Tema W12

Respuesta correcta: A) $\sin(\alpha) = \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$

• A) $\sin(\alpha) = \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}$¡Correcto! Por definición en el triángulo rectángulo, el seno es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
• B) $\sin(\alpha) = \frac{\text{Cateto adyacente}}{\text{Hipotenusa}}$Incorrecto. Esa es la definición de la razón coseno.
• C) $\sin(\alpha) = \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Cateto adyacente}}$Incorrecto. Esa es la definición de la razón tangente.
• D) $\sin(\alpha) = \frac{\text{Hipotenusa}}{\text{Cateto opuesto}}$Incorrecto. Esa es la definición de la razón cosecante.

Respuesta correcta: C) $\frac{1}{2}$

• A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$Incorrecto. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ corresponde al $\cos(30^\circ)$ o $\sin(60^\circ)$.
• B) $\frac{\sqrt{2}}{2}$Incorrecto. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ es el valor para $45^\circ$.
• C) $\frac{1}{2}$¡Correcto! El valor exacto de $\sin(30^\circ)$ en la tabla de ángulos notables es $1/2$ o $0,5$.
• D) $1$Incorrecto. 1 es el valor del seno para $90^\circ$.

Respuesta correcta: B) $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$

• A) $\sin^2(\theta) - \cos^2(\theta) = 1$Incorrecto. La suma de los cuadrados debe ser 1, no la resta.
• B) $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$¡Correcto! Es la identidad trigonométrica fundamental derivada del teorema de Pitágoras.
• C) $\tan^2(\theta) + 1 = \sin^2(\theta)$Incorrecto. La identidad correcta con tangente es $\tan^2(\theta) + 1 = \sec^2(\theta)$.
• D) $\sin(\theta) + \cos(\theta) = 1$Incorrecto. La relación aplica a los cuadrados de las funciones trigonométricas.

Respuesta correcta: C) $\frac{3}{4}$ (o $0,75$)

• A) $\frac{4}{3}$ (o $1,33$)Incorrecto. Dividió el adyacente entre el opuesto (cotangente).
• B) $\frac{3}{5}$ (o $0,60$)Incorrecto. Dividió el opuesto entre la hipotenusa ($10\text{ m}$), que es el seno.
• C) $\frac{3}{4}$ (o $0,75$)¡Correcto! $\tan(\alpha) = \frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
• D) $\frac{4}{5}$ (o $0,80$)Incorrecto. Dividió el adyacente entre la hipotenusa, que es el coseno.

Respuesta correcta: D) $5\text{ m}$

• A) $5\sqrt{3}\text{ m}$ (aprox. $8,66\text{ m}$)Incorrecto. Calculó la distancia horizontal utilizando el coseno.
• B) $10\text{ m}$Incorrecto. Es la longitud de la rampa (hipotenusa), no su altura.
• C) $2,5\text{ m}$Incorrecto. Dividió por 4 en lugar de multiplicar por $\sin(30^\circ) = 0,5$.
• D) $5\text{ m}$¡Correcto! $\text{Altura} = \text{Hipotenusa} \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot 0,5 = 5\text{ m}$.

Respuesta correcta: B) $6\sqrt{2}\text{ cm}$ (aprox. $8,49\text{ cm}$)

• A) $12\sqrt{2}\text{ cm}$Incorrecto. Olvidó multiplicar por $\sin(30^\circ) = 1/2$.
• B) $6\sqrt{2}\text{ cm}$ (aprox. $8,49\text{ cm}$)¡Correcto! Por Ley de Senos: $\frac{b}{\sin(30^\circ)} = \frac{12}{\sin(45^\circ)} \Rightarrow b = \frac{12 \cdot 1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$.
• C) $6\text{ cm}$Incorrecto. Olvidó el factor $\sqrt{2}$ al simplificar la fracción.
• D) $8\text{ cm}$Incorrecto. Calculó una proporción directa de ángulos en lugar de senos.

