Tema W11

Respuesta correcta: C) $x = 5$

• A) $x = 4$Incorrecto. Note que $2^4 = 16$, no 32.
• B) $x = 16$Incorrecto. Dividió 32 entre 2 en lugar de encontrar la potencia de 2.
• C) $x = 5$¡Correcto! Ya que $2^5 = 32$, la solución es $x = 5$.
• D) $x = 6$Incorrecto. Observe que $2^6 = 64$.

Respuesta correcta: D) $b^c = a$

• A) $a^c = b$Incorrecto. Intercambió la base y el argumento de la potencia.
• B) $c^b = a$Incorrecto. Confundió la base del logaritmo con el exponente.
• C) $b \cdot c = a$Incorrecto. El logaritmo no representa un producto, sino una relación exponencial.
• D) $b^c = a$¡Correcto! Por definición, el logaritmo en base $b$ de $a$ es la potencia a la que se debe elevar $b$ para obtener $a$.

Respuesta correcta: B) 4

• A) 3Incorrecto. $3^3 = 27$.
• B) 4¡Correcto! Ya que $3^4 = 81$, se cumple que $\log_3(81) = 4$.
• C) 27Incorrecto. Dividió 81 entre 3 en lugar de determinar la potencia.
• D) 9Incorrecto. $3^9 = 19.683$, no 81.

Respuesta correcta: A) $\log(x \cdot y)$

• A) $\log(x \cdot y)$¡Correcto! La suma de logaritmos de la misma base es igual al logaritmo del producto de sus argumentos.
• B) $\log(x + y)$Incorrecto. El logaritmo de una suma no es la suma de los logaritmos.
• C) $\log(x / y)$Incorrecto. El logaritmo del cociente equivale a la resta de logaritmos.
• D) $\log(x)^y$Incorrecto. La propiedad de la potencia aplica al exponente del argumento, no a la suma.

Respuesta correcta: B) $x = 2$

• A) $x = 1$Incorrecto. Si $x=1$, $3^{2(1)-1} = 3^1 = 3 \neq 27$.
• B) $x = 2$¡Correcto! Como $27 = 3^3$, tenemos $2x - 1 = 3$, por lo que $2x = 4$ y $x = 2$.
• C) $x = 3$Incorrecto. Si $x=3$, $3^{2(3)-1} = 3^5 = 243 \neq 27$.
• D) $x = 4$Incorrecto. Si $x=4$, $3^{2(4)-1} = 3^7 = 2187 \neq 27$.

Respuesta correcta: A) $x = 48$

• A) $x = 48$¡Correcto! $\log_2(x/3) = 4 \Rightarrow x/3 = 2^4 = 16 \Rightarrow x = 48$.
• B) $x = 12$Incorrecto. Multiplicó 3 por 4 en lugar de utilizar $2^4 = 16$.
• C) $x = 19$Incorrecto. Sumó 16 más 3 en lugar de multiplicar.
• D) $x = 64$Incorrecto. Calculó $2^6$ en lugar de despejar correctamente la fracción.

Respuesta correcta: A) $x = 2$

• A) $x = 2$¡Correcto! Expresando 125 como $5^3$, obtenemos $x + 1 = 3$, luego $x = 2$.
• B) $x = 3$Incorrecto. Olvidó restar 1 al exponente al despejar $x$.
• C) $x = 1$Incorrecto. Si $x=1$, $5^2 = 25 \neq 125$.
• D) $x = 25$Incorrecto. Dividió 125 entre 5 en lugar de resolver la igualdad exponencial.

Respuesta correcta: D) $\ln\left(\frac{x^3}{y}\right)$

• A) $\ln(3x - y)$Incorrecto. Aplicó incorrectamente las operaciones de logaritmos a los argumentos directos.
• B) $\ln(x^3 \cdot y)$Incorrecto. La resta de logaritmos corresponde a un cociente, no a una multiplicación.
• C) $\frac{\ln(x^3)}{\ln(y)}$Incorrecto. El cociente de logaritmos representa un cambio de base, no la resta de logaritmos.
• D) $\ln\left(\frac{x^3}{y}\right)$¡Correcto! La propiedad de la potencia convierte $3\ln(x)$ en $\ln(x^3)$, y la resta resulta en el logaritmo del cociente.

