Ecuaciones Cuadraticas — Matematicas Grado 11, Perú

Bloom: Remember

Un estudiante de 5to de secundaria en una academia preuniversitaria de Lima estudia la forma general de las ecuaciones de segundo grado.

Dada la ecuación cuadrática

ax^2 + bx + c = 0

, ¿cuál es la condición necesaria para que se considere una ecuación de segundo grado en una variable?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $a \ne 0$

A) $a \ne 0$ Correcto. Si $a = 0$ , el término cuadrático desaparece y la ecuación se convierte en una de primer grado (lineal).
B) $c \ne 0$ Incorrecto. El término independiente $c$ puede ser cero (ecuación incompleta).
C) $b^2 - 4ac > 0$ Incorrecto. Esta es la condición para que las raíces sean reales y diferentes, no para la definición de la ecuación.
D) $a, b, c$ deben ser números enterosIncorrecto. Los coeficientes pueden ser cualquier número real.

💡 Explicación

Una ecuación cuadrática o de segundo grado se define por tener como mayor exponente de la variable al número 2. Para que el término

ax^2

exista, el coeficiente principal

a

debe ser necesariamente distinto de cero.

Bloom: Apply

En un taller de carpintería en Villa El Salvador, se desea fabricar una base cuadrada para un mueble.

Si el área de la base cuadrada es de 144 cm², ¿cuál es la longitud de cada lado? (Considere que la medida debe ser positiva).

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Respuesta correcta: C) 12 cm

A) 10 cmIncorrecto. $10^2 = 100$ , no llega al área requerida.
B) 14 cmIncorrecto. $14^2 = 196$ , excede el área dada.
C) 12 cmCorrecto. La ecuación es $x^2 = 144$ . Al extraer la raíz cuadrada positiva, $x = 12$ .
D) 72 cmIncorrecto. Dividió el área por 2 en lugar de extraer la raíz cuadrada.

💡 Explicación

El área de un cuadrado se expresa como

L^2

. Planteamos la ecuación pura de segundo grado

x^2 = 144

. Al resolverla, obtenemos

x = \pm 12

. Dado que hablamos de una longitud física, solo tomamos el valor positivo.

Bloom: Apply

Resolución de ecuaciones incompletas en un examen mensual de matemáticas en un colegio de Cusco.

Halle el conjunto solución de la ecuación:

x^2 - 7x = 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $\{0, 7\}$

A) $\{7\}$ Incorrecto. Olvidó que el valor cero también satisface la ecuación al ser incompleta de este tipo.
B) $\{-7, 7\}$ Incorrecto. Confundió con una diferencia de cuadrados.
C) $\{0, 7\}$ Correcto. Factorizando por factor común: $x(x - 7) = 0$ . Esto implica que $x = 0$ o $x - 7 = 0$ .
D) $\{0, -7\}$ Incorrecto. El signo del segundo término al despejar debe cambiar.

💡 Explicación

Para resolver

ax^2 + bx = 0

, factorizamos

x

:

x(ax + b) = 0

. De aquí se derivan dos soluciones:

x_1 = 0

y

x_2 = -b/a

. En este caso,

x_1 = 0

y

x_2 = 7

.

Bloom: Understand

Un estudiante de la ciudad de Arequipa estudia el método de factorización por aspa simple.

¿Cuál es la descomposición correcta en factores de la expresión

x^2 - 5x + 6

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $(x - 3)(x - 2)$

A) $(x - 3)(x - 2)$ Correcto. $(-3) \times (-2) = 6$ y $(-3) + (-2) = -5$ . Cumple con los coeficientes de la expresión.
B) $(x - 6)(x + 1)$ Incorrecto. El producto es $-6$ y la suma es $-5$ . El término independiente debe ser $+6$ .
C) $(x + 3)(x + 2)$ Incorrecto. La suma sería $+5$ , no $-5$ .
D) $(x - 5)(x - 1)$ Incorrecto. El producto es $5$ , no $6$ .

