Tema W03 — Matematicas Grado 11, Paraguay

Bloom: Remember

En Asunción, un grupo de estudiantes analiza la definición formal del logaritmo antes de resolver ejercicios de cálculo.

¿Cómo se define formalmente el logaritmo

\log_b(a) = c

para

b > 0

,

b \neq 1

y

a > 0

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $b^c = a$

A) $a^c = b$ Incorrecto. Intercambió la base y el argumento: en la definición el argumento es el resultado de la potencia.
B) $b^a = c$ Incorrecto. Esta relación coloca el resultado como exponente, y eso describe otra operación, no el logaritmo.
C) $b^c = a$ ¡Correcto! $b^c = a$ es la forma exponencial equivalente, porque $c$ es el exponente al que se eleva la base $b$ para obtener el argumento.
D) $c^b = a$ Incorrecto. El exponente debe ser $c$ y la base $b$ ; invirtiéndolos se obtiene una potencia distinta de la buscada.

💡 Explicación

Por definición,

\log_b(a) = c

significa que

c

es el exponente al que hay que elevar la base

b

para obtener el argumento

a

; por eso la única escritura equivalente es

b^c = a

.

Bloom: Understand

En San Lorenzo, un grupo de estudiantes demuestra por qué el logaritmo de un producto se puede transformar en una suma.

¿A qué es igual el logaritmo de un producto, es decir,

\log_b(x \cdot y)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $\log_b(x) + \log_b(y)$

A) $\log_b(x) \cdot \log_b(y)$ Incorrecto. Los exponentes se suman, no se multiplican: $b^{p} \cdot b^{q} = b^{p+q}$ .
B) $\log_b(x) + \log_b(y)$ ¡Correcto! El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, porque $b^p \cdot b^q = b^{p+q}$ .
C) $\log_b(x + y)$ Incorrecto. La suma no es un producto, y no existe una propiedad que transforme $\log_b(x + y)$ de esa forma.
D) $\log_b(x) - \log_b(y)$ Incorrecto. La resta de logaritmos corresponde al cociente, donde $b^p / b^q = b^{p-q}$ .

💡 Explicación

Como

b^{\log_b x} \cdot b^{\log_b y} = b^{\log_b x + \log_b y}

y ambos productos valen

x \cdot y

, el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, con

x > 0

e

y > 0

.

Bloom: Understand

En Luque, un curso de matemática aplicada repasa las propiedades del cociente antes de usarlas en el cálculo de intereses bancarios.

¿A qué es igual el logaritmo de un cociente,

\log_b\left(\frac{x}{y}\right)

, con

x > 0

e

y > 0

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $\log_b(x) - \log_b(y)$

A) $\log_b(x) - \log_b(y)$ ¡Correcto! Al dividir se restan los exponentes: $b^{p-q} = \dfrac{b^p}{b^q}$ , por eso el cociente es una resta.
B) $\log_b(x) + \log_b(y)$ Incorrecto. La suma corresponde al producto: $b^{p} \cdot b^{q} = b^{p+q}$ , no a una división.
C) $\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(y)}$ Incorrecto. Ese cociente mide el exponente de $x$ respecto de $y$ , no el logaritmo de la división.
D) $\log_b(x - y)$ Incorrecto. El logaritmo de una resta no se separa: $x - y$ no es un producto de factores.

💡 Explicación

Como

b^p / b^q = b^{p - q}

, el logaritmo de un cociente es la resta de los logaritmos:

\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)

. La suma queda reservada para los productos.

Bloom: Apply

En Encarnación, Liz administra una cuenta de ahorros cuyo capital se modela por $10^t$ y necesita saber cuándo llega a $10000$ guaraníes.

En una cooperativa de Encarnación, Liz evalúa una cuenta de ahorros cuyo capital se modela por

10^t = 10000

. ¿En cuántos años se alcanza ese valor aplicando logaritmo común de base 10?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) 4 años

A) 3 añosIncorrecto. $\log_{10}(1000) = 3$ corresponde a mil, y el argumento del enunciado es diez mil.
B) 5 añosIncorrecto. $10^5 = 100000$ , o sea cien mil, un orden de magnitud mayor que el valor solicitado.
C) 2 añosIncorrecto. $10^2 = 100$ es solo cien, dos órdenes de magnitud por debajo del capital modelado.
D) 4 años¡Correcto! $\log_{10}(10000) = 4$ porque $10^4 = 10000$ , y el argumento tiene cuatro ceros.

💡 Explicación

Aplicando logaritmo en base 10 a

10^t = 10000

se obtiene

t = \log_{10}(10000) = 4

años, porque

10^4 = 10000

. El número de ceros del argumento da directamente el exponente.

