Funcion Lineal Cuadratica — Matemáticas Grado 11, Panamá

Bloom: Remember

Un estudiante repasa las características de la función lineal para su examen de graduación.

¿Cuál es la forma general de la ecuación de una función lineal o de primer grado?

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Respuesta correcta: D) $f(x) = mx + b$

A) $f(x) = ax^2 + bx + c$ Incorrecto. Esta representa la forma general de una función cuadrática de segundo grado.
B) $f(x) = a^x$ Incorrecto. Esta estructura corresponde a una función de tipo exponencial.
C) $f(x) = k/x$ Incorrecto. Esta estructura representa una función de proporcionalidad inversa.
D) $f(x) = mx + b$ Correcto. Donde m es la pendiente y b representa el intercepto con el eje vertical y.

💡 Explicación

Identificación de la representación algebraica estándar de la función lineal.

Bloom: Remember

En una clase en David, se discute el significado geométrico de los parámetros de una parábola.

¿Cómo se denomina al punto máximo o mínimo absoluto de una función cuadrática?

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Respuesta correcta: D) Vértice

A) FocoEl foco es un punto interno de la curva usado en su definición, pero no es su punto extremo.
B) DirectrizLa directriz es una línea recta de referencia, no un punto perteneciente a la función.
C) Eje focalEl eje de simetría o eje focal es una recta, no un punto específico de la gráfica.
D) VérticeCorrecto. El vértice es el punto donde la curva cambia de dirección y alcanza su valor límite.

💡 Explicación

Identificación de los elementos clave de la gráfica de una función cuadrática.

Bloom: Understand

Un mensajero en Colón analiza la pendiente de una calle representada por una función lineal.

Si una función lineal posee una pendiente m = 0, ¿qué tipo de recta representa en el plano?

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Respuesta correcta: A) Una recta horizontal

A) Una recta horizontalCorrecto. Una inclinación nula indica que la función es constante y paralela al eje horizontal.
B) Una recta verticalIncorrecto. Las rectas verticales poseen una pendiente indefinida o infinita.
C) Una recta a 45 gradosIncorrecto. Esa inclinación específica corresponde a una pendiente igual a la unidad.
D) Recta identidadIncorrecto. La recta identidad tiene pendiente uno y pasa por el origen de coordenadas.

💡 Explicación

Interpretación geométrica del valor de la pendiente en funciones lineales.

Bloom: Understand

Un comerciante en Santiago utiliza una función para calcular ingresos basados en unidades vendidas.

Dada la función I(x) = 15x + 50, ¿cuál es el ingreso total si se venden exactamente 10 unidades?

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Respuesta correcta: A) 200 balboas

A) 200 balboasCorrecto. 15(10) + 50 resulta en 150 + 50 = 200 balboas totales.
B) 150 balboasIncorrecto. Se omitió sumar el valor del intercepto constante de la función de ingresos.
C) 650 balboasIncorrecto. Se cometió un error en la ejecución de las operaciones de multiplicación y suma.
D) 50 balboasIncorrecto. Este es el valor base cuando no se realiza ninguna venta (x=0).

💡 Explicación

Evaluación de funciones lineales en contextos de aplicación comercial y financiera.

Bloom: Understand

Un estudiante en Penonomé analiza el cambio de concavidad según el coeficiente principal.

¿Hacia dónde abre la parábola representada por la función f(x) = -3x^2 + 5x - 2?

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Respuesta correcta: C) Hacia abajo

A) Hacia arribaIncorrecto. Esto sucedería solo si el coeficiente del término cuadrático fuera positivo.
B) Hacia la derechaIncorrecto. Las funciones reales de x solo pueden tener aperturas verticales.
C) Hacia abajoCorrecto. Al ser el coeficiente principal negativo (-3), la curva es cóncava hacia abajo.
D) Es una línea rectaIncorrecto. La presencia del término de segundo grado garantiza una forma parabólica.

💡 Explicación

Relación entre el signo del coeficiente principal y la concavidad de la función cuadrática.

Bloom: Apply

Un arquitecto en David calcula la pendiente de una rampa que conecta dos puntos específicos.

¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos coordenados A(2, 5) y B(4, 11)?

