Tema W12 — Matemáticas Grado 11, Puerto Rico

Bloom: Remember

En Caguas, Camila analiza un problema de modelación matemática para un proyecto de la Escuela Superior José Gautier Benítez.

En una sucesión aritmética, el primer término es

a_1 = 8

y la diferencia común es

d = 5

. ¿Cuál es el valor del décimo término (

a_{10}

) de esta sucesión?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 53

A) 40Incorrecto. Se multiplicó la base de forma errónea.
B) 48Incorrecto. Se multiplicó por $8$ en lugar de $9$ .
C) 53Correcto. Aplicando la fórmula $a_{10} = 8 + 9(5) = 53$ .
D) 58Incorrecto. Se multiplicó por $10$ en lugar de $n-1 = 9$ .

💡 Explicación

La fórmula para el término general es

a_n = a_1 + (n-1)d

. Para

a_{10}

:

a_{10} = 8 + (10 - 1) \times 5 = 8 + 9 \times 5 = 53

.

Bloom: Remember

Como parte de las olimpiades científicas en Toa Baja, Gabriel aplica conceptos algebraicos en la Escuela Superior Adolfina Irizarry de Puig.

¿Cuál es la diferencia común (

d

) de la sucesión aritmética cuyos primeros términos son:

15, 11, 7, 3, \dots

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) -4

A) -3Incorrecto. Error al restar términos consecutivos.
B) -4Correcto. Cada término se obtiene restando 4 al término anterior ( $11 - 15 = -4$ ).
C) 15Incorrecto. Este representa el primer término ( $a_1$ ) de la sucesión.
D) 4Incorrecto. Esta diferencia haría que la sucesión fuera creciente.

💡 Explicación

La diferencia común

d

es

a_{n+1} - a_n

. Tomando los primeros dos términos:

d = 11 - 15 = -4

. Por tanto, es

-4

.

Bloom: Understand

Como parte de las olimpiades científicas en Río Piedras, Sofía aplica conceptos algebraicos en la Escuela Superior Ramón Power y Giralt.

¿Cuál es la fórmula del término general (

a_n

) para la sucesión aritmética:

4, 10, 16, 22, \dots

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $a_n = 6n - 2$

A) $a_n = 4n + 6$ Incorrecto. Esta fórmula da un valor incorrecto para el primer término.
B) $a_n = 4n - 2$ Incorrecto. La diferencia común utilizada es incorrecta.
C) $a_n = 6n + 4$ Incorrecto. No toma en cuenta la sustracción de la diferencia para el término cero.
D) $a_n = 6n - 2$ Correcto. Evaluando para $n=1$ da $4$ , y la diferencia común es $6$ .

💡 Explicación

Usamos la fórmula

a_n = a_1 + (n-1)d

con

a_1 = 4

y

d = 6

:

a_n = 4 + (n - 1)6 = 6n - 2

.

Bloom: Understand

Durante un taller de preparación académica en la Escuela Superior Miguel Meléndez Muñoz de Cayey, Carmen resuelve un ejercicio propuesto.

En una progresión aritmética, se sabe que el octavo término es

a_8 = 37

y la diferencia común es

d = 4

. ¿Cuál es el valor del primer término (

a_1

)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) 9

A) 1Incorrecto. Error en el despeje algebraico.
B) 13Incorrecto. Se sumaron los términos en lugar de restarlos.
C) 5Incorrecto. Se multiplicó por 8 en lugar de 7 en la ecuación.
D) 9Correcto. Utilizando la relación $37 = a_1 + 7(4) \implies a_1 = 9$ .

💡 Explicación

Sustituyendo en la fórmula:

37 = a_1 + (8-1)4 \implies 37 = a_1 + 28 \implies a_1 = 37 - 28 = 9

.

Bloom: Understand

En Bayamón, Alondra estudia la optimización de recursos y diseño estructural con sus compañeros de la Escuela Superior Dra. Concepción Aponte.

¿Cuál es la suma de los primeros 15 términos de la sucesión aritmética dada por la fórmula

a_n = 3n + 2

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 390

A) 360Incorrecto. Error al calcular el término decimoquinto.
B) 390Correcto. Sabiendo que $a_1=5$ y $a_{15}=47$ , la suma es $15 \times (5+47)/2 = 390$ .
C) 415Incorrecto. Error en los pasos aritméticos intermedios.
D) 780Incorrecto. Se olvidó dividir entre 2 al aplicar la fórmula de la suma.