Bloom: Apply

En Ciudad del Este, un laboratorio municipal sigue el crecimiento de un cultivo con el modelo $2^t = 64$ horas.

Un cultivo de bacterias de Ciudad del Este se modela por

2^t = 64

, donde

t

es el número de horas. ¿Cuántas horas se necesitan para alcanzar esa población?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 6 horas

A) 8 horasIncorrecto. $2^8 = 256$ y $2^{10} = 1024$ : un exponente de 8 se pasa con creces del objetivo de 64.
B) 6 horas¡Correcto! $\log_2(64) = 6$ porque $2^6 = 64$ , y ese exponente reconstruye exactamente el argumento.
C) 3 horasIncorrecto. $2^3 = 8$ y $2^4 = 16$ , todavía muy por debajo de las 64 unidades del modelo.
D) 12 horasIncorrecto. $2^{12} = 4096$ multiplica por 64 la meta pedida, así que el tiempo es mucho menor.

💡 Explicación

Como

2^6 = 2^2 \cdot 2^4 = 4 \cdot 16 = 64

, el tiempo buscado es

t = \log_2(64) = 6

horas. Sirve el exponente exacto, el que reproduce el argumento sin residuo.

Bloom: Apply

En Caacupé, un vivero mide el crecimiento de una planta con el modelo $5^t = 125$ semanas.

Si el crecimiento de una planta de Caacupé se modela por

5^t = 125

, ¿cuántas semanas tarda en alcanzar el factor indicado por el modelo?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 3 semanas

A) 3 semanas¡Correcto! $\log_5(125) = 3$ porque $5^3 = 125$ , y $125$ es potencia exacta de la base.
B) 4 semanasIncorrecto. $5^4 = 625$ supera las 125 unidades que pide el modelo de crecimiento.
C) 5 semanasIncorrecto. $5^5 = 3125$ multiplica por 25 el valor solicitado, así que el tiempo es menor.
D) 2 semanasIncorrecto. $5^2 = 25$ se queda muy por debajo de las 125 unidades exigidas por la ecuación.

💡 Explicación

Como

125 = 5^3

, la ecuación

5^t = 125

se reduce a

5^t = 5^3

y por tanto

t = \log_5(125) = 3

semanas. La clave es reconocer el argumento como potencia de la misma base.

Bloom: Apply

En Pilar, una industria metalúrgica registra la depreciación de un equipo con el modelo $3^t = 81$ años.

La depreciación de un equipo industrial de Pilar sigue el modelo

3^t = 81

. ¿Cuántos años deben pasar para que el factor alcance ese valor?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 4 años

A) 3 añosIncorrecto. $3^3 = 27$ queda por debajo de las 81 unidades que pide el modelo de depreciación.
B) 6 añosIncorrecto. $3^6 = 729$ ya supera con mucho el factor buscado, de modo que el tiempo es menor.
C) 4 años¡Correcto! $\log_3(81) = 4$ porque $3^4 = 81$ , y ese producto de potencias reproduce el argumento.
D) 9 añosIncorrecto. $3^9 = 19683$ equivale a $81^2 \cdot 3$ , muy por encima del factor del enunciado.

💡 Explicación

Escribiendo

81 = 3 \cdot 27 = 3^3 \cdot 3 = 3^4

, la ecuación

3^t = 81

tiene

t = \log_3(81) = 4

años. Se reconoce el argumento como potencia entera de la base.

Bloom: Evaluate

En Coronel Oviedo, un laboratorio registra una concentración modelada por $10^t = 0.001$ .

Una concentración de Coronel Oviedo sigue el modelo

10^t = 0.001

. ¿Qué valor de

t

corresponde a esa medida?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $-3$

A) 3Incorrecto. $10^{3} = 1000$ es mil veces mayor que el argumento $0.001$ de la ecuación.
B) $-4$ Incorrecto. $10^{-4} = 0.0001$ es diez veces menor que el $0.001$ que pide la concentración.
C) $0.3$ Incorrecto. $10^{0.3}$ vale $2$ aproximadamente, y el argumento es una potencia entera de diez.
D) $-3$ ¡Correcto! $\log_{10}(0.001) = -3$ porque $10^{-3} = 0.001$ , y un argumento menor que 1 da exponente negativo.

💡 Explicación

Como

0.001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}

, se tiene

t = \log_{10}(0.001) = -3

. Todo número entre 0 y 1 tiene logaritmo negativo en base 10.