Respuesta correcta: B) $7\text{ m}$

• A) $\sqrt{89}\text{ m}$ (aprox. $9,43\text{ m}$)Incorrecto. Olvidó restar el término del doble producto con el coseno.
• B) $7\text{ m}$¡Correcto! Por Ley de Cosenos: $a^2 = 5^2 + 8^2 - 2(5)(8)\cos(60^\circ) = 25 + 64 - 80(0,5) = 89 - 40 = 49 \Rightarrow a = \sqrt{49} = 7$.
• C) $9\text{ m}$Incorrecto. Sumó $5 + 8 - 4 = 9$ en lugar de aplicar la raíz cuadrada a $a^2 = 49$.
• D) $\sqrt{129}\text{ m}$Incorrecto. Sumó el producto $2bc\cos(A)$ en lugar de restarlo.

Respuesta correcta: C) Seno positivo ($+$), Coseno negativo ($-$)

• A) Seno negativo ($-$), Coseno positivo ($+$)Incorrecto. Corresponde al IV cuadrante.
• B) Ambos negativos ($-,-$)Incorrecto. Corresponde al III cuadrante.
• C) Seno positivo ($+$), Coseno negativo ($-$)¡Correcto! En el II cuadrante la ordenada $y > 0$ (seno positivo) y la abscisa $x < 0$ (coseno negativo).
• D) Ambos positivos ($+,+$)Incorrecto. Corresponde al I cuadrante.

Respuesta correcta: D) $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

• A) $-\sin(30^\circ) = -\frac{1}{2}$Incorrecto. El seno es positivo en el segundo cuadrante.
• B) $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$Incorrecto. $\sin(150^\circ)$ no cambia de función a coseno salvo que se use $90^\circ + 60^\circ$, en cuyo caso es $+\cos(60^\circ) = 1/2$.
• C) $-\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$Incorrecto. Asignó signo negativo a una razón positiva en el II cuadrante.
• D) $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$¡Correcto! Por reducción al I cuadrante: $\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = 1/2$.

Respuesta correcta: D) $2 \sin(\theta) \cos(\theta)$

• A) $\sin^2(\theta) - \cos^2(\theta)$Incorrecto. Esa expresión corresponde a $-\cos(2\theta)$.
• B) $\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$Incorrecto. Corresponde a la identidad de $\cos(2\theta)$.
• C) $2 \sin(\theta)$Incorrecto. Falta multiplicar por el coseno del ángulo.
• D) $2 \sin(\theta) \cos(\theta)$¡Correcto! La identidad del seno del ángulo doble es $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$.

Respuesta correcta: A) $\sin(x)$

• A) $\sin(x)$¡Correcto! Usando $1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$, tenemos $E = \frac{\sin^2(x)}{\sin(x)} = \sin(x)$.
• B) $\cos(x)$Incorrecto. Sustituyó $1 - \cos^2(x)$ por $\cos^2(x)$ por error.
• C) $\tan(x)$Incorrecto. Obtendría tangente si el denominador fuese $\cos(x)$.
• D) $1$Incorrecto. Cancelo incorrectamente la resta del numerador con el denominador.

Respuesta correcta: B) $x_1 = 30^\circ$ y $x_2 = 150^\circ$

• A) $x_1 = 30^\circ$ y $x_2 = 210^\circ$Incorrecto. $210^\circ$ está en el III cuadrante donde el seno es $-1/2$.
• B) $x_1 = 30^\circ$ y $x_2 = 150^\circ$¡Correcto! $\sin(x) = 1/2$, lo cual ocurre en el I cuadrante ($30^\circ$) y II cuadrante ($180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$).
• C) $x_1 = 60^\circ$ y $x_2 = 120^\circ$Incorrecto. Para $60^\circ$, $\sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2$.
• D) $x_1 = 30^\circ$ únicamenteIncorrecto. Olvidó incluir la solución del segundo cuadrante.