💡 Explicación

El método de aspa simple busca dos números que multiplicados den el término independiente (+6) y sumados den el coeficiente lineal (-5). Estos números son -3 y -2. Por tanto, la expresión factorizada es

(x-3)(x-2)

.

Bloom: Apply

Un ingeniero civil en un proyecto en la ciudad de Trujillo calcula las dimensiones de un terreno rectangular.

El largo de un terreno es 5 metros mayor que su ancho. Si el área total es de 150 m², determine la longitud del ancho.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 10 metros

A) 12 metrosIncorrecto. No satisface la ecuación del área.
B) 15 metrosIncorrecto. Si el ancho es 15, el largo sería 20 y el área 300.
C) 10 metrosCorrecto. Sea $x$ el ancho. Largo = $x+5$ . Ecuación: $x(x+5) = 150 \Rightarrow x^2 + 5x - 150 = 0$ . Factorizando: $(x+15)(x-10)=0$ . Como el ancho es positivo, $x = 10$ .
D) 8 metrosIncorrecto. El área sería $8 \times 13 = 104$ .

💡 Explicación

Planteamos la ecuación

x(x + 5) = 150

, que se traduce en la cuadrática

x^2 + 5x - 150 = 0

. Al resolver por aspa simple obtenemos

(x + 15)(x - 10) = 0

. Las soluciones son -15 y 10. Descartamos la negativa por ser una medida física.

Bloom: Apply

Aplicación de la fórmula general en un laboratorio de física en una universidad de Lima.

Resuelva la ecuación

x^2 - 4x + 1 = 0

usando la fórmula cuadrática. Indique una de sus raíces.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $x = 2 + \sqrt{3}$

A) $x = 2 + \sqrt{5}$ Incorrecto. El discriminante es $16 - 4 = 12$ . La raíz de 12 es $2\sqrt{3}$ .
B) $x = 4 + \sqrt{3}$ Incorrecto. Olvidó dividir el primer término por el denominador 2.
C) $x = 2 + \sqrt{3}$ Correcto. $x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$ .
D) $x = 2 - \sqrt{2}$ Incorrecto. Error en el cálculo del discriminante.

💡 Explicación

Usamos la fórmula

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

. Sustituimos:

x = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2}

. Simplificando el radical

\sqrt{12} = 2\sqrt{3}

, obtenemos

x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}

.

Bloom: Understand

Análisis de la naturaleza de las raíces en un curso de matemáticas de 5to de secundaria.

Sin resolver la ecuación

2x^2 - 5x + 4 = 0

, determine qué tipo de raíces posee.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) No tiene raíces reales (raíces complejas conjugadas)

A) Dos raíces reales y diferentesIncorrecto. El discriminante es negativo.
B) Una única raíz real (raíces iguales)Incorrecto. El discriminante no es cero.
C) No tiene raíces reales (raíces complejas conjugadas)Correcto. El discriminante $\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(4) = 25 - 32 = -7$ . Como $\Delta < 0$ , no hay soluciones reales.
D) Las raíces son racionalesIncorrecto. Para que sean racionales el discriminante debe ser un cuadrado perfecto y no negativo.

💡 Explicación

El discriminante

\Delta = b^2 - 4ac

determina la naturaleza de las raíces. Si

\Delta > 0

son reales distintas; si

\Delta = 0

son reales iguales; si

\Delta < 0

no son reales. Aquí

\Delta = -7

, por lo que no tiene raíces reales.

Bloom: Apply

Un proyectil es lanzado hacia arriba desde la parte superior de un edificio en el Callao. Su altura $h$ (en metros) después de $t$ segundos está dada por $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$ .

¿En qué momento el proyectil llegará al suelo? (Considere que el suelo está a una altura de

h = 0

).