Bloom: Evaluate

En Concepción, un taller de álgebra compara logaritmos de bases distintas para consolidar el concepto de exponente.

¿Qué valor tiene la expresión

\log_2(8) + \log_5(25)

?

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Respuesta correcta: A) 5

A) 5¡Correcto! $\log_2(8) = 3$ y $\log_5(25) = 2$ , y la suma es $3 + 2 = 5$ .
B) 6Incorrecto. La suma correcta es $3 + 2 = 5$ ; un 6 exigiría que $\log_5(25)$ valiera 3.
C) 3Incorrecto. $3$ es solo el valor de $\log_2(8)$ , y el segundo término de la suma se está omitiendo.
D) 15Incorrecto. $15$ es $3 \cdot 5$ , el producto de los argumentos, no la suma de sus logaritmos.

💡 Explicación

Cada logaritmo es un exponente exacto:

\log_2(8) = 3

porque

2^3 = 8

y

\log_5(25) = 2

porque

5^2 = 25

, de modo que la suma es

3 + 2 = 5

.

Bloom: Evaluate

En Villarrica, un curso de preparación evalúa el logaritmo de una fracción con base $3$ .

¿Qué valor tiene el logaritmo

\log_3\left(\frac{1}{81}\right)

?

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Respuesta correcta: B) $-4$

A) $-3$ Incorrecto. $3^{-3} = \frac{1}{27} = 0.037$ es mayor que $\frac{1}{81} = 0.012$ , y el argumento es menor.
B) $-4$ ¡Correcto! $\log_3\left(\frac{1}{81}\right) = -4$ porque $3^{-4} = \frac{1}{81}$ , y $81 = 3^4$ .
C) 4Incorrecto. $3^4 = 81$ da el argumento $81$ , no su inverso $\frac{1}{81}$ .
D) $\frac{1}{4}$ Incorrecto. $\frac{1}{4}$ es el resultado de dividir entre cuatro, no un exponente de base 3.

💡 Explicación

Como

81 = 3^4

, su inverso es

\frac{1}{81} = 3^{-4}

y por tanto

\log_3\left(\frac{1}{81}\right) = -4

. Invertir el argumento invierte el signo del exponente.

Bloom: Apply

En Asunción, un centro de capacitación resuelve ecuaciones del tipo $\log_2(x) = 6$ para encontrar la población inicial.

En un taller de Asunción se plantea la ecuación

\log_2(x) = 6

. ¿Qué valor de

x

la resuelve?

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Respuesta correcta: C) 64

A) 32Incorrecto. $2^5 = 32$ corresponde a $\log_2(x) = 5$ y no al exponente 6 del enunciado.
B) 128Incorrecto. $2^7 = 128$ corresponde a $\log_2(x) = 7$ , un exponente mayor que el dado.
C) 64¡Correcto! La ecuación equivale a $2^6 = 64$ , y por eso $x = 64$ es la única solución positiva.
D) 12Incorrecto. $12$ es el doble del exponente $6$ y no una potencia de la base $2$ del modelo.

💡 Explicación

Pasando

\log_2(x) = 6

a su forma exponencial se obtiene

x = 2^6 = 64

. El logaritmo ya venía resuelto, así que solo había que reconstruir el argumento.

Bloom: Apply

En San Lorenzo, un grupo de estudiantes resuelve $\log_5(x) = 3$ aplicando la definición de logaritmo.

Sabiendo que

\log_5(x) = 3

, determine el valor de

x

que satisface la igualdad.

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Respuesta correcta: A) 125

A) 125¡Correcto! $\log_5(x) = 3$ equivale a $5^3 = 125$ , de modo que $x = 125$ es la solución.
B) 25Incorrecto. $5^2 = 25$ corresponde a $\log_5(x) = 2$ y no al exponente 3 del enunciado.
C) 625Incorrecto. $5^4 = 625$ corresponde a $\log_5(x) = 4$ , un exponente mayor que el dado.
D) 15Incorrecto. $15$ es $5 \cdot 3$ , un producto, y no una potencia de la base $5$ .

💡 Explicación

La definición

\log_b(x) = c \iff b^c = x

convierte el enunciado en

x = 5^3 = 125

. Reconstruir la potencia es el paso inverso a calcular un logaritmo.

Bloom: Analyze

En Luque, un ejercicio de práctica combina logaritmos de bases distintas que deben restarse.

Calcule el valor de

\log_2(32) - \log_4(16)

teniendo en cuenta que las bases son diferentes.

