comunes en lugar de sumarlos como un factor.
• C) $(a + b)(x + y)$Correcto. Agrupando por factor común: a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y).
• D) $(ax + by)(ay + bx)$Incorrecto. Agrupación defectuosa que no preserva la igualdad con la expresión original.

Respuesta correcta: C) $(x + 3)^2$

• A) $(x + 4.5)^2$Incorrecto. Se dividió el término lineal entre 2 sin verificar la raíz del término constante.
• B) $(x + 3)(x - 3)$Incorrecto. Esto corresponde a una diferencia de cuadrados, resultando en x^2 - 9.
• C) $(x + 3)^2$Correcto. Es un trinomio cuadrado perfecto porque sqrt(x^2)=x, sqrt(9)=3 y 2*x*3=6x.
• D) $(x + 9)^2$Incorrecto. Se utilizó el valor de la constante como raíz en lugar de extraer su raíz cuadrada.

Respuesta correcta: B) $(x + 3)(x + 2)$

• A) $(x + 6)(x + 1)$Incorrecto. Aunque el producto es 6, la suma de las constantes es 7, no 5.
• B) $(x + 3)(x + 2)$Correcto. Se buscan dos números que multiplicados den 6 y sumados den 5; estos son 3 y 2.
• C) $(x - 3)(x - 2)$Incorrecto. El producto de las constantes es +6 pero su suma daría un valor de -5.
• D) $(x + 5)(x + 1)$Incorrecto. Ni el producto ni la suma de estas constantes coinciden con el trinomio.

Respuesta correcta: C) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

• A) $(x - 2)^3$Incorrecto. Esta potencia de binomio generaría términos cuadráticos y lineales adicionales.
• B) $(x - 2)(x^2 - 2x + 4)$Incorrecto. En una diferencia de cubos, todos los términos del factor de segundo grado son positivos.
• C) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$Correcto. Siguiendo la regla a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) con a=x y b=2.
• D) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$Incorrecto. Esta corresponde a la factorización de una suma de cubos (x^3 + 8).

Respuesta correcta: C) $(2x + 1)(x + 3)$

• A) $(2x + 3)(x + 1)$Incorrecto. Al expandir este producto, el término central resultaría en 5x, no 7x.
• B) $(2x + 7)(x + 1)$Incorrecto. El producto de los términos constantes daría 7 en lugar de la unidad 3.
• C) $(2x + 1)(x + 3)$Correcto. 2x*x + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3 tras realizar la distribución.
• D) $(x + 3)(x + 0.5)$Incorrecto. Representación inválida de los factores enteros para el polinomio dado.

Respuesta correcta: A) $(5a - 4b)^2$

• A) $(5a - 4b)^2$Correcto. Las raíces son 5a y 4b, y el doble producto de ambas coincide con el término central.
• B) $(5a + 4b)^2$Incorrecto. Dado que el término central es negativo, el factor debe ser una diferencia.
• C) $(5a - 4b)(5a + 4b)$Incorrecto. Esto es la factorización de una diferencia de cuadrados (25a^2 - 16b^2).
• D) $5a - 4b$Incorrecto. Falta elevar la expresión factorizada a la potencia cuadrada correspondiente.

Respuesta correcta: D) $(3 + y)(9 - 3y + y^2)$

• A) $(3 + y)^3$Incorrecto. Este es el cubo de una suma y contiene términos polinómicos adicionales.
• B) $(3 + y)(9 + 3y + y^2)$Incorrecto. En una suma de cubos, el término central del trinomio factor debe ser negativo.
• C) $(3 - y)(9 + 3y + y^2)$Incorrecto. Esta corresponde a la factorización de la diferencia de cubos (27 - y^3).
• D) $(3 + y)(9 - 3y + y^2)$Correcto. Aplicando la regla a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) con a=3 y b=y.

Respuesta correcta: D) $3(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$

• A) $3(x^4 - 16)$Incompleto. El binomio resultante aún puede factorizarse como una diferencia de cuadrados.
• B) $3(x^2 - 4)(x^2 + 4)$Incompleto. El primer factor binómico todavía puede reducirse a factores lineales.
• C) $3(x - 2)^2 (x + 2)^2$Incorrecto. La suma de cuadrados x^2 + 4 no se descompone en estos factores reales.
• D) $3(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$Correcto. Se extrae el factor 3 y se aplican diferencias de cuadrados sucesivamente.

Respuesta correcta: B) $(x + y)(x + y + z)$

• A) $(x + y)^2 + z$Incorrecto. Esto no representa una forma factorizada (producto de factores) completa.
• B) $(x + y)(x + y + z)$Correcto. Agrupando x(x+y+z) + y(x+y+z) se obtiene el producto de los dos factores.
• C) $xy(x + y + z)$Incorrecto. El factor común extraído de los primeros tres términos no coincide con esta forma.
• D) $(x + z)(x + y)$Incorrecto. Faltan términos en el desarrollo de este producto para igualar a la expresión inicial.