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Respuesta correcta: B) m = 3

A) m = 2Incorrecto. Se cometió un error al calcular la razón entre las diferencias de las coordenadas.
B) m = 3Correcto. Pendiente = (11 - 5) / (4 - 2) = 6 / 2 = 3.
C) m = 6Incorrecto. No se realizó la división por la diferencia de las coordenadas del eje x.
D) m = 1/3Incorrecto. Se invirtió el orden de la fórmula de la pendiente (cambio en x sobre cambio en y).

💡 Explicación

Cálculo de la pendiente de una función lineal a partir de dos puntos conocidos en el plano.

Bloom: Apply

Un ingeniero hidráulico determina el punto más bajo de una sección de canal parabólica.

¿Cuál es la coordenada x del vértice de la parábola f(x) = x^2 - 6x + 8?

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Respuesta correcta: B) x = 3

A) x = -3Incorrecto. Se cometió un error de signo al aplicar la fórmula de la coordenada del vértice.
B) x = 3Correcto. Usando la fórmula x = -b / 2a: -(-6) / (2*1) resulta en un valor de tres.
C) x = 6Incorrecto. Se olvidó realizar la división por el factor del doble del coeficiente principal.
D) x = 0Incorrecto. Este valor correspondería si no existiera el término lineal en la función.

💡 Explicación

Cálculo de la coordenada del vértice en una función cuadrática mediante su fórmula analítica.

Bloom: Apply

Un técnico en refrigeración encuentra los interceptos para calibrar un sensor de temperatura.

¿Cuáles son las raíces o interceptos con el eje x de la función cuadrática f(x) = x^2 - 5x + 6?

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Respuesta correcta: B) x = 2, x = 3

A) x = -2, x = -3Incorrecto. Estos valores no anulan la función al ser sustituidos en la expresión original.
B) x = 2, x = 3Correcto. Factorizando como (x-2)(x-3) se obtienen las raíces que hacen nula la función.
C) x = 6, x = 1Incorrecto. La suma de estos valores no coincide con el coeficiente del término lineal.
D) x = 0, x = 5Incorrecto. El intercepto con el eje vertical es 6, no nulo como sugieren estos puntos.

💡 Explicación

Determinación de las raíces de una función cuadrática mediante la técnica de factorización.

Bloom: Apply

Un analista en la Ciudad del Saber utiliza la forma canónica para describir la trayectoria de una señal.

Dada la función cuadrática f(x) = 2(x - 4)^2 + 1, ¿cuáles son las coordenadas de su vértice?

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Respuesta correcta: C) Punto (4, 1)

A) Punto (-4, 1)Incorrecto. El valor del parámetro h cambia de signo al pasar a la coordenada del vértice.
B) Punto (4, -1)Incorrecto. El parámetro k mantiene su signo original fuera del paréntesis de la función.
C) Punto (4, 1)Correcto. En la forma canónica a(x-h)^2 + k el vértice se ubica exactamente en (h, k).
D) Punto (2, 1)Incorrecto. Se confundió el coeficiente de apertura con la coordenada horizontal del vértice.

💡 Explicación

Identificación de los elementos del vértice a partir de la forma canónica de la función cuadrática.

Bloom: Apply

Un estudiante en Los Santos determina la ecuación de una recta paralela a una vía principal.

Halla la ecuación de la recta que pasa por (0, 4) y es paralela a la recta y = -2x + 7.

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Respuesta correcta: B) y = -2x + 4

A) y = 2x + 4Incorrecto. Las rectas paralelas deben compartir exactamente la misma pendiente original.
B) y = -2x + 4Correcto. Mantiene la pendiente negativa y usa el intercepto dado como punto de paso.
C) y = 0.5x + 4Incorrecto. Esa pendiente correspondería a una relación de perpendicularidad, no paralelismo.
D) y = -2x + 7Incorrecto. Esta es la misma recta dada, no una paralela distinta a la original.

💡 Explicación

Construcción de ecuaciones lineales basándose en condiciones de paralelismo entre rectas.

Bloom: Apply

Un ingeniero de tránsito modela la velocidad mediante una función cuadrática y usa el discriminante.

Calcula el discriminante (D = b^2 - 4ac) de f(x) = 2x^2 - 4x + 2 e indica el número de raíces reales.