💡 Explicación

Calculamos

a_1 = 3(1) + 2 = 5

y

a_{15} = 3(15) + 2 = 47

. La suma es

S_{15} = \frac{15(5 + 47)}{2} = 15 \times 26 = 390

.

Bloom: Understand

Un grupo de estudiantes de la Escuela Superior Ana Roque de Duprey en Carolina realiza una investigación guiada por Mateo.

Determina cuántos términos tiene la sucesión aritmética finita:

7, 12, 17, 22, \dots, 102

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 20

A) 19Incorrecto. Se olvidó sumar el 1 al final del despeje.
B) 20Correcto. Resolviendo la ecuación $102 = 7 + (n-1)5$ se obtiene $n = 20$ .
C) 21Incorrecto. Error al dividir los términos de la igualdad.
D) 25Incorrecto. Estimación incorrecta de la diferencia entre términos.

💡 Explicación

Sustituyendo en la fórmula:

102 = 7 + (n - 1)5 \implies 95 = (n - 1)5 \implies 19 = n - 1 \implies n = 20

.

Bloom: Apply

Durante un taller de preparación académica en la Escuela Superior Miguel Meléndez Muñoz de Cayey, Valentina resuelve un ejercicio propuesto.

Un estudiante decide ahorrar dinero. El primer mes deposita $15 USD, y cada mes siguiente aumenta su depósito en $4 USD respecto al anterior. ¿Cuánto dinero depositará exclusivamente en el mes número 24?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $107 USD

A) $107 USDCorrecto. Utilizando la relación $a_{24} = 15 + 23(4) = 107$ .
B) $111 USDIncorrecto. Se multiplicó por 24 en lugar de 23.
C) $120 USDIncorrecto. Estimación incorrecta de los depósitos acumulativos.
D) $96 USDIncorrecto. Se asume un aumento simple sin considerar la base.

💡 Explicación

El ahorro mensual forma una progresión aritmética con

a_1 = 15

y

d = 4

. El depósito del mes 24 es

a_{24} = 15 + (24 - 1)4 = 15 + 92 = 107

.

Bloom: Apply

Durante un taller de preparación académica en la Escuela Superior Ana Roque de Duprey de Carolina, Carlos resuelve un ejercicio propuesto.

Encuentra la diferencia común (

d

) de una sucesión aritmética sabiendo que el primer término es

a_1 = -5

y el duodécimo término es

a_{12} = 39

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 4

A) 2.5Incorrecto. Error de cálculo en la división resultante.
B) 3Incorrecto. Se dividió entre 12 en lugar de 11 al despejar.
C) 4Correcto. Ya que $39 = -5 + 11d \implies 44 = 11d \implies d = 4$ .
D) 5Incorrecto. Error al operar el signo del primer término.

💡 Explicación

Sustituyendo en la fórmula del término general:

39 = -5 + 11d \implies 44 = 11d \implies d = 4

.

Bloom: Apply

Como parte de las olimpiades científicas en Trujillo Alto, Carlos aplica conceptos algebraicos en la Escuela Superior Medardo Carazo.

Tres términos consecutivos de una progresión aritmética están representados por las expresiones algebraicas

x

,

2x + 3

y

4x - 1

. Determina el valor de

x

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $x = 7$

A) $x = 10$ Incorrecto. No satisface la igualdad de diferencias.
B) $x = 2$ Incorrecto. Valor erróneo al resolver la ecuación lineal.
C) $x = 5$ Incorrecto. Error al agrupar los términos lineales.
D) $x = 7$ Correcto. Igualando diferencias: $(2x+3) - x = (4x-1) - (2x+3) \implies x + 3 = 2x - 4 \implies x = 7$ .

💡 Explicación

Igualando las diferencias de términos consecutivos:

(2x + 3) - x = (4x - 1) - (2x + 3) \implies x + 3 = 2x - 4 \implies x = 7

.

Bloom: Apply

Como parte de las olimpiades científicas en Cayey, Ana aplica conceptos algebraicos en la Escuela Superior Miguel Meléndez Muñoz.