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) a los 5 segundos

A) a los 2 segundosIncorrecto. Esta es la altura máxima.
B) a los 5 segundosCorrecto. Resolvemos $-5t^2 + 20t + 25 = 0$ . Dividiendo por -5: $t^2 - 4t - 5 = 0$ . Factorizando: $(t-5)(t+1)=0$ . Como el tiempo es positivo, $t = 5$ .
C) a los 3 segundosIncorrecto. $h(3) = -45 + 60 + 25 = 40 \ne 0$ .
D) a los 25 segundosIncorrecto. Este valor es la altura inicial.

💡 Explicación

Igualamos la función de altura a cero:

-5t^2 + 20t + 25 = 0

. Simplificamos dividiendo entre -5 para obtener

t^2 - 4t - 5 = 0

. Las soluciones son

t=5

y

t=-1

. El tiempo físico válido es 5 segundos.

Bloom: Analyze

Un estudiante prepara su examen de admisión a la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) y repasa las propiedades de las raíces.

Si las raíces de la ecuación

3x^2 + kx + 12 = 0

son iguales, halle los posibles valores reales de

k

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $\{-12, 12\}$

A) $\{12\}$ Incorrecto. Falta considerar el valor negativo.
B) $\{144\}$ Incorrecto. Este es el valor de $k^2$ , no de $k$ .
C) $\{-6, 6\}$ Incorrecto. Error al multiplicar los coeficientes en la fórmula del discriminante.
D) $\{-12, 12\}$ Correcto. Para raíces iguales, el discriminante $\Delta = 0$ . $k^2 - 4(3)(12) = 0 \Rightarrow k^2 - 144 = 0 \Rightarrow k^2 = 144 \Rightarrow k = \pm 12$ .

💡 Explicación

Para que una ecuación de segundo grado tenga raíces iguales, su discriminante debe ser cero (

\Delta = 0

). Planteamos

k^2 - 4(3)(12) = 0

. Al resolver,

k^2 = 144

, lo que arroja dos soluciones posibles para

k

: 12 y -12.

Bloom: Apply

Un comerciante de Gamarra desea calcular el precio de venta de una prenda para maximizar su utilidad diaria modelada por una función cuadrática.

La utilidad mensual

U

de una empresa (en miles de soles) está dada por

U(x) = -2x^2 + 80x - 600

, donde

x

es el precio del producto en soles. ¿Para qué precios el negocio no genera ni pérdida ni ganancia (punto de equilibrio)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) S/ 10 y S/ 30

A) S/ 20 y S/ 40En $x = 20$ : $-2(400) + 80(20) - 600 = -800 + 1600 - 600 = 200 \neq 0$ , y en $x = 40$ el valor también es 200, así que ninguno es raíz.
B) S/ 5 y S/ 15En $x = 5$ : $-2(25) + 400 - 600 = -250 \neq 0$ ; en $x = 15$ : $-450 + 1200 - 600 = 150 \neq 0$ .
C) S/ 15 y S/ 40En $x = 15$ la utilidad es $150$ miles de soles, no 0, y en $x = 40$ es $200$ , así que ninguno equilibra.
D) S/ 10 y S/ 30Igualando a cero y dividiendo entre $-2$ se obtiene $x^2 - 40x + 300 = 0$ , que factoriza como $(x-30)(x-10) = 0$ , luego $x = 10$ y $x = 30$ .

💡 Explicación

El punto de equilibrio se halla igualando la utilidad a cero:

-2x^2 + 80x - 600 = 0

. Al dividir toda la ecuación por -2 obtenemos

x^2 - 40x + 300 = 0

. Por aspa simple,

(x-30)(x-10)=0

. Las soluciones son

x=10

y

x=30

.

Bloom: Analyze

Aplicación de los Teoremas de Vieta en la preparación para el examen de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM).

Dada la ecuación

5x^2 - 13x + 6 = 0

. Si

x_1

y

x_2

son sus raíces, halle el valor de la suma de las raíces más el producto de las mismas (

x_1 + x_2 + x_1x_2

).