Respuesta correcta: A) $x = 25$

• A) $x = 25$¡Correcto! Pasando a forma exponencial: $x + 2 = 3^3 = 27 \Rightarrow x = 27 - 2 = 25$.
• B) $x = 7$Incorrecto. Calculó $3 \cdot 3 = 9$ en lugar de $3^3 = 27$.
• C) $x = 27$Incorrecto. Olvidó restar el 2 del argumento de la ecuación.
• D) $x = 29$Incorrecto. Sumó 2 a 27 en lugar de restarlo.

Respuesta correcta: A) $x = 3$

• A) $x = 3$¡Correcto! Expresando en base 2: $(2^2)^x = (2^3)^{x-1} \Rightarrow 2x = 3x - 3 \Rightarrow x = 3$.
• B) $x = 2$Incorrecto. Si $x=2$, $4^2 = 16$ y $8^1 = 8$, no son iguales.
• C) $x = 1$Incorrecto. Si $x=1$, $4^1 = 4$ y $8^0 = 1$, no son iguales.
• D) $x = 4$Incorrecto. Al despejar la ecuación lineal cometió un error algebraico.

Respuesta correcta: B) $x = 5$

• A) $x = -2$Incorrecto. Aunque es raíz de la ecuación cuadrática, no pertenece al dominio del logaritmo ($x > 3$).
• B) $x = 5$¡Correcto! $\log(x(x-3)) = 1 \Rightarrow x^2 - 3x = 10 \Rightarrow x^2 - 3x - 10 = 0 \Rightarrow (x-5)(x+2) = 0$. Como $x > 3$, $x = 5$.
• C) $x = 10$Incorrecto. Al sustituir $x=10$, $\log(10) + \log(7) = 1 + \log(7) \neq 1$.
• D) $x = 3$Incorrecto. Para $x=3$, el argumento $\log(x-3) = \log(0)$, que no está definido.

Respuesta correcta: B) $\frac{4}{3}a$

• A) $\frac{3}{4}a$Incorrecto. Invirtió el exponente de la base y el argumento.
• B) $\frac{4}{3}a$¡Correcto! Usando la regla de cambio de base o propiedades: $\log_8(81) = \frac{\log_2(81)}{\log_2(8)} = \frac{\log_2(3^4)}{3} = \frac{4\log_2(3)}{3} = \frac{4}{3}a$.
• C) $4a$Incorrecto. Olvidó considerar el cambio de base $8 = 2^3$.
• D) $3a$Incorrecto. No aplicó correctamente las propiedades de los logaritmos.

Respuesta correcta: C) $x = 0$ y $x = 1$

• A) $x = 1$ y $x = 3$Incorrecto. Confundió los valores de la variable sustituida $u$ con los valores finales de $x$.
• B) $x = 0$ y $x = -1$Incorrecto. Error de signos en la factorización de la ecuación cuadrática.
• C) $x = 0$ y $x = 1$¡Correcto! Con $u = 3^x$, $u^2 - 4u + 3 = 0 \Rightarrow (u-1)(u-3) = 0 \Rightarrow u = 1 \Rightarrow 3^x = 1 \Rightarrow x = 0$; y $u = 3 \Rightarrow 3^x = 3 \Rightarrow x = 1$.
• D) $x = 2$ y $x = 1$Incorrecto. Si $x=2$, $9^2 - 4(3^2) + 3 = 81 - 36 + 3 = 48 \neq 0$.

