Inecuaciones Lineales — Matematicas Grado 11, Perú

Bloom: Remember

Un estudiante de 5to de secundaria en Lima repasa las propiedades básicas de las desigualdades para su examen de ingreso.

Si se sabe que

a < b

y

c < 0

, ¿cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera en el conjunto de los números reales?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $ac > bc$

A) $a + c > b + c$ Incorrecto. Al sumar una misma cantidad a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la misma se mantiene: $a + c < b + c$ .
B) $ac > bc$ Correcto. Una de las propiedades fundamentales de las desigualdades indica que si multiplicamos ambos miembros por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.
C) $ac < bc$ Incorrecto. Al multiplicar por un número negativo ( $c < 0$ ), el sentido de la desigualdad debe invertirse por propiedad fundamental.
D) $a/c < b/c$ Incorrecto. Al dividir por un número negativo, el sentido de la desigualdad también debe invertirse.

💡 Explicación

La propiedad multiplicativa de las desigualdades establece que si

a < b

y multiplicamos o dividimos ambos miembros por un número negativo

c

, el sentido de la desigualdad se invierte (cambia de

<

a

>

). Por lo tanto,

ac > bc

.

Bloom: Apply

En una ferretería del Rímac, el precio de un martillo es de S/ 25 y el de un juego de destornilladores es de S/ 40.

Juan tiene S/ 200 y decide comprar exactamente un juego de destornilladores. ¿Cuál es la cantidad máxima de martillos que puede comprar con el dinero restante?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) 6 martillos

A) 5 martillosIncorrecto. Al comprar el juego de destornilladores le quedan S/ 160. Al dividir $160 / 25$ resulta $6.4$ , por lo que puede comprar más de 5.
B) 7 martillosIncorrecto. 7 martillos costarían $25 \times 7 = 175$ , lo cual excede el presupuesto restante de S/ 160.
C) 8 martillosIncorrecto. Excede significativamente el presupuesto disponible.
D) 6 martillosCorrecto. Juan gasta $200 - 40 = 160$ . La inecuación es $25x \le 160$ , lo cual da $x \le 6.4$ . El máximo entero es 6.

💡 Explicación

Se plantea la inecuación lineal

25x + 40 \le 200

. Al restar 40 obtenemos

25x \le 160

. Al dividir entre 25 resulta

x \le 6.4

. Dado que la cantidad de objetos debe ser un número entero, el valor máximo es 6.

Bloom: Understand

Un grupo de estudio preuniversitario en la ciudad de Trujillo analiza el conjunto solución de una inecuación de primer grado.

Determine el conjunto solución de la siguiente inecuación lineal:

3(x - 2) \ge 5x + 4

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $x \in \langle-\infty, -5]$

A) $x \in [5, +\infty\rangle$ Incorrecto. Error en la transposición de términos y en la dirección final del intervalo.
B) $x \in \langle-\infty, -5]$ Correcto. Resolviendo: $3x - 6 \ge 5x + 4 \Rightarrow -6 - 4 \ge 5x - 3x \Rightarrow -10 \ge 2x \Rightarrow -5 \ge x$ .
C) $x \in \langle-\infty, 5]$ Incorrecto. El valor numérico es correcto (5), pero el signo debería ser negativo (-5).
D) $x \in [-5, +\infty\rangle$ Incorrecto. Representa los números mayores que -5, cuando el despeje indica que deben ser menores.

💡 Explicación

Aplicamos la propiedad distributiva:

3x - 6 \ge 5x + 4

. Agrupamos términos semejantes:

-10 \ge 2x

. Al dividir por 2, obtenemos

-5 \ge x

, que equivale a

x \le -5

. En notación de intervalo, esto es

\langle-\infty, -5]

.

Bloom: Apply

Un taxista en Arequipa evalúa sus costos operativos. Sus gastos fijos (gasolina y mantenimiento) ascienden a S/ 60 por día de trabajo.

Si el ingreso promedio por cada carrera realizada es de S/ 12, ¿cuántas carreras como mínimo debe realizar al día para que su ganancia neta diaria sea estrictamente mayor a S/ 100?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) Al menos 14 carreras

A) Al menos 13 carrerasIncorrecto. Con 13 carreras la ganancia es $12(13) - 60 = 96$ , que no es mayor a 100.
B) Al menos 15 carrerasIncorrecto. Aunque con 15 carreras cumple la condición, no es la cantidad mínima necesaria.
C) Al menos 14 carrerasCorrecto. Planteamos $12n - 60 > 100 \Rightarrow 12n > 160 \Rightarrow n > 13.33$ . El mínimo entero superior es 14.
D) Al menos 12 carrerasIncorrecto. Con 12 carreras la ganancia neta sería de apenas S/ 84.