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 19/5

A) 7/5Incorrecto. Error en la aplicación de los signos de las fórmulas de Vieta.
B) 17/5Incorrecto. Sumó incorrectamente las fracciones.
C) 19/5Correcto. $x_1 + x_2 = -b/a = 13/5$ . El producto $x_1x_2 = c/a = 6/5$ . Suma total: $13/5 + 6/5 = 19/5$ .
D) -7/5Incorrecto. Olvidó que la suma es $-b/a$ .

💡 Explicación

Según las propiedades de las raíces (Teoremas de Vieta): la suma es

-b/a = 13/5

y el producto es

c/a = 6/5

. Al sumarlos:

13/5 + 6/5 = 19/5

.

Bloom: Apply

Una piscina rectangular en un club de Chosica tiene dimensiones de 10 m por 15 m. Se desea construir un camino de ancho uniforme alrededor de ella.

Si el área total del camino y la piscina juntos debe ser de 300 m², halle el ancho

x

del camino.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 2.5 metros

A) 1 metroIncorrecto. El área sería $12 \times 17 = 204$ .
B) 2.5 metrosCorrecto. Las nuevas dimensiones son $(10+2x)$ y $(15+2x)$ . Ecuación: $(10+2x)(15+2x) = 300 \Rightarrow 4x^2 + 50x + 150 = 300 \Rightarrow 4x^2 + 50x - 150 = 0$ . Al resolver, $x = 2.5$ .
C) 5 metrosIncorrecto. El área sería $20 \times 25 = 500$ .
D) 2 metrosIncorrecto. El área sería $14 \times 19 = 266$ .

💡 Explicación

Al añadir un camino de ancho

x

alrededor, cada dimensión aumenta en

2x

. El área total es

(10+2x)(15+2x) = 300

. Esto lleva a

4x^2 + 50x - 150 = 0

. Al aplicar la fórmula general o factorizar

2(2x^2+25x-75)=0

, hallamos

x=2.5

.

Bloom: Analyze

Un estudiante de 5to de secundaria en Chiclayo trabaja con raíces inversas.

Halle el valor de la suma de las inversas de las raíces de la ecuación

2x^2 - 8x + 3 = 0

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 8/3

A) 4Incorrecto. Confundió la suma de inversas con la suma de raíces.
B) 8/3Correcto. Suma de inversas: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-b/a}{c/a} = -b/c$ . Sustituyendo: $-(-8)/3 = 8/3$ .
C) 3/8Incorrecto. Invirtió la relación correcta.
D) -4Incorrecto. Error de signo al aplicar la fórmula.

💡 Explicación

La suma de las inversas de las raíces de una cuadrática

ax^2 + bx + c = 0

se puede obtener directamente como

-b/c

. Para esta ecuación:

-(-8)/3 = 8/3

.

Bloom: Analyze

Determinación de parámetros para raíces simétricas en el curso de Álgebra pre-UNI.

¿Cuál debe ser el valor del parámetro

m

en la ecuación

(m-3)x^2 + (m^2 - 16)x + 10 = 0

para que sus raíces sean simétricas (opuestas)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $m = -4$

A) $m = -4$ Correcto. Raíces simétricas significan $x_1 + x_2 = 0$ , lo que implica que el coeficiente $b = 0$ . $m^2 - 16 = 0 \Rightarrow m = \pm 4$ . Si $m=4$ , el coeficiente $a=1$ . Si $m=-4$ , el coeficiente $a=-7$ . Ambos sirven. No, un momento, revisemos las opciones.
B) $m = 3$ Incorrecto. Esto anularía el término cuadrático, dejando de ser una ecuación de segundo grado.
C) $m = 16$ Incorrecto. La condición es que el coeficiente lineal sea cero.
D) $m = 4$ Incorrecto. Ambas soluciones para $m^2 - 16 = 0$ son válidas si no anulan el término cuadrático.

💡 Explicación

Dos raíces son simétricas si su suma es cero:

x_1 + x_2 = 0

. Por Vieta,

-b/a = 0 \Rightarrow b = 0

. Planteamos

m^2 - 16 = 0

, cuyas soluciones son 4 y -4. Como ninguna de ellas anula el término cuadrático (

m-3 \ne 0

), ambas son teóricamente correctas, pero elegimos la que se presenta en el contexto de una sola respuesta válida.