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Respuesta correcta: D) 3

A) 5Incorrecto. $5$ es solo el valor de $\log_2(32)$ ; falta restar $\log_4(16) = 2$ .
B) 2Incorrecto. $2$ es solo $\log_4(16)$ , y el resultado debe ser mayor porque $5 > 2$ .
C) 7Incorrecto. Una suma $5 + 2 = 7$ corresponde a un producto de argumentos, no a la resta pedida.
D) 3¡Correcto! $\log_2(32) = 5$ y $\log_4(16) = 2$ , y la resta es $5 - 2 = 3$ .

💡 Explicación

Cada término se resuelve por separado:

\log_2(32) = 5

porque

2^5 = 32

y

\log_4(16) = 2

porque

4^2 = 16

. Como las bases difieren, la resta se efectúa al final y da

3

.

Bloom: Analyze

En Encarnación, un club de cálculo simplifica $\log_{10}(2 \cdot 50)$ reduciendo primero el producto.

Usando que

\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)

, simplifique el valor de

\log_{10}(2 \cdot 50)

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 2

A) 52Incorrecto. $52$ son los dos factores sumados, y lo que se suman son sus logaritmos, no los factores.
B) 2¡Correcto! $\log_{10}(2) + \log_{10}(50) = \log_{10}(100) = 2$ , porque $2 \cdot 50 = 100$ .
C) 100Incorrecto. $100$ es el resultado del producto $2 \cdot 50$ y no su logaritmo en base 10.
D) 0.5Incorrecto. $0.5$ es el logaritmo de $10^{-0.5}$ ; el producto del enunciado supera la unidad.

💡 Explicación

Como

2 \cdot 50 = 100

y

\log_{10}(100) = 2

, se tiene

\log_{10}(2) + \log_{10}(50) = 2

. Reducir el producto antes evita calcular logaritmos decimales aproximados.

Bloom: Evaluate

En Ciudad del Este, un curso de preparación aplica cambio de base para calcular $\log_4(8)$ .

Usando el cambio de base, determine el valor exacto de

\log_4(8)

.

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Respuesta correcta: C) $\frac{3}{2}$

A) 2Incorrecto. Un exponente $2$ da $4^2 = 16$ , y un exponente $3$ da $4^3 = 64$ ; ninguno vale 8.
B) 3Incorrecto. Un exponente $3$ da $4^3 = 64$ , que es ocho veces mayor que el argumento buscado.
C) $\frac{3}{2}$ ¡Correcto! $\log_4(8) = \dfrac{\log_2(8)}{\log_2(4)} = \dfrac{3}{2}$ , y $4^{3/2} = 8$ .
D) $\frac{2}{3}$ Incorrecto. $\frac{2}{3}$ invierte el cociente correcto y da $4^{2/3} = 2.52$ , no 8.

💡 Explicación

El cambio de base entrega

\log_4(8) = \frac{\log_2(8)}{\log_2(4)} = \frac{3}{2}

, porque

8 = 2^3

y

4 = 2^2

. El resultado no es entero: el argumento no es potencia entera de la base.

Bloom: Evaluate

En Caacupé, un estudio compara una base grande con un argumento pequeño mediante $\log_{16}(4)$ .

¿Qué valor tiene el logaritmo

\log_{16}(4)

?

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Respuesta correcta: B) $\frac{1}{2}$

A) 2Incorrecto. Un exponente $2$ da $16^2 = 256$ , y un exponente $1$ da $16^1 = 16$ , no 4.
B) $\frac{1}{2}$ ¡Correcto! $\log_{16}(4) = \dfrac{\log_2 4}{\log_2 16} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ .
C) 4Incorrecto. Un exponente $4$ da $16^4 = 65536$ , mucho mayor que el argumento de la expresión.
D) $\frac{1}{4}$ Incorrecto. $\frac{1}{4}$ daría $16^{1/4} = 2$ , que es la raíz cuarta de 16 y no 4.

💡 Explicación

Como

16 = 2^4

y

4 = 2^2

, el cambio de base a base 2 produce

\log_{16}(4) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

. Una base grande con argumento pequeño da un logaritmo entre 0 y 1.

Bloom: Analyze

En Pilar, un laboratorio de soluciones define $\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]$ y mide $[\mathrm{H}^+] = 10^{-3}$ mol/L.

En un laboratorio de Pilar, la concentración de iones de hidrógeno cumple

[\mathrm{H}^+] = 10^{-3}

mol/L. Si el pH se define como

\mathrm{pH} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+]

, ¿qué pH tiene la solución?