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Respuesta correcta: C) D = 0; una raíz única

A) D = 16; dos raícesIncorrecto. Se cometió un error en el cálculo de los productos de la fórmula.
B) D = -8; ninguna raízIncorrecto. El valor del discriminante para esta función no es de carácter negativo.
C) D = 0; una raíz únicaCorrecto. D = 16 - 16 = 0. Un valor nulo indica una sola solución real repetida.
D) D = 32; dos raícesIncorrecto. Se realizó una operación aritmética errónea con los coeficientes dados.

💡 Explicación

Uso del discriminante para determinar la naturaleza y cantidad de las raíces reales de una función cuadrática.

Bloom: Analyze

Un arquitecto analiza la intersección entre una pared recta y un arco parabólico decorativo.

¿En qué puntos coordenados se intersecan la recta y = 2x y la parábola y = x^2?

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Respuesta correcta: A) En (0, 0) y en (2, 4)

A) En (0, 0) y en (2, 4)Correcto. Al igualar x^2 = 2x se obtienen las dos soluciones para la variable x.
B) Solo en el origen (0, 0)Incompleto. Existe un segundo punto de corte donde ambas expresiones coinciden.
C) En (0, 0) y en (1, 2)Incorrecto. El punto (1, 2) no pertenece a la trayectoria de la función cuadrática.
D) Las curvas no se cortanIncorrecto. Existen dos puntos reales donde las igualdades se cumplen simultáneamente.

💡 Explicación

Resolución de sistemas mixtos lineal-cuadráticos para hallar puntos de intersección en el plano.

Bloom: Apply

Un experto financiero proyecta la depreciación lineal de un equipo portuario valorado en balboas.

Un equipo cuesta 10,000 balboas y pierde 1,000 anuales. ¿Qué función representa su valor V tras t años?

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Respuesta correcta: C) V(t) = -1000t + 10000

A) V(t) = 1000t + 10000Incorrecto. Esta función describiría un aumento de valor, no una pérdida o depreciación.
B) V(t) = 10000(0.9)^tIncorrecto. Esta fórmula corresponde a una depreciación exponencial, no a una lineal.
C) V(t) = -1000t + 10000Correcto. El valor inicial es el intercepto y la tasa de pérdida es la pendiente negativa.
D) V(t) = -1000tIncorrecto. Se omitió incluir el valor del costo inicial del equipo en la función.

💡 Explicación

Modelado de problemas de depreciación mediante funciones lineales con pendiente de signo negativo.

Bloom: Analyze

Un científico analiza el crecimiento de una planta en Gamboa mediante un modelo cuadrático.

Si la altura está dada por H(t) = -t^2 + 8t + 10, ¿en qué semana se alcanza la altura máxima de la planta?

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Respuesta correcta: D) En la semana 4

A) En la semana 8Incorrecto. Se utilizó el valor del coeficiente b de forma directa sin la división necesaria.
B) En la semana 10Incorrecto. Este valor representa la altura inicial al momento de la siembra (t=0).
C) En la semana 2Incorrecto. Se cometió un error en el cálculo de la posición horizontal del vértice.
D) En la semana 4Correcto. El máximo ocurre en el vértice de la parábola: t = -8 / (2*-1) = 4.

💡 Explicación

Aplicación del concepto de vértice para la optimización de valores máximos en funciones cuadráticas reales.

Bloom: Analyze

Un geómetra en Chiriquí determina la ecuación de una recta perpendicular a una cerca perimetral.

¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a la recta definida por la ecuación y = (2/3)x - 5?

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Respuesta correcta: B) Pendiente m = -3/2

A) Pendiente m = 2/3Incorrecto. Esta sería la pendiente para una condición de paralelismo total.
B) Pendiente m = -3/2Correcto. Las pendientes perpendiculares son recíprocas y de signos opuestos entre sí.
C) Pendiente m = 3/2Incorrecto. Solo representa el recíproco; falta aplicar el cambio de signo necesario.
D) Pendiente m = -2/3Incorrecto. Solo representa la opuesta; falta aplicar el recíproco a la fracción.

💡 Explicación

Relación analítica entre las pendientes de rectas perpendiculares en el plano cartesiano.

Bloom: Apply

Un estudiante encuentra la ecuación de una parábola que pasa por el origen y un punto dado.

Halla la ecuación de la parábola cuyo vértice es (0, 0) y pasa por el punto coordenado (2, 8).

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Respuesta correcta: C) La curva y = 2x^2

A) La recta y = 4xIncorrecto. Esta expresión describe una relación lineal, no una curva parabólica.
B) La curva y = x^2 + 4Incorrecto. El vértice de esta función no coincidiría con el origen de coordenadas.
C) La curva y = 2x^2Correcto. Sustituyendo el punto: 8 = a(2^2) implica 8 = 4a, por lo que el coeficiente es dos.
D) La curva y = 8x^2Incorrecto. Al sustituir x=2 se obtendría una imagen de 32 en lugar de 8.

💡 Explicación

Determinación de coeficientes de una función cuadrática a partir de información de puntos específicos.

Bloom: Evaluate

Un economista analiza el punto de equilibrio donde los ingresos igualan a los costos variables.

Si C(x) = 5x + 100 e I(x) = 25x, ¿cuántas unidades deben venderse para obtener una utilidad de 300 balboas?

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Respuesta correcta: C) 20 unidades

A) 15 unidadesIncorrecto. Se cometió un error al plantear la igualdad para la utilidad neta.
B) 5 unidadesIncorrecto. Este valor representaría el punto de equilibrio para una utilidad nula.
C) 20 unidadesCorrecto. (25x) - (5x + 100) = 300 implica 20x = 400, por lo que x es veinte.
D) 10 unidadesIncorrecto. No se cumple la condición de beneficio monetario requerida por el problema.

💡 Explicación

Resolución de problemas de optimización económica mediante el uso de modelos de funciones lineales.

Bloom: Analyze

Un físico modela la energía cinética y necesita encontrar el rango de velocidades negativas.

¿En qué intervalo de x la función cuadrática f(x) = x^2 - 4 toma exclusivamente valores negativos?

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Respuesta correcta: B) Entre -2 y 2

A) x mayor que 2Incorrecto. En este rango de la recta la función toma valores de carácter positivo.
B) Entre -2 y 2Correcto. La parte de la parábola bajo el eje horizontal se encuentra entre sus dos raíces reales.
C) Fuera de [-2, 2]Incorrecto. En estas regiones exteriores la función se encuentra por encima del eje x.
D) Intervalo cerrado [-2, 2]Incorrecto. En los extremos de este rango la función vale cero, no es negativa estricta.

💡 Explicación

Análisis de signos de funciones cuadráticas basándose en su representación e interceptos.

Bloom: Evaluate

Reto de alta complejidad sobre una familia de parábolas tangentes al eje horizontal.

¿Cuál es el valor de k para que el vértice de y = x^2 + 4x + k se encuentre exactamente sobre el eje x?

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Respuesta correcta: B) k = 4

A) k = 0Incorrecto. Con este valor la curva cortaría al eje en dos puntos distintos en lugar de ser tangente.
B) k = 4Correcto. Para que el vértice toque al eje x, el discriminante debe ser nulo: 16 - 4k = 0.
C) k = -4Incorrecto. La curva tendría dos raíces reales y el vértice se ubicaría bajo el eje horizontal.
D) k = 2Incorrecto. La condición de nulidad del discriminante no se cumple para este valor de la constante.

💡 Explicación

Análisis de la posición del vértice basándose en los parámetros cuadráticos y el valor del discriminante.

Bloom: Evaluate

Un experto en balística modela la altura de un proyectil disparado desde una plataforma.

Si h(t) = -5t^2 + 20t + 25 metros, ¿en qué segundo exacto el objeto impacta finalmente contra el suelo?

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Respuesta correcta: B) En el segundo 5

A) En el segundo 2Incorrecto. Este tiempo corresponde al momento de alcanzar la altura máxima de vuelo.
B) En el segundo 5Correcto. Resolviendo la ecuación h(t)=0 se obtiene la raíz positiva correspondiente al impacto.
C) En el segundo 4Incorrecto. A los cuatro segundos el proyectil se encuentra aún a 25 metros de altura.
D) En el segundo 1Incorrecto. En este instante el objeto todavía se encuentra en su fase ascendente de vuelo.

💡 Explicación

Resolución de problemas de cinemática mediante el cálculo de raíces de funciones cuadráticas aplicadas.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?