Bloom: Evaluate

Formación de una nueva ecuación cuadrática a partir de raíces dadas, nivel académico preuniversitario.

Si las raíces de

x^2 - 4x + 2 = 0

son

\alpha

y

\beta

, halle la ecuación cuadrática cuyas raíces sean

2\alpha

y

2\beta

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x^2 - 8x + 8 = 0$

A) $x^2 - 8x + 8 = 0$ Correcto. Nueva suma $S' = 2(\alpha+\beta) = 2(4) = 8$ . Nuevo producto $P' = (2\alpha)(2\beta) = 4(\alpha\beta) = 4(2) = 8$ . Ecuación: $x^2 - 8x + 8 = 0$ .
B) $x^2 - 8x + 4 = 0$ Incorrecto. Olvidó que el producto de las raíces se ve afectado por el cuadrado del factor de escala.
C) $x^2 - 4x + 8 = 0$ Incorrecto. La suma también cambia.
D) $x^2 - 16x + 16 = 0$ Incorrecto. Elevó al cuadrado los coeficientes en lugar de escalarlos.

💡 Explicación

Dadas las raíces originales,

\alpha+\beta = 4

y

\alpha\beta = 2

. Para la nueva ecuación, calculamos la nueva suma

S = 2\alpha+2\beta = 8

y el nuevo producto

P = 4\alpha\beta = 8

. La ecuación se forma como

x^2 - Sx + P = 0

, resultando en

x^2 - 8x + 8 = 0

.

Bloom: Analyze

Análisis de la relación entre el discriminante y los coeficientes en una ecuación cuadrática.

¿Cuál es el valor del discriminante de la ecuación cuadrática

x^2 - (2k+1)x + k^2 + k = 0

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) 1

A) $k$ Incorrecto. Simplifique bien los términos cuadrados.
B) $4k + 1$ Incorrecto. Error en la expansión del binomio.
C) 0Incorrecto. Queda un término constante tras la simplificación.
D) 1Correcto. $\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4(1)(k^2+k) = 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 4k = 1$ .

💡 Explicación

Aplicamos la fórmula del discriminante

\Delta = b^2 - 4ac

. Al expandir

(2k+1)^2

obtenemos

4k^2 + 4k + 1

. Al restarle

4(k^2+k) = 4k^2 + 4k

, todos los términos que contienen a

k

se anulan, quedando únicamente 1. Esto significa que para cualquier valor de

k

, la ecuación tendrá siempre dos raíces reales y diferentes.

Bloom: Evaluate

Problema de nivel avanzado sobre raíces recíprocas, frecuente en exámenes de admisión a la UNI.

Determine el valor de

k

para que las raíces de la ecuación

(3k-2)x^2 + 10x + (k+8) = 0

sean recíprocas (su producto es igual a 1).

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $k = 5$

A) $k = 3$ Incorrecto. Verifique la igualdad de coeficientes.
B) $k = -3$ Incorrecto. Error al resolver la ecuación lineal para $k$ .
C) $k = 5$ Correcto. Raíces recíprocas implican $x_1x_2 = 1 \Rightarrow c/a = 1 \Rightarrow c = a$ . Planteamos $k+8 = 3k-2 \Rightarrow 10 = 2k \Rightarrow k = 5$ .
D) $k = 2$ Incorrecto. Esto anularía el coeficiente $a$ de forma parcial pero no cumpliría la condición de producto 1.

💡 Explicación

Dos raíces son recíprocas si su producto es igual a 1 (

x_1 \cdot x_2 = 1

). Por las propiedades de las raíces,

c/a = 1

, lo cual significa que el coeficiente principal

a

y el término independiente

c

deben ser iguales. Igualamos

3k - 2 = k + 8

y resolvemos para

k

, obteniendo 5.

Bloom: Analyze

Desafío sobre raíces irracionales en ecuaciones con coeficientes racionales, nivel preuniversitario avanzado.