💡 Explicación

Definimos

n

como el número de carreras. La ganancia neta es Ingresos menos Gastos:

12n - 60

. La inecuación es

12n - 60 > 100

. Al resolver,

n > 13.33

. Dado que

n

es entero, el mínimo es 14.

Bloom: Analyze

Un analista financiero en una cooperativa de Chiclayo estudia el comportamiento de una tasa de interés variable simplificada mediante una inecuación.

Determine el conjunto solución de la inecuación:

\frac{2x - 3}{4} < \frac{x + 1}{2}

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x \in \mathbb{R}$

A) $x \in \mathbb{R}$ Correcto. Multiplicando por 4: $2x - 3 < 2(x + 1) \Rightarrow 2x - 3 < 2x + 2 \Rightarrow -3 < 2$ . Como esto es siempre cierto, la solución es todo $\mathbb{R}$ .
B) $x \in \langle-\infty, 5\rangle$ Incorrecto. Revise el despeje, la variable $x$ se elimina en el proceso.
C) $x \in \langle 5, +\infty\rangle$ Incorrecto. La inecuación no depende del valor de $x$ tras simplificarla.
D) $\emptyset$ (Conjunto vacío)Incorrecto. La desigualdad resultante es verdadera, por lo que existen soluciones.

💡 Explicación

Al resolver la inecuación, multiplicamos ambos lados por el MCM (4):

2x - 3 < 2x + 2

. Al restar

2x

en ambos miembros, llegamos a

-3 < 2

. Como esta afirmación es una verdad matemática independiente de

x

, el conjunto solución es el de los números reales.

Bloom: Apply

Un arquitecto diseña un parque recreativo en la ciudad de Huancayo y necesita delimitar una zona rectangular de juegos.

El largo de la zona de juegos debe ser exactamente 10 metros más que el ancho. Si el presupuesto para la valla permite cubrir un perímetro máximo de 100 metros, ¿cuál es el rango de valores posibles para el ancho (

x

)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $0 < x \le 20$

A) $0 < x \le 20$ Correcto. Perímetro: $2(x + x + 10) \le 100 \Rightarrow 4x + 20 \le 100 \Rightarrow 4x \le 80 \Rightarrow x \le 20$ . Como es una medida, $x > 0$ .
B) $x \le 40$ Incorrecto. No consideró que el perímetro involucra dos veces el largo y dos veces el ancho.
C) $x \le 25$ Incorrecto. Con un ancho de 25, el largo sería 35 y el perímetro 120.
D) $10 \le x \le 20$ Incorrecto. No hay restricción que obligue al ancho a ser mayor o igual a 10.

💡 Explicación

Sea

x

el ancho y

x+10

el largo. El perímetro es

2(x + x + 10) = 4x + 20

. Establecemos la inecuación

4x + 20 \le 100

. Al resolver,

x \le 20

. Al ser una dimensión física, debe cumplirse

x > 0

.

Bloom: Analyze

Un sistema de control de temperatura en una planta industrial de Piura debe mantenerse dentro de ciertos límites operativos.

Determine el intervalo solución del siguiente sistema de inecuaciones:

\begin{cases} 2x - 5 > 3 \\ 3x + 2 < 20 \end{cases}

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $\langle 4, 6 \rangle$

A) $[4, 6]$ Incorrecto. Las desigualdades son estrictas ( $>$ y $<$ ); no deben incluir los extremos.
B) $\langle 4, 6 \rangle$ Correcto. De la primera: $2x > 8 \Rightarrow x > 4$ . De la segunda: $3x < 18 \Rightarrow x < 6$ . La intersección es el intervalo abierto entre 4 y 6.
C) $\langle-\infty, 4\rangle \cup \langle 6, +\infty\rangle$ Incorrecto. Representa la unión de los exteriores de los intervalos, no su intersección común.
D) $\langle 3, 5 \rangle$ Incorrecto. Error en el despeje aritmético de las constantes.

💡 Explicación

Se resuelven ambas inecuaciones independientemente. La primera da

x > 4

y la segunda

x < 6

. El sistema busca los valores que cumplen ambas condiciones simultáneamente, lo que corresponde a la intersección:

\langle 4, 6 \rangle

.