Respuesta correcta: A) $14\text{ km}$

• A) $14\text{ km}$¡Correcto! $d^2 = 10^2 + 6^2 - 2(10)(6)\cos(120^\circ) = 100 + 36 - 120(-0,5) = 136 + 60 = 196 \Rightarrow d = \sqrt{196} = 14$.
• B) $\sqrt{76}\text{ km}$ (aprox. $8,72\text{ km}$)Incorrecto. Usó $\cos(120^\circ) = +0,5$ en lugar de $-0,5$.
• C) $16\text{ km}$Incorrecto. Sumó directamente las distancias $10 + 6 = 16$.
• D) 2^\sqrt{31}\text{ km}Incorrecto. Error en los cálculos intermedios de la suma cuadrática.

Respuesta correcta: B) $\sec(x)$

• A) $\cos(x)$Incorrecto. Invirtió la relación recíproca final.
• B) $\sec(x)$¡Correcto! $\tan(x) \cdot \csc(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\sin(x)} = \frac{1}{\cos(x)} = \sec(x)$.
• C) $\cot(x)$Incorrecto. Confundió secante con cotangente.
• D) $\sin(x)$Incorrecto. Canceló incorrectamente el coseno en lugar del seno.

Respuesta correcta: C) $20\text{ m}^2$

• A) $40\text{ m}^2$Incorrecto. Olvidó multiplicar por el factor $1/2$.
• B) $20\sqrt{3}\text{ m}^2$Incorrecto. Usó $\cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2$ en lugar de $\sin(30^\circ) = 1/2$.
• C) $20\text{ m}^2$¡Correcto! $\text{Área} = \frac{1}{2} a b \sin(C) = \frac{1}{2} (8) (10) \sin(30^\circ) = 40 \cdot 0,5 = 20\text{ m}^2$.
• D) $10\text{ m}^2$Incorrecto. Dividió adicionalmente por 2 sin necesidad.

Respuesta correcta: A) $\tan(x)$

• A) $\tan(x)$¡Correcto! $\frac{2\sin(x)\cos(x)}{1 + 2\cos^2(x) - 1} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{2\cos^2(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$.
• B) $\cot(x)$Incorrecto. Invirtió el resultado dividiendo coseno entre seno.
• C) $\sin(x)$Incorrecto. Simplificó erróneamente el denominador.
• D) $\cos(x)$Incorrecto. No aplicó las identidades del ángulo doble correctamente.

Respuesta correcta: C) $\frac{\pi}{3}$, $\pi$, $\frac{5\pi}{3}$

• A) $\frac{\pi}{6}$, $\pi$, $\frac{11\pi}{6}$Incorrecto. $\cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2$, no $1/2$.
• B) $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\pi$Incorrecto. $\cos(2\pi/3) = -1/2$, que no satisface $2\cos(x)-1=0$.
• C) $\frac{\pi}{3}$, $\pi$, $\frac{5\pi}{3}$¡Correcto! Factorizando $(2\cos(x) - 1)(\cos(x) + 1) = 0 \Rightarrow \cos(x) = 1/2 \Rightarrow x = \pi/3, 5\pi/3$; o $\cos(x) = -1 \Rightarrow x = \pi$.
• D) $0$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3}$Incorrecto. $\cos(0) = 1$, que no satisface la ecuación.

Respuesta correcta: C) $\frac{\sqrt{6}}{2}$

• A) $\frac{\sqrt{2}}{2}$Incorrecto. Olvidó el factor $\cos(30^\circ) = \sqrt{3}/2$.
• B) $\sqrt{3}$Incorrecto. Multiplicó en lugar de simplificar adecuadamente.
• C) $\frac{\sqrt{6}}{2}$¡Correcto! $\cos(A) + \cos(B) = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) = 2 \cos(45^\circ) \cos(30^\circ) = 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
• D) $\frac{\sqrt{3}}{2}$Incorrecto. Olvidó el factor $\cos(45^\circ) = \sqrt{2}/2$.