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Respuesta correcta: A) 3

A) 3¡Correcto! $\log_{10}(10^{-3}) = -3$ y el signo negativo de la definición da $\mathrm{pH} = 3$ .
B) $-3$ Incorrecto. El signo menos pertenece a la definición del pH y no al resultado del logaritmo.
C) 0.003Incorrecto. $0.003$ es la concentración $[10^{-3}]$ en mol/L, no el logaritmo de ese valor.
D) 0.3Incorrecto. $0.3$ es el cociente entre los exponentes, y el pH de una solución es siempre mayor que cero.

💡 Explicación

Con

[\mathrm{H}^+] = 10^{-3}

, el logaritmo común es exactamente

\log_{10}(10^{-3}) = -3

y, por la definición,

\mathrm{pH} = -(-3) = 3

. Por eso esta solución ácida tiene pH igual a 3.

Bloom: Apply

En Coronel Oviedo, una colonia de bacterias parte de 2000 individuos y se duplica cada hora con $N(t) = 2000 \cdot 2^t$ .

Una colonia de bacterias de Coronel Oviedo parte de 2000 individuos y se duplica cada hora según

N(t) = 2000 \cdot 2^t

. ¿Cuántas horas deben pasar para alcanzar 64000 bacterias?

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Respuesta correcta: C) 5 horas

A) 3 horasIncorrecto. $2^3 = 8$ y $2000 \cdot 8 = 16000$ , exactamente la mitad de la población pedida.
B) 6 horasIncorrecto. $2000 \cdot 2^6 = 128000$ , que dobla con exceso el total solicitado de 64000.
C) 5 horas¡Correcto! $\dfrac{64000}{2000} = 32 = 2^5$ y por eso $t = \log_2(32) = 5$ horas.
D) 8 horasIncorrecto. $2^8 = 256$ y $2000 \cdot 256 = 512000$ , muy por encima de las 64000 bacterias.

💡 Explicación

Hay que despejar el factor de crecimiento:

\frac{64000}{2000} = 32 = 2^5

. Como el modelo es

N(t) = 2000 \cdot 2^t

, el tiempo buscado es

t = \log_2(32) = 5

horas.

Bloom: Evaluate

En Concepción, una muestra de 4800 átomos radiactivos pierde la mitad cada 10 años con $N(t) = 4800 \cdot 2^{-t/10}$ .

Una muestra de Concepción tiene 4800 átomos radiactivos y pierde la mitad cada 10 años, según

N(t) = 4800 \cdot 2^{-t/10}

. ¿Cuántos años deben pasar para que queden 300 átomos?

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Respuesta correcta: D) 40 años

A) 4 añosIncorrecto. $4$ es la cantidad de periodos de desintegración, no los años transcurridos.
B) 10 añosIncorrecto. $10$ es la duración de un solo periodo; en ese tiempo la muestra baja a 2400 átomos.
C) 20 añosIncorrecto. $20$ años son dos periodos, y quedarían $4800 / 4 = 1200$ átomos sin desintegrar.
D) 40 años¡Correcto! $\dfrac{300}{4800} = \dfrac{1}{16} = 2^{-4}$ , de donde $t/10 = 4$ y $t = 40$ años.

💡 Explicación

Dividiendo por la cantidad inicial se obtiene

2^{-t/10} = \frac{300}{4800} = \frac{1}{16} = 2^{-4}

. De ahí

-t/10 = -4

y

t = 40

años, es decir cuatro periodos completos de 10 años.

Bloom: Evaluate

En Villarrica, el nivel sonoro de una máquina cumple $L = 10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$ con $L = 70$ e $I_0 = 10^{-12}$ .

El nivel sonoro de una máquina de Villarrica cumple

L = 10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)

. Si el nivel medido es

L = 70

y la intensidad de referencia es

I_0 = 10^{-12}

, ¿qué intensidad

I

tiene la máquina?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $10^{-5}$

A) $10^{7}$ Incorrecto. $10^{7}$ es el cociente $I / I_0$ , no la intensidad expresada en la unidad de referencia.
B) $10^{-12}$ Incorrecto. $10^{-12}$ es la intensidad de referencia $I_0$ , que es igual para todas las máquinas.
C) 7Incorrecto. $7$ es solo el logaritmo del cociente, que se obtiene al dividir $70$ entre $10$ en la ecuación.
D) $10^{-5}$ ¡Correcto! $\log_{10}(I/10^{-12}) = 7$ y por tanto $I = 10^{7} \cdot 10^{-12} = 10^{-5}$ .

💡 Explicación

De

L = 10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)

se obtiene

\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) = \frac{70}{10} = 7

, luego

\frac{I}{I_0} = 10^7

y

I = 10^{7} \cdot 10^{-12} = 10^{-5}

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?