Bloom: Apply

Un estudiante compara dos planes de internet móvil en Lima. El Plan "Básico" cuesta S/ 30 fijos más S/ 0.50 por GB adicional. El Plan "Plus" cuesta S/ 45 fijos con GB ilimitados (considerando el uso extra en el primer plan).

¿A partir de cuántos GB adicionales consumidos al mes resulta más económico contratar el Plan "Plus" que mantener el Plan "Básico"?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) Más de 30 GB

A) Más de 15 GBIncorrecto. A los 15 GB el costo del Plan Básico es $30 + 0.5(15) = 37.5$ , aún más barato que 45.
B) Más de 30 GBCorrecto. Planteamos $30 + 0.50x > 45 \Rightarrow 0.50x > 15 \Rightarrow x > 30$ .
C) Más de 20 GBIncorrecto. A los 20 GB el costo es $30 + 10 = 40$ .
D) Más de 45 GBIncorrecto. El punto de ahorro se alcanza antes de este consumo.

💡 Explicación

Queremos saber cuándo

Costo_{Plus} < Costo_{Basico}

, es decir

45 < 30 + 0.50x

. Al restar 30 obtenemos

15 < 0.50x

. Al dividir por 0.50 resulta

30 < x

. Por lo tanto, con más de 30 GB adicionales conviene el Plan Plus.

Bloom: Understand

Introducción al estudio de inecuaciones con valor absoluto en el marco del CNEB (Competencia: Resuelve problemas de regularidad).

Determine el conjunto solución de la inecuación con valor absoluto:

|x - 5| \le 3

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $x \in [2, 8]$

A) $x \in \langle 2, 8 \rangle$ Incorrecto. La desigualdad es "menor o igual", por lo que el intervalo debe ser cerrado.
B) $x \in [-8, -2]$ Incorrecto. Error en la aplicación de los signos al eliminar las barras de valor absoluto.
C) $x \in [2, 8]$ Correcto. Por propiedad: $-3 \le x - 5 \le 3$ . Sumando 5 en todos los lados obtenemos $2 \le x \le 8$ .
D) $x \in \langle-\infty, 2] \cup [8, +\infty\rangle$ Incorrecto. Este sería el resultado si la desigualdad original fuera "mayor o igual".

💡 Explicación

La propiedad

|x - a| \le b

equivale a la inecuación doble

-b \le x - a \le b

. Aquí,

-3 \le x - 5 \le 3

. Al sumar 5 a cada miembro se obtiene

2 \le x \le 8

. Al ser una desigualdad no estricta, se incluyen los extremos.

Bloom: Apply

Un tanque de agua en una comunidad altoandina de Puno se llena mediante un canal. El nivel actual es de 800 litros y el canal aporta 40 litros por hora.

Si se requiere que el volumen de agua en el tanque esté en el rango de 1400 a 2000 litros inclusive para realizar labores de riego, ¿durante cuántas horas (

h

) debe permanecer abierto el canal?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) De 15 a 30 horas

A) De 15 a 30 horasCorrecto. Inecuación: $1400 \le 800 + 40h \le 2000$ . Restando 800: $600 \le 40h \le 1200$ . Dividiendo por 40: $15 \le h \le 30$ .
B) De 10 a 20 horasIncorrecto. Error en la resta del volumen inicial.
C) De 20 a 45 horasIncorrecto. El límite superior excedería la capacidad deseada.
D) De 12 a 25 horasIncorrecto. Cálculos inconsistentes con los datos del problema.

💡 Explicación

Planteamos la inecuación doble basada en el volumen deseado:

1400 \le 800 + 40h \le 2000

. Primero restamos el volumen inicial (800) en todos los miembros, y luego dividimos por la tasa de flujo (40) para hallar el intervalo de tiempo.

Bloom: Analyze

Análisis de inecuaciones racionales que pueden reducirse a lineales mediante análisis de signos, típico en el prospecto de admisión UNMSM.

Determine el conjunto solución de la inecuación:

\frac{x + 3}{x - 4} \le 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $[-3, 4\rangle$

A) $[-3, 4]$ Incorrecto. El valor $x = 4$ hace que el denominador sea cero, por lo que no puede incluirse en la solución.
B) $[-3, 4\rangle$ Correcto. Puntos críticos: -3 y 4. El cociente es negativo o cero entre ellos. El 4 debe ser abierto por estar en el denominador.
C) $\langle -3, 4 \rangle$ Incorrecto. El valor $x = -3$ hace que la fracción sea cero, cumpliendo con la condición $\le 0$ .
D) $\langle-\infty, -3] \cup \langle 4, +\infty\rangle$ Incorrecto. Este intervalo corresponde a los valores donde la fracción es positiva o nula.