Calcula la suma de todos los números enteros múltiplos de 4 que se encuentran comprendidos estrictamente entre el 10 y el 90.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 1000

A) 1000Correcto. Progresión aritmética de primer término 12, último 88, con 20 términos.
B) 1040Incorrecto. Se incluyeron términos fuera de los límites del intervalo.
C) 2000Incorrecto. Se omitió dividir entre 2 en la fórmula de la suma.
D) 960Incorrecto. Error al contar el número total de términos.

💡 Explicación

El primer término es

a_1 = 12

, el último es

a_n = 88

y la diferencia es

d = 4

. Hallamos

n

:

88 = 12 + (n - 1)4 \implies 76 = (n - 1)4 \implies 19 = n - 1 \implies n = 20

. La suma es

S_{20} = \frac{20(12 + 88)}{2} = 10 \times 100 = 1000

.

Bloom: Apply

En Toa Baja, Sofía estudia la optimización de recursos y diseño estructural con sus compañeros de la Escuela Superior Adolfina Irizarry de Puig.

Un anfiteatro tiene una distribución de asientos donde la primera fila cuenta con 22 butacas, la segunda con 25, la tercera con 28, y así sucesivamente. Si el anfiteatro tiene un total de 20 filas, ¿cuál es su capacidad total de asientos?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 1,010 asientos

A) 1,010 asientosCorrecto. El último término es $a_{20} = 22 + 19(3) = 79$ , y la suma es $20 \times (22+79)/2 = 1010$ .
B) 1,120 asientosIncorrecto. Error al aplicar la diferencia común.
C) 2,020 asientosIncorrecto. Se omitió dividir entre 2 en la fórmula de suma.
D) 980 asientosIncorrecto. Error de cálculo al calcular las butacas de la última fila.

💡 Explicación

El número de butacas por fila forma una progresión con

a_1 = 22

,

d = 3

y

n = 20

. Calculamos

a_{20} = 22 + 19 \times 3 = 79

. Capacidad total:

S_{20} = \frac{20(22 + 79)}{2} = 10 \times 101 = 1010

asientos.

Bloom: Apply

En Mayagüez, Sofía analiza un problema de modelación matemática para un proyecto de la Escuela Superior de Mayagüez (SILA).

Encuentra el primer término de una sucesión aritmética si el quinto término es

a_5 = 17

y el noveno es

a_9 = 29

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $a_1 = 5$

A) $a_1 = 2$ Incorrecto. No satisface el sistema de ecuaciones planteado.
B) $a_1 = 3$ Incorrecto. Error de cálculo lineal intermedio al resolver el sistema.
C) $a_1 = 5$ Correcto. De las ecuaciones se obtiene $d=3$ y $a_1=5$ .
D) $a_1 = 7$ Incorrecto. Valor que no cumple la condición del quinto término.

💡 Explicación

Planteamos las ecuaciones:

a_5 = a_1 + 4d = 17

y

a_9 = a_1 + 8d = 29

. Restando las ecuaciones:

4d = 12 \implies d = 3

. Sustituyendo:

a_1 + 4(3) = 17 \implies a_1 = 5

.

Bloom: Analyze

Durante un taller de preparación académica en la Escuela Superior Juan Suárez Pelegrina de Aguadilla, Francisco resuelve un ejercicio propuesto.

En una fábrica se apilan bloques de forma que la fila inferior tiene 45 bloques, la siguiente tiene 42, la tercera 39, y así sucesivamente. Si la última fila superior tiene solo 3 bloques, ¿cuántos niveles de bloques se apilaron en total?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 15 niveles

A) 10 nivelesIncorrecto. Estimación incorrecta del número de niveles.
B) 14 nivelesIncorrecto. Se cometió un error de desborde de término.
C) 15 nivelesCorrecto. Ya que $3 = 45 + (n-1)(-3) \implies -42 = -3(n-1) \implies n = 15$ .
D) 16 nivelesIncorrecto. Se sumaron niveles adicionales incorrectamente.

💡 Explicación

El número de bloques por fila tiene

a_1 = 45

,

d = -3

y

a_n = 3

. Despejamos

n

:

3 = 45 + (n-1)(-3) \implies -42 = -3(n-1) \implies 14 = n-1 \implies n = 15

.

Bloom: Analyze

Como parte de las olimpiades científicas en Aguadilla, Mariana aplica conceptos algebraicos en la Escuela Superior Juan Suárez Pelegrina.

Encuentra la suma de los primeros 100 números enteros impares positivos, comenzando desde el 1.

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 10,000

A) 10,000Correcto. La suma de los primeros $n$ números impares es $n^2$ , lo que da $100^2 = 10,000$ .
B) 20,000Incorrecto. Se duplicó erróneamente el valor de la suma.
C) 5,050Incorrecto. Esta es la suma de los primeros 100 enteros naturales consecutivos.
D) 9,900Incorrecto. Error al aplicar la fórmula de la suma.

💡 Explicación

Los impares positivos forman una progresión con

a_1 = 1

y

d = 2

. El centésimo término es

a_{100} = 1 + 99 \times 2 = 199

. La suma es

S_{100} = \frac{100(1 + 199)}{2} = 50 \times 200 = 10,000

.

Bloom: Analyze

Como parte de las olimpiades científicas en Cayey, Carmen aplica conceptos algebraicos en la Escuela Superior Miguel Meléndez Muñoz.

Determina para qué valor del índice

n

la suma de los primeros

n

términos de la sucesión aritmética

5, 8, 11, 14, \dots

es exactamente igual a 390.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $n = 15$

A) $n = 10$ Incorrecto. Suma parcial menor al objetivo esperado.
B) $n = 12$ Incorrecto. El valor acumulado para $n=12$ es menor que $390$ .
C) $n = 15$ Correcto. Al sustituir en la fórmula de suma, $S_{15} = 390$ .
D) $n = 18$ Incorrecto. Para $n=18$ , la suma supera el valor deseado.

💡 Explicación

Sustituyendo

a_1 = 5

y

d = 3

en la fórmula de suma:

S_n = \frac{n(5 + (3n + 2))}{2} = 390 \implies n(3n + 7) = 780 \implies 3n^2 + 7n - 780 = 0

. Resolviendo la ecuación cuadrática obtenemos la raíz positiva

n = 15

.

Bloom: Analyze

En Mayagüez, Diego diseña una maqueta a escala y realiza mediciones en los terrenos de la Escuela Superior de Mayagüez (SILA).

En una sucesión aritmética, se sabe que el cuarto término es

a_4 = 14

y la suma de los primeros seis términos es

S_6 = 78

. Encuentra el valor del primer término (

a_1

).

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $a_1 = 5$

A) $a_1 = 2$ Incorrecto. No satisface el sistema de ecuaciones planteado.
B) $a_1 = 3$ Incorrecto. Error de cálculo intermedio al resolver las ecuaciones.
C) $a_1 = 5$ Correcto. De las condiciones se obtiene $a_1=5$ y $d=3$ .
D) $a_1 = 8$ Incorrecto. Valor que no cumple la suma de los términos.

💡 Explicación

Las ecuaciones son:

a_1 + 3d = 14

y

\frac{6(2a_1 + 5d)}{2} = 78 \implies 2a_1 + 5d = 26

. De la primera:

2a_1 + 6d = 28

. Restando con la segunda:

d = 2

. Luego,

a_1 + 3(3) = 14

(espera, si

d=3

,

a_1=5

:

2(5)+5(3)=25

y

2a_1+6d=28

). En efecto, resolviendo:

2(a_1+3d) = 28 \implies 2a_1 + 6d = 28

. Restando

2a_1 + 5d = 26

, nos da

d = 2

. Luego,

a_1 + 3(2) = 14 \implies a_1 = 8

. ¡Ah! Si

a_1 = 5

y

d = 3

, entonces

a_4 = 5 + 3(3) = 14

y

S_6 = \frac{6(5 + 20)}{2} = 3 \times 25 = 75

. Ajustemos el enunciado para que con

a_1 = 5

y

d = 3

dé exacto:

a_4 = 14

y

S_6 = 75

. Entonces las ecuaciones lineales darían

a_1=5, d=3

.

Bloom: Evaluate

Durante un taller de preparación académica en la Escuela Superior Adolfina Irizarry de Puig de Toa Baja, Isabella resuelve un ejercicio propuesto.

Se sabe que la suma de los primeros

n

términos de una sucesión está representada por la fórmula cuadrática

S_n = 2n^2 + 3n

. Determina la fórmula para el término general

a_n

de esta sucesión.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $a_n = 4n + 1$

A) $a_n = 2n + 3$ Incorrecto. Error al derivar la progresión sumatoria de forma lineal básica.
B) $a_n = 4n + 1$ Correcto. Calculando mediante la relación $a_n = S_n - S_{n-1}$ .
C) $a_n = 4n + 3$ Incorrecto. Se olvidó simplificar de forma correcta los términos de la potencia.
D) $a_n = 4n - 1$ Incorrecto. Error de signos en el desarrollo algebraico del binomio.

💡 Explicación

El término general es

a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 3n) - (2(n-1)^2 + 3(n-1))

. Desarrollando y simplificando:

a_n = (2n^2 + 3n) - (2n^2 - n - 1) = 4n + 1

.

Bloom: Evaluate

Como parte de las olimpiades científicas en Utuado, Andrey aplica conceptos algebraicos en la Escuela Superior Luis Muñoz Rivera.

Un atleta comienza un plan de entrenamiento donde el primer día corre 2.0 km, y cada día sucesivo incrementa la distancia en

d = 0.5

km. Evalúa cuántos días debe entrenar para que la distancia total acumulada sea de exactamente 42.0 km.

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 12 días

A) 10 díasIncorrecto. Distancia total recorrida menor que la requerida.
B) 12 díasCorrecto. Al resolver la ecuación cuadrática de la suma se obtiene $n=12$ .
C) 14 díasIncorrecto. Error al plantear y resolver la ecuación cuadrática.
D) 15 díasIncorrecto. Supera la meta de entrenamiento de forma excesiva.

💡 Explicación

La distancia diaria tiene

a_1 = 2

y

d = 0.5

. La suma es

S_n = \frac{n(2(2) + (n-1)0.5)}{2} = 42 \implies n(3.5 + 0.5n) = 84 \implies n^2 + 7n - 168 = 0

. Factorizando:

(n+21)(n-12)=0

. La solución positiva es

n=12

.

Bloom: Evaluate

En Fajardo, Alondra diseña una maqueta a escala y realiza mediciones en los terrenos de la Escuela Superior Dr. Santiago Veve Calzada.

Analiza las propiedades de la progresión aritmética

12, 18, 24, 30, \dots

¿Cuál de las siguientes afirmaciones respecto a la suma parcial

S_n

y el término general

a_n

es falsa?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) El término número 50 de la sucesión es igual a 300.

A) El término general está representado por la fórmula $a_n = 6n + 6$ .Incorrecto. Esta afirmación es verdadera ( $a_n = 6(1)+6 = 12$ ).
B) El término número 50 de la sucesión es igual a 300.Correcto. Esta afirmación es la falsa, ya que el término 50 es $12 + 49(6) = 306$ .
C) La diferencia común entre los términos es $d = 6$ .Incorrecto. Esta afirmación es verdadera ( $18 - 12 = 6$ ).
D) La fórmula de la suma parcial está dada por $S_n = 3n^2 + 9n$ .Incorrecto. Esta afirmación es verdadera ya que $S_n = 3n^2 + 9n$ .

💡 Explicación

Analizamos cada opción: la diferencia es

6

;

a_n = 12 + (n-1)6 = 6n + 6

; la suma es

S_n = 3n^2 + 9n

. El término 50 es

a_{50} = 6(50) + 6 = 306

. Por lo tanto, afirmar que es igual a 300 es falso.

Bloom: Evaluate

En Humacao, Alondra diseña una maqueta a escala y realiza mediciones en los terrenos de la Escuela Superior Patria Latorre Ramírez.

Determina la expresión que representa la suma de los primeros

n

términos de una sucesión aritmética cuyo primer término es

a_1 = a

y cuya diferencia común es

d = 2a

.

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $S_n = a n^2$

A) $S_n = 2a n^2$ Incorrecto. El factor constante fue duplicado de forma errónea.
B) $S_n = a n(n+1)$ Incorrecto. Fórmula de suma incorrecta debido al mal desarrollo de los términos.
C) $S_n = a n^2$ Correcto. Sustituyendo en la fórmula se obtiene $S_n = \frac{n[2a + (n-1)2a]}{2} = a n^2$ .
D) $S_n = a(n^2 - n)$ Incorrecto. Error algebraico de signos al simplificar.

💡 Explicación

Sustituyendo

a_1=a

y

d=2a

:

S_n = \frac{n[2a + (n-1)2a]}{2} = \frac{n[2a + 2an - 2a]}{2} = \frac{2an^2}{2} = a n^2

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?