Respuesta correcta: B) $x = 4$

• A) $x = -2$Incorrecto. $x = -2$ es una solución extraña fuera del dominio ($x > 3$).
• B) $x = 4$¡Correcto! $\log_5((x+1)(x-3)) = 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 5 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+2) = 0$. Dado $x > 3$, la solución es $x = 4$.
• C) $x = 5$Incorrecto. Al probar $x=5$: $\log_5(6) + \log_5(2) = \log_5(12) \neq 1$.
• D) $x = 3$Incorrecto. Con $x=3$, $\log_5(0)$ no está definido.

Respuesta correcta: B) $t = -\frac{\ln(A / A_0)}{k}$

• A) $t = \frac{\ln(A \cdot A_0)}{k}$Incorrecto. El cociente $A/A_0$ se transformó erróneamente en un producto.
• B) $t = -\frac{\ln(A / A_0)}{k}$¡Correcto! Dividiendo por $A_0$: $A/A_0 = e^{-kt}$. Tomando logaritmo natural: $\ln(A/A_0) = -kt \Rightarrow t = -\frac{\ln(A/A_0)}{k}$.
• C) $t = -k \cdot \ln\left(\frac{A}{A_0}\right)$Incorrecto. Colocó la constante $k$ multiplicando en lugar de dividiendo.
• D) $t = \frac{e^{A / A_0}}{k}$Incorrecto. Para despejar el exponente de una base $e$ se requiere la función logaritmo natural, no exponencial.

Respuesta correcta: D) $(8, 2)$

• A) $(6, 4)$Incorrecto. Si bien $6 + 4 = 10$, su producto es $24 \neq 8$.
• B) $(5, 5)$Incorrecto. Su producto es $25 \neq 8$.
• C) $(9, 1)$Incorrecto. Su producto es $9 \neq 8$.
• D) $(8, 2)$¡Correcto! De la segunda ecuación $\log_2(xy) = 3 \Rightarrow xy = 8$. Buscamos dos números que sumen 10 y multipliquen 8: $x=8$ y $y=2$.

Respuesta correcta: C) $x = \frac{\log(5)}{\log(2)}$

• A) $x = \log(5) - \log(2)$Incorrecto. Confundió el cociente de logaritmos con la resta de logaritmos.
• B) $x = \frac{\log(2)}{\log(5)}$Incorrecto. Invirtió el numerador y el denominador.
• C) $x = \frac{\log(5)}{\log(2)}$¡Correcto! Aplicando logaritmo decimal a ambos lados: $\log(2^x) = \log(5) \Rightarrow x \log(2) = \log(5) \Rightarrow x = \frac{\log(5)}{\log(2)}$.
• D) $x = \log(2.5)$Incorrecto. $\log(5/2) = \log(5) - \log(2) \neq \frac{\log(5)}{\log(2)}$.

Respuesta correcta: D) $a = 4$ y $b = 3$

• A) $a = 3$ y $b = 4$Incorrecto. Invirtió los valores de las constantes $a$ y $b$.
• B) $a = 4$ y $b = 9$Incorrecto. Olvidó extraer la raíz cuadrada a $b^2 = 9$.
• C) $a = 2$ y $b = 6$Incorrecto. Si $a=2$, $f(0) = 2 \neq 4$.
• D) $a = 4$ y $b = 3$¡Correcto! $f(0) = a \cdot b^0 = a = 4$. Luego $f(2) = 4 \cdot b^2 = 36 \Rightarrow b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$.

Respuesta correcta: C) $x = 1.5$ (o $3/2$)

• A) $x = 1$Incorrecto. Al probar $x=1$ los dos lados no coinciden.
• B) $x = 2$Incorrecto. Sustituyendo $x=2$ se obtienen valores numéricos diferentes.
• C) $x = 1.5$ (o $3/2$)¡Correcto! Reescribiendo: $2^{2x} + \frac{1}{2}2^{2x} = \frac{3}{2}2^{2x}$. El otro lado: $\sqrt{3}\cdot 3^x + \frac{1}{\sqrt{3}}3^x = \frac{4}{\sqrt{3}}3^x$. Igualando y resolviendo se obtiene $x = 3/2$.
• D) $x = 0.5$Incorrecto. No satisface la igualdad de exponentes al agrupar potencias.