Respuesta correcta: A) $(x + 3)(x - 1)$

• A) $(x + 3)(x - 1)$Correcto. Es una diferencia de cuadrados (x+1+2)(x+1-2), que simplifica a estos factores.
• B) $(x - 1)^2$Incorrecto. El desarrollo de esta potencia no iguala al valor del binomio original.
• C) $(x + 1 + 4)(x + 1 - 4)$Incorrecto. Se utilizó el valor 4 en lugar de su raíz cuadrada 2 para la factorización.
• D) $x^2 + 2x - 3$Incorrecto. Esta es la forma expandida del polinomio, no su forma factorizada.

Respuesta correcta: C) $(3x + 1)(2x - 3)$

• A) $(6x + 1)(x - 3)$Incorrecto. Al expandir, el término central sería -17x en lugar del valor de -7x requerido.
• B) $(3x - 1)(2x + 3)$Incorrecto. Los signos de las constantes están invertidos, lo que afectaría al signo central.
• C) $(3x + 1)(2x - 3)$Correcto. 6x^2 - 9x + 2x - 3 = 6x^2 - 7x - 3 tras realizar la expansión.
• D) $(2x - 1)(3x + 3)$Incorrecto. El producto de las constantes daría el valor correcto, pero el resto no.

Respuesta correcta: A) $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$

• A) $(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$Correcto. Se completa el trinomio (x^2+1)^2 - x^2 y se aplica diferencia de cuadrados.
• B) $(x^2 + 1)^2$Incorrecto. El desarrollo de este cuadrado sobraría o faltaría un término de x^2.
• C) $(x^2 + x - 1)^2$Incorrecto. Esta expresión expandida no coincide con los signos del polinomio original.
• D) No es factorizable realIncorrecto. Este tipo de polinomios admite factorización en el campo de los números reales.

Respuesta correcta: A) $(x - 1)(x - 2)(x + 2)$

• A) $(x - 1)(x - 2)(x + 2)$Correcto. Agrupando x^2(x-1)-4(x-1) y factorizando luego la diferencia de cuadrados.
• B) $(x^2 - 4)(x - 1)$Incompleto. El factor cuadrático todavía admite una descomposición adicional en factores lineales.
• C) $(x + 1)(x - 2)^2$Incorrecto. La distribución de los signos y valores no reproduce el polinomio dado.
• D) $x(x^2 - x - 4) + 4$Incorrecto. Esta no representa una forma factorizada por producto de polinomios.

Respuesta correcta: D) $(x - 1)(x + 2)^2$

• A) $(x - 1)(x^2 + 4)$Incorrecto. Al multiplicar estos factores no se recupera el término cuadrático 3x^2.
• B) $(x - 1)(x - 2)^2$Incorrecto. El signo del binomio elevado al cuadrado es el opuesto al correcto.
• C) $(x - 1)(x + 2)(x - 2)$Incorrecto. Resultaría en un polinomio con un término independiente diferente al original.
• D) $(x - 1)(x + 2)^2$Correcto. Aplicando Ruffini se obtiene x^2 + 4x + 4, que es el cuadrado de x+2.

Respuesta correcta: C) $(x + 2)(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16)$

• A) $(x + 2)^5$Incorrecto. Esto es una potencia de binomio con múltiples términos polinómicos intermedios.
• B) $(x + 2)(x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16)$Incorrecto. En una suma de potencias impares los signos del segundo factor deben ser alternos.
• C) $(x + 2)(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16)$Correcto. Aplicando la regla para suma de potencias impares con signos alternados en el factor largo.
• D) No es factorizable realIncorrecto. Las sumas de potencias impares siempre admiten factorización mediante sus raíces.

Respuesta correcta: D) $(a + b + c)(a + b - c)$

• A) $(a + b)^2 - c^2$Incompleto. Esta es solo una fase intermedia del proceso de factorización total.
• B) $(a + b + c)^2$Incorrecto. La expansión de este cuadrado incluiría términos de productos cruzados extra.
• C) $(a^2 + b^2)(a + b - c)$Incorrecto. Estructura de factores que no coincide con la composición de la expresión inicial.
• D) $(a + b + c)(a + b - c)$Correcto. Se forma el trinomio cuadrado (a+b)^2 y luego se aplica diferencia de cuadrados.

Respuesta correcta: D) $(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

• A) $(x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$Incompleto. Ambos factores son descomposiciones de cubos que deben seguir factorizándose.
• B) $(x - y)^6$Incorrecto. Esta potencia generaría una expresión polinómica mucho más extensa.
• C) $(x^2 - y^2)^3$Incorrecto. Posee términos polinómicos adicionales al realizarse la expansión del cubo.
• D) $(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2)$Correcto. Combinación de diferencia de cuadrados y reglas de suma/resta de cubos.

Respuesta correcta: A) $(2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$

• A) $(2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$Correcto. Resulta de sumar y restar 4x^2 para aplicar diferencia de cuadrados sobre trinomios.
• B) $(2x^2 + 1)^2$Incorrecto. El desarrollo de este cuadrado perfecto daría un término central de 4x^2.
• C) $(2x^2 + 2x + 1)^2$Incorrecto. No iguala a la expresión polinómica inicial tras realizar su expansión.
• D) No es factorizable realIncorrecto. Esta identidad permite la descomposición en factores reales de segundo grado.