💡 Explicación

Identificamos los puntos críticos (donde el numerador o denominador son cero):

x = -3

y

x = 4

. Al probar valores en los intervalos, vemos que la expresión es negativa en

\langle -3, 4 \rangle

y cero en

x = -3

. El valor

x = 4

se excluye para evitar la división por cero.

Bloom: Apply

Un pequeño productor de pisco en Ica tiene costos de producción de S/ 20 por botella y costos fijos mensuales de S/ 3000.

Si cada botella se vende a S/ 50, ¿cuál es el número mínimo de botellas que debe vender al mes para que su utilidad neta sea superior a S/ 5000?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 267 botellas

A) 267 botellasCorrecto. Utilidad = $50x - (20x + 3000) = 30x - 3000$ . Planteamos $30x - 3000 > 5000 \Rightarrow 30x > 8000 \Rightarrow x > 266.66$ . Mínimo 267.
B) 266 botellasIncorrecto. Con este número la utilidad es exactamente 4980.
C) 167 botellasIncorrecto. Olvidó sumar los costos fijos al calcular la meta de ingresos.
D) 400 botellasIncorrecto. Aunque cumple la condición, no es el número mínimo requerido.

💡 Explicación

La utilidad se calcula como

Ingresos - Costos

. Sea

x

el número de botellas:

50x - (20x + 3000) > 5000

. Simplificando,

30x > 8000

. Al dividir, obtenemos

x > 266.66

. El primer número entero que cumple la condición es 267.

Bloom: Apply

Problema de razonamiento matemático sobre edades con desigualdades, frecuente en exámenes de ingreso a universidades peruanas.

La edad de un estudiante de secundaria es tal que, si se le suma 8, el resultado es mayor que el triple de su edad disminuida en 20. Además, su edad actual es menor de 15 años. ¿Cuál es la máxima edad entera posible del estudiante?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 13 años

A) 14 añosIncorrecto. Satisface la segunda condición pero hay que verificar la primera. $14+8=22$ , $3(14)-20=22$ . No es estrictamente mayor.
B) 12 añosIncorrecto. No es la máxima edad posible.
C) 13 añosCorrecto. Inecuación: $x + 8 > 3x - 20 \Rightarrow 28 > 2x \Rightarrow 14 > x$ . Como es menor que 14, la máxima edad entera es 13.
D) 15 añosIncorrecto. Contradice la premisa de ser menor de 15 años y la inecuación resultante.

💡 Explicación

Traducimos el enunciado:

x + 8 > 3x - 20

. Al agrupar términos obtenemos

28 > 2x

, lo cual simplifica a

14 > x

. Esto significa que el estudiante tiene 13 años o menos. La máxima edad entera que satisface esto es 13.

Bloom: Analyze

Preparación avanzada para el examen de admisión de la UNI, analizando desigualdades con valor absoluto en ambos miembros.

Resuelva la inecuación:

|x - 2| \le |2x + 1|

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $x \in \langle-\infty, -3] \cup [1/3, +\infty\rangle$

A) $x \in [-3, 1/3]$ Incorrecto. Este es el intervalo donde la desigualdad no se cumple.
B) $x \in [-3, +\infty\rangle$ Incorrecto. Falta la rama negativa de la solución.
C) $x \in [-1/3, 3]$ Incorrecto. Error en el cálculo de las raíces de la cuadrática auxiliar.
D) $x \in \langle-\infty, -3] \cup [1/3, +\infty\rangle$ Correcto. Elevando al cuadrado: $(x-2)^2 \le (2x+1)^2 \Rightarrow x^2-4x+4 \le 4x^2+4x+1 \Rightarrow 0 \le 3x^2+8x-3$ . Raíces: -3 y 1/3. El intervalo es el exterior.

💡 Explicación

Al tener valores absolutos en ambos miembros, elevamos al cuadrado:

(x-2)^2 \le (2x+1)^2

. Resolvemos la inecuación cuadrática resultante

3x^2 + 8x - 3 \ge 0

. Mediante el método de puntos críticos hallamos que se cumple para los valores exteriores a las raíces

-3

y

1/3

.