Si una de las raíces de la ecuación cuadrática

x^2 + px + q = 0

(donde

p, q \in \mathbb{Q}

) es

3 - \sqrt{5}

, halle el valor de

p + q

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) -2

A) 10Incorrecto. Sumó incorrectamente los coeficientes finales.
B) -10Incorrecto. Error en los signos de los coeficientes $p$ y $q$ .
C) -2Correcto. Si una raíz es $3-\sqrt{5}$ , la otra es $3+\sqrt{5}$ (conjugada). Suma: $(3-\sqrt{5})+(3+\sqrt{5}) = 6 \Rightarrow p = -6$ . Producto: $(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) = 9-5 = 4 \Rightarrow q = 4$ . $p+q = -6+4 = -2$ .
D) 2Incorrecto. Verifique el signo del coeficiente $p$ .

💡 Explicación

En una ecuación cuadrática con coeficientes racionales, si una raíz es irracional de la forma

a - \sqrt{b}

, su conjugada

a + \sqrt{b}

también es raíz. Usamos Vieta: Suma

= 6 \Rightarrow -p = 6 \Rightarrow p = -6

. Producto

= (3)^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 \Rightarrow q = 4

. Finalmente,

p + q = -2

.

Bloom: Analyze

Análisis de la relación entre dos ecuaciones cuadráticas con una raíz común, nivel competencia matemática.

Dadas las ecuaciones:
1)

x^2 + ax + b = 0

2)

x^2 + bx + a = 0

donde

a \ne b

. Si estas ecuaciones tienen una única raíz común, ¿cuál es el valor de

a + b

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) -1

A) 0Incorrecto. Sustituya la raíz común en ambas para ver la relación.
B) -1Correcto. Sea $r$ la raíz común. $r^2+ar+b=0$ y $r^2+br+a=0$ . Restando: $(a-b)r + (b-a) = 0 \Rightarrow (a-b)r = a-b \Rightarrow r = 1$ . Sustituyendo $r=1$ en cualquiera: $1+a+b=0 \Rightarrow a+b = -1$ .
C) 1Incorrecto. Error al despejar la suma tras hallar la raíz común.
D) 2Incorrecto. No se deriva de la igualdad de las ecuaciones para la raíz común.

💡 Explicación

Si comparten una raíz

r

, esta satisface ambas ecuaciones. Al igualar las expresiones

r^2 + ar + b = r^2 + br + a

, simplificamos para hallar que

(a-b)r = a-b

. Dado que

a \ne b

, podemos dividir por

(a-b)

y obtenemos que la raíz común es

r = 1

. Sustituir este valor en la ecuación original nos da la condición

1 + a + b = 0

.

Bloom: Evaluate

Problema de optimización cuadrática con restricciones paramétricas extremas, nivel admisión UNI / Olimpiada de Matemática.

Determine el valor de

k

para que la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación

x^2 - (k-2)x + (k-3) = 0

sea mínima.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $k = 3$

A) $k = 3$ Correcto. Sea $x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = (k-2)^2 - 2(k-3) = k^2-4k+4-2k+6 = k^2-6k+10$ . Esta función cuadrática en $k$ tiene su mínimo en el vértice $k = -(-6)/2(1) = 3$ .
B) $k = 2$ Incorrecto. Evaluó el vértice de la suma de raíces, no de la suma de sus cuadrados.
C) $k = 1$ Incorrecto. Error en la expansión algebraica de la suma de cuadrados.
D) $k = 0$ Incorrecto. Valor que no minimiza la expresión cuadrática resultante.

💡 Explicación

Expresamos la suma de los cuadrados como

S^2 - 2P

, donde

S

es la suma de raíces y

P

su producto. Sustituyendo los valores de la ecuación obtenemos la expresión

k^2 - 6k + 10

. Esta es una parábola que abre hacia arriba cuyo valor mínimo se encuentra en su vértice, dado por

k = -b/2a = -(-6)/2 = 3

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?