Bloom: Evaluate

Análisis de restricciones en un sistema de inecuaciones con variables enteras, estilo Olimpiada Nacional de Matemática (ONEM).

Determine si existen enteros positivos

x

e

y

que satisfagan el sistema:

\begin{cases} 2x + y < 6 \\ x + 2y > 7 \end{cases}

Si existen, indique el valor de

x + y

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) No existen soluciones en enteros positivos

A) 4Incorrecto. Si $x+y=4$ , probemos $(1,3): 2+3=5 < 6$ y $1+6=7 \ngtr 7$ . No cumple.
B) No existen soluciones en enteros positivosCorrecto. De $2x + y < 6$ , si $x=1 \Rightarrow y < 4$ . Si $y=3 \Rightarrow 1+6=7 \ngtr 7$ . Si $y=2 \Rightarrow 1+4=5 \ngtr 7$ . Si $y=1 \Rightarrow 1+2=3 \ngtr 7$ . Si $x=2 \Rightarrow y < 2$ , solo $y=1 \Rightarrow 2+2=4 \ngtr 7$ .
C) 5Incorrecto. Valores tan altos exceden la primera restricción.
D) 3Incorrecto. No hay pares $(x,y)$ que cumplan ambas condiciones.

💡 Explicación

Evaluamos sistemáticamente las posibilidades para enteros positivos. De

2x + y < 6

, si

x=1

,

y

solo puede ser

1, 2

o

3

. Probando en

x + 2y > 7

:

1+2(1)=3

,

1+2(2)=5

,

1+2(3)=7

. Ninguno es mayor que 7. Si

x=2

,

y

solo puede ser 1, y

2+2(1)=4 \ngtr 7

. Por lo tanto, no hay solución.

Bloom: Apply

Problema de mezclas químicas en un laboratorio de la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) en Lima.

Se tienen dos soluciones de ácido: una al 20% y otra al 50%. Se desean mezclar para obtener 12 litros de una solución cuya concentración esté entre el 30% y el 40% inclusive. ¿En qué rango de litros debe estar la cantidad de solución al 50% (

x

)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $[4, 8]$ litros

A) $[4, 8]$ litrosCorrecto. Ácido total: $0.5x + 0.2(12-x) = 0.3x + 2.4$ . Inecuación: $0.3(12) \le 0.3x + 2.4 \le 0.4(12) \Rightarrow 3.6 \le 0.3x + 2.4 \le 4.8 \Rightarrow 1.2 \le 0.3x \le 2.4 \Rightarrow 4 \le x \le 8$ .
B) $[2, 6]$ litrosIncorrecto. Error en el planteamiento de la concentración final.
C) $[5, 7]$ litrosIncorrecto. Intervalo demasiado estrecho.
D) $[3, 9]$ litrosIncorrecto. Los extremos del intervalo no garantizan las concentraciones deseadas.

💡 Explicación

Sea

x

los litros al 50%. Los litros al 20% son

12-x

. La cantidad de ácido puro es

0.50x + 0.20(12-x)

. Planteamos la inecuación doble según los límites del 30% y 40% del volumen total (12 L). Al resolverla para

x

, obtenemos el rango

[4, 8]

.

Bloom: Evaluate

Desafío de inecuaciones con parámetros, común en las preguntas difíciles de los exámenes de admisión de la UNI.

Si el conjunto solución de la inecuación en

x

:

mx + 3 < 2x + n

es el conjunto vacío (

\emptyset

), ¿qué relación debe cumplirse necesariamente entre los parámetros reales

m

y

n

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $m = 2$ y $n \le 3$

A) $m = 2$ y $n \le 3$ Correcto. Si $m=2$ , la inecuación queda $2x + 3 < 2x + n$ , lo cual simplifica a $3 < n$ . Si $n \le 3$ , esta desigualdad es falsa para todo $x$ , por lo que la solución es vacía.
B) $m = 2$ y $n > 3$ Incorrecto. Si $n > 3$ y $m = 2$ , la inecuación $3 < n$ es siempre cierta, por lo que la solución sería $\mathbb{R}$ , no vacío.
C) $m > 2$ y $n = 3$ Incorrecto. Si $m \ne 2$ , siempre habrá un intervalo de solución.
D) $m < 2$ y $n \le 3$ Incorrecto. Si el coeficiente de $x$ no es cero, la recta cruzará el eje y habrá soluciones.

💡 Explicación

Para que una inecuación lineal no tenga solución, la variable

x

debe eliminarse (

m-2 = 0 \Rightarrow m=2

) y la desigualdad numérica resultante debe ser falsa. La inecuación es

3 < n

. Para que sea falsa,

n

debe ser menor o igual a 3.

Bloom: Analyze

Análisis de la suma de soluciones enteras en sistemas acotados.

Determine la suma de todos los valores enteros de

x

que satisfacen el siguiente sistema:

\begin{cases} \frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{2} > 1 \\ \frac{2x-3}{5} \le 1 \end{cases}

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) El conjunto solución no tiene cota inferior (suma divergente)

A) 15Incorrecto. Al resolver el sistema se obtiene un intervalo que no está acotado por debajo.
B) El conjunto solución no tiene cota inferior (suma divergente)Correcto. Al resolver la primera inecuación obtenemos $x < 2$ . La segunda da $x \le 4$ . La intersección de ambas es $x < 2$ , un intervalo abierto hacia el infinito negativo que contiene infinitos enteros.
C) 18Incorrecto. No es posible determinar una suma finita de enteros.
D) 26Incorrecto. El conjunto solución incluye infinitos números negativos.

💡 Explicación

Al simplificar la primera inecuación, multiplicando por el MCM (6), obtenemos

2x + 2 - 3x + 6 > 6

, lo que resulta en

x < 2

. La segunda inecuación resulta en

x \le 4

. La solución común es

x < 2

, un intervalo abierto hacia el infinito negativo.

Bloom: Analyze

Un artesano de Ayacucho fabrica retablos. El tiempo de tallado y pintura para los modelos A y B genera un sistema de restricciones.

Sea

x

la cantidad de retablos tipo A e

y

de tipo B. Se cumplen las restricciones:

3x + 2y \le 24

x + 2y \le 16

x + y \ge 10

Si

x, y

son enteros positivos, ¿cuántas parejas

(x, y)

diferentes cumplen con todas las condiciones?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) Solo una pareja

A) Dos parejasIncorrecto. Solo existe una combinación de enteros positivos que satisface el sistema.
B) Tres parejasIncorrecto. El área factible con coordenadas enteras es extremadamente reducida.
C) Ninguna parejaIncorrecto. El par $(4, 6)$ es una solución válida para el sistema propuesto.
D) Solo una parejaCorrecto. Probando valores enteros que satisfagan $x + y \ge 10$ y las restricciones de tiempo: el par $(4, 6)$ cumple ( $12+12=24$ y $4+12=16$ ). Para $y=5$ , $x \ge 5$ pero $3(5)+2(5)=25 > 24$ . Para $y=7$ , $x \ge 3$ pero $x \le 16-14=2$ . La única solución es $(4, 6)$ .

💡 Explicación

Se trata de un problema de programación lineal entera. Al graficar las inecuaciones y buscar puntos con coordenadas enteras dentro de la región de intersección, encontramos las soluciones válidas que respetan la disponibilidad de tiempo y la meta de producción.

Bloom: Evaluate

Análisis del rango de una función racional mediante el uso de desigualdades cuadráticas auxiliares, nivel examen UNI.

Determine el valor máximo que puede tomar la expresión

f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 + x + 1}

para cualquier valor real de

x

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 2

A) 2Correcto. Sea $y = \frac{x^2+1}{x^2+x+1} \Rightarrow (y-1)x^2 + yx + (y-1) = 0$ . Para $x \in \mathbb{R}$ , $\Delta = y^2 - 4(y-1)^2 \ge 0 \Rightarrow (y - 2y + 2)(y + 2y - 2) \ge 0 \Rightarrow (2-y)(3y-2) \ge 0$ . Esto ocurre si $2/3 \le y \le 2$ . El máximo es 2.
B) 1Incorrecto. Para $x=-1$ , $f(-1) = 2/1 = 2$ , por lo que el máximo es al menos 2.
C) 4/3Incorrecto. Este es un valor dentro del rango, pero no es el valor máximo.
D) 3Incorrecto. La función está acotada superiormente por 2.

💡 Explicación

Igualamos la función a

y

y reordenamos como una ecuación cuadrática en

x

. Para que

x

sea real, el discriminante debe ser no negativo (

\Delta \ge 0

). Esto resulta en una inecuación cuadrática en términos de

y

:

-3y^2 + 8y - 4 \ge 0

, cuyas raíces son

2/3

y

2

. El valor máximo de

y